2023年高考数学二轮复习易错题精选11平面向量（Word版附解析）

易错点11  平面向量

易错点1：向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小称为向量的模(或大小)，记作||.

(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.

(3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量.

(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.

(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.

(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.

易错点2.向量的线性运算

易错点3.共线向量定理

如果存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)，则b∥a.

易错点4.向量模的不等式

向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式

||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

易错点4.平面向量基本定理

(1)平面向量的基底

平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.

(2)平面向量基本定理

如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.

易错点5.平面向量的坐标

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).

易错点6.平面向量的坐标运算

(1)平面向量线性运算的坐标表示

假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).

(2)向量模的坐标计算公式

如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.

(3)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

易错点7.向量平行的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.

易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.

(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.

(2)模：|a|＝＝.

(3)夹角：cos θ＝＝.

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.

1．在中，点D满足，E为上一点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，所以，

则，

因为A，E，D三点共线，

所以，所以．

故选：D.

2．已知点A､B在单位圆上，，若，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C． D．4

【答案】A

【详解】，因此.

故选：A.

3．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由已知得，，，

，所以.

故选：C．

4．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】在方向上的投影向量为

故选：C.

5．已知平面向量 ，若 与垂直，则λ＝（    ）

A．-2 B．2 C．-1 D．1

【答案】C

【详解】因为，故，

由题意与垂直，∴，

即 ，解得 ，

故选：C

1．已知向量，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【详解】因为，所以.

故选：D

2．已知向量，，若，则实数m等于（    ）

A．－ B．

C．－或 D．0

【答案】C

【详解】由知：1×2－m2＝0，即或.

故选：C.

3．已知向量 ，满足， ，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，，，.

，

因此，.

故选：D.

4．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【详解】由已知可得：.

A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.

故选：D.

5．已知向量，则

A． B．2

C．5 D．50

【答案】A

【详解】由已知，，

所以，

故选A

一、单选题

1．已知四边形，设E为的中点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】在平面（空间同样）四边形中，

，

因为，所以．

故选：A．

2．已知向量，，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【详解】因为，，

所以，

所以，

故选：D

3．已知向量满足，则(    )

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】B

【详解】﹒

故选：B．

4．已知非零向量，，满足，，的夹角为，且，则向量，的数量积为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】A

【详解】设，因为，的夹角为，

所以，

因为非零向量，，满足，

所以，

所以

．

故选：A．

5．设向量，，满足，，与的夹角为，则（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【详解】解：因为，，与的夹角为，

所以，

所以，

所以．

故选：A．

6．设非零向量满足，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由得，

代入得，

又

故夹角为．

故选：C

7．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（    ）

A． B．3 C． D．1

【答案】D

【详解】由，，，

，，，

解得，所以向量在向量方向上的投影为，

故选：D.

8．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（    ）

A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心

【答案】B

【详解】解：如图，取的中点，连接，

则．又，

，即．

又，

点在射线上．

故的轨迹过的重心．

故选：B．

二、多选题

9．已知向量，则下列结论正确的是（    ）.

A． B．

C．向量的夹角为 D．在方向上的投影向量是

【答案】AC

【详解】对于A，，由，则，故A正确；

对于B，，，故B错误；

对于C，，，，则，即向量的夹角为，故C正确；

对于D，在方向上的投影向量是，故D错误.

故选：AC.

10．在中，，分别为，的中点，为的中点，为所在平面内的任意一点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】

取的中点，连接，显然，，三点共线，且是的中点，则，故选项A错误；

因为，故选项B正确；

因为，所以，故选项C正确；

因为，所以，，所以，故选项D正确；

故选：BCD.

三、解答题

11．记的内角、、的对边分别为、、，已知．

(1)求；

(2)记的面积为，求的最大值．

【答案】

（1）

解：因为，

由平面向量数量积的定义可得，

即，整理可得，

由正弦定理可得.

（2）

解：，由余弦定理可得，

所以，，令，即，

可得，为锐角，且，

所以，，解得，此时，

当时，取得最大值.

故的最大值为.

12．已知向量，.

(1)若，求的值；

(2)记，在中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.

【答案】（1）

.

∵，∴.

.

（2）

∵，

由正弦定理得，

∴，

∴.

∵，

∴，且，

∴，

∵，

∴，

∴.

∴，

又∵，

∴

故的取值范围是.