2022-2023学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷

1.  已知向量，，若，则k的值为(    )

A.  B.  C.  D. 4

2.  抛物线的焦点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  数列中，若，，则(    )

A.  B.  C. 2 D.

4.  圆与恰有三条公切线，则实数a的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  椭圆与曲线C：的(    )

A. 焦距相等 B. 离心率相等 C. 焦点相同 D. 曲线C是双曲线

6.  在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前n项和为，且，则(    )

A. 26 B. 52 C. 78 D. 104

8.  若直线与圆C：相切，则
①；
②数列为等差数列；
③圆C可能经过坐标原点；
④数列的前10项和为
以上结论正确的个数为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9.  如图第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为，…依此类推，第n个图案的总点数记为，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  设P是双曲线与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  直线与直线垂直，则实数m的值为______.

12.  已知双曲线C：一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线C的实轴长为______.

13.  已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是______.

14.  抛物线C：的焦点到准线的距离是______；若点A在抛物线C上且与焦点的距离为6，则点A的坐标为______.

15.  在直三棱柱中，，D，F分别是，的中点，，则BD与AF所成角的余弦值是______.

16.  数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则______；______.

17.  圆C经过坐标原点和点，且圆心在x轴上．
求圆C的标准方程；
已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求弦长的值；
过点引圆C的切线，求切线的方程．

18.  已知等差数列，满，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，记数列的前n项和为，求

19.  如图，四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD满足，，，，E是PD的中点．
求直线AE到平面PBC距离；
求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值．

20.  已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点
求椭圆C的标准方程；
是否存在过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：由可得，
即，
即有，解得，，
故选：
利用向量共线定理即可得出．
本题考查了空间向量的共线向量定理以及坐标运算，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：抛物线的标准方程为，，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为
故选：
试题分析：把抛物线的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
本题考查抛物线的简单性质，是基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：，，
，
，
则，
故选：
由，，分别取，3，4，即可得出
本题考查了数列递推关系求通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：圆与恰有三条公切线，
则两圆外切，
圆，圆心为，半径为2，圆，圆心为，半径为1，
则，解得
故选：
根据已知条件，推得两圆外切，再结合两圆圆心与半径之间的关系，即可求解．
本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：时，曲线C：方程为：，
即，，且，所以曲线C为椭圆，
可得椭圆的焦距，焦点在x轴上，
椭圆C的焦距，焦点在y轴上，
所以两个椭圆的焦点不同，焦距相同，
曲线C的离心率由参数k，所以离心率不同，
故选：
由k的范围，可得曲线C的标准形式，判断曲线C为椭圆，求出两个椭圆的长半轴，短半轴及焦距的值，判断所给命题的真假．
本题考查椭圆，双曲线的性质的应用，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：平行六面体中，






故选：
在平行六面体中，根据空间向量的加法合成法则，对向量进行线性表示即可．
本题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，是基础题目．
 

7.【答案】B 

【解析】解：等比数列中，，
可得，解得，
等差数列中，
则
故选：
由等比数列的中项性质可得，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：因为直线与圆C：相切，所以，则，
数列是公差为的等差数列，因为，，所以数列的前10项和为，又，
所以当时，圆C可能经过坐标原点．则②③④正确．
故选：
直线与圆相切，则圆心到直接的距离等于半径，由此得到，可判断各选项．
本题考查直线与圆以及等差数列，考查运算求解能力与推理论证能力，属于中档题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：由题意，，当，时，，
又当，时，，

故选：
由题意可得，从而可得当，时，，再利用裂项相消求解即可．
本题考查裂项相消法求和，观察法求数列通项，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：P是双曲线与圆在第一象限的交点，
、分别是双曲线的左、右焦点，连接，，
可得，设，，由双曲线的定义可得，
且，，
则，，，
即有，
故选：
连接，，可得，设，，由双曲线的定义可得，且，，解得，，可得c，a的关系式，由双曲线的离心率公式可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，考查圆的直径所对的圆周角为直角的性质，以及勾股定理和直角三角形的锐角三角函数，考查化简运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：直线与直线垂直，
，解得
故答案为：
由两直线互相垂直，可得两直线系数间的关系，由此列关于m的方程求得m值．
本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，关键是对垂直条件的记忆与应用，是基础题．
 

12.【答案】4 

【解析】解：由双曲线C：，
可得渐近线方程为，即，
则焦点到其渐近线的距离，，解得，
则双曲线C的实轴长，
故答案为：
由双曲线C：，可得渐近线方程为，利用点到直线的距离公式可得焦点到其渐近线的距离，解得
本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意：弦最短时，则圆心与点M的连线与直线l垂直，
圆即，圆心为：，

由点斜式整理得直线方程为：
故答案为：
由圆心与点M的连线与直线l垂直时，所截的弦长最短求解．
本题考查直线与圆的位置关系，弦长问题及直线的斜率及方程形式，考查数学用几何法解决直线与圆的能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由抛物线C：，得，
焦点到准线的距离
抛物线的准线方程为，
设点，
由点A在抛物线C上且与焦点的距离为6，
，，
代入抛物线C：，得
点A的坐标为
故答案为：4；
根据抛物线的标准方程求得p的值，即可求解；
将点A到焦点的距离转化为点A到准线的距离，结合抛物线的方程，即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：取BC中点E，连接AE，EF，则，
就是BD与AF所成角，

设，则，，，
与AF所成角的余弦值为：

故答案为：
取BC中点E，连接AE，EF，将BD平移到EF，则就是BD与AF所成角，利用余弦定理能求出结果．
本题考查异面直线所成角的定义及其余弦值的求法、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】；  

【解析】解：由，可得时，，解得；
当时，由，可得由，
两式相减可得，
即为，
则；
，则
故答案为：；
由数列的通项与前n项和的关系，结合等比数列的通项公式可得；再由等比数列的求和公式可得
本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由圆C经过坐标原点和点，且圆心在x轴上．可得圆心为，半径为
则圆的方程为
设圆心到l的距离为d，则，
弦长
当斜率不存在时，过的直线是，显然是圆的切线；
当斜率存在时，设切线方程为
由，解得
此时切线方程为
综上所述，切线方程为或 

【解析】求出圆的圆心与半径，即可得到圆的方程．
利用点到直线的距离，结合半径以及半弦长满足勾股定理，可求弦长的值．
当斜率不存在时，过的直线是；当斜率存在时，设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径列式求k，则答案可求．
本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属基础题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为d，
由，且，，成等比数列，
可得，
即为，解得舍去，
所以；
，
则，
，
上面两式相减可得
，
化简可得 

【解析】由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差d，进而得到所求；
求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
，，
又，则建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示：

，，，E是PD的中点，则，，，，，，
则，，，，
设平面PBC的一个法向量为，
则，取，则，，
平面PBC的一个法向量为，
，且平面PBC，
平面PBC，
直线AE到平面PBC距离为点A到平面PBC的距离，
又点A到平面PBC的距离，
故直线AE到平面PBC距离为；
由得平面PBC的一个法向量为，
则，，
设平面PDC的一个法向量为，
则，取，则，，
平面PDC的一个法向量为，
设平面PDC与平面PBC夹角为，由图形得为锐角，
，
故平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为 

【解析】由题意可得PA、AB、AD两两垂直，则建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案；
由得平面PBC的一个法向量为，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线到平面的距离和二面角、空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
 

20.【答案】解：设椭圆C的方程为，
，且经过点，
，
解得，，，
故椭圆C的方程为
若存在直线l满足条件，由题意直线存在斜率，设直线l的方程为，
由，得
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为，，
所以
整理得
解得，
又，
因为，即，
所以
即
所以，解得
因为，所以
于是存在直线l满足条件，其方程为 

【解析】先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．
假设存在直线满足条件，设直线方程为，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定k的值，从而得解．
本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．