2023年高考数学二轮复习易错题精选15概率（文科）（Word版附解析）

这是一份2023年高考数学二轮复习易错题精选15概率（文科）（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了事件、频率和概率概念理解错误，事件的运算，用频率估计概率，概率的性质等内容，欢迎下载使用。

易错点15 概率





易错点1.事件、频率和概率概念理解错误
1.事件的关系

定义
表示法
图示
包含关系
一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)
记作A⊆B(或B⊇A)

互斥事件
给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅)
若A∩B＝∅，则A与B互斥

对立事件
给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作A
若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立

2.事件的运算

定义
表示法
图示
并事件
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)
记作A＋B(或A∪B)

交事件
给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)
记作AB(或A∩B)

3.用频率估计概率
一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，其中，m是n次重复试验事件A发生的次数，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.
易错点2.古典概型和几何概型公式理解错误
1.古典概型
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
2.古典概型的概率公式
古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，如果事件C包含有m个样本点，则P(C)＝.
3.几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
比如：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等。用这种方法处理随机试验，称为几何概型.
几何概型与古典概型相对，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸。这个概念在我国初中数学中就开始介绍了。
古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果是无限个。

4.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
易错点3.条件概率和全概率公式理解错误
1.相互独立事件
一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立).如果事件A与B相互独立，则与，A与B，与也相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，当P(A)>0且P()>0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|).



1．已知、分别表示随机事件A、B发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（    ）
A．事件A、B同时发生 B．事件A、B至少有一个发生
C．事件A、B都不发生 D．事件A、B至多有一个发生
【答案】D
【详解】表示随机事件、同时发生，所以就是事件、至多有一个发生.
故选：D
2．北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，
则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，
其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况，
所以所求概率为.
故选：C.
3．从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性别不同的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】两名男生标记为，，两名女生标记为，.
从中随机选2名参加社会实践的事件有，，，，，，共计6种.
其中两名同学性别不同的事件有，，，，共计4种，
所求概率.
故选：D.
4．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件总数，
设A={所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著}
则
∴
故选：A．
5．如图矩形由六个相同的小正方形组合而成，其中阴影部分形如一个逗号．若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（    ）．

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，两个图形中阴影部分面积相等，设小正方形边长为1，

则阴影部分为半径为1的半圆加上半径为2的圆的，再减去一个小正方形，
阴影部分面积为，矩形的面积为6，
由几何概型公式可知，若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为，
故选：C



1．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设“区间随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为，
“取到的数小于”， 对应集合为：，区间长度为，
所以．
故选：B．
2．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：

则下列结论中错误的是（    ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【答案】C
【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结论正确.
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：
，
B选项结论正确.
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，
C选项结论错误.
对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，
D选项结论正确.
故选：C

3．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
4．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.
故选：C.

5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：从装有个红球，个白球的袋中任取个球，共有基本事件种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取个球中至少有个白球的概率为，故选D.




一、单选题
1．口袋中共有2个白球2个黑球，从中随机取出两个球，则两个球颜色不同的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设2个白球分别为，2个黑球为，从中随机取出两个球，则所有可能的情况有，，，，，共6种情况，
其中两个球颜色不同的情况有，，，共4种情况，故两个球颜色不同的概率为
故选：A
2．一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为r的一个圆，点击圆周上点A后该点在圆周上随机转动，最终落点为B，当线段AB的长不小于时自动播放音乐，则一次转动能播放出音乐的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接，过作直径，使得，连接
则可得
满足条件点位于下半圆（包括端点），其概率为
故选：C．

3．我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩，在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为0.4，利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：931，502，659，491，275，937，740，632，845，302.由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有2轮成功”的概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】B
【详解】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳中至少有2轮成功”的有931，502，632，302，共4个，所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有2轮成功”的概率为，
故选：B.
4．由于发现新冠阳性感染者，2022年4月17日-23日芜湖市主城区实施静态管理，最终控制了疫情.初三、高三学生于27日返校复课，返校前需提供48小时核酸检测阴性证明.为配合核酸检测，我市从3名护士和2名医生中随机选取两位派往某社区检测点工作，则恰好选取一名医生和一名护士的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记3名护士为cde，2名医生为AB，两个检测点分别为：AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de共10个基本事件，其中恰好选取一名医生和一名护士有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be 共6种，所以概率为
故选：D
5．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m，n，则满足的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为、，两次抛掷得到的结果可以用表示，
则结果有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共有36种．
其中满足有：，，，，，，，，，，，，，共种，
所以满足的概率．
故选：B
6．执行如图所示的程序框图，则输出的的值与下面的哪个数最接近？（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，该程序相当于在内任取对数对，
其中满足的数对有对，显然该问题是几何概型．

不等式组所表示的区域为面积为，
所表示的区域面积为，故，因此，
故选：B．
7．一个质地均匀的正四面体，四个面分别标以数字1，2，3，4．抛掷该正四面体两次，依次记下它与地面接触的面上的数字．记事件A为“第一次记下的数字为奇数”，事件B为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是（    ）
A． B．事件A与事件B互斥
C． D．事件A与事件B相互独立
【答案】C
【详解】由题意得，，，
∵，∴事件A和事件B不相互独立，．
故选：C．
8．2022年2月冬奥会在北京召开，“三亿人参与冰雪运动”的愿景，正在亿万国人逐渐高涨的运动热情中走向现实.小明爱上了冰壶运动，在自己家附近的冰面上和父亲一起制作了简易冰壶场地，得分区是四个半径不等的同心圆，由内而外称为A，B，C，D.小明每次投掷都能使得冰壶进入得分区，若每次投掷后冰壶进入A，B，C，D区的概率分别为0.01，0.1，0.3，0.59，小明投掷两个冰壶，两次投掷互不影响，则有一个冰壶进入A或C区，另一个冰壶进入B或D区的概率为（    ）
A．1 B．0.2139 C．0.4278 D．0.1958
【答案】C
【详解】投掷一个冰壶进入A或C区的概率为
投掷一个冰壶进入B或D区的概率为
小明投掷两个冰壶，则有一个冰壶进入A或C区，另一个冰壶进入B或D区的概率为
故选：C

二、多选题
9．已知事件与事件为互斥事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则（    ）
A． B．
C． D．事件与事件不独立
【答案】ABD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为事件与事件为互斥事件，事件不一定为互斥事件，则不一定成立，故C不正确；
对于D，，故事件与事件不独立.所以D正确.
故选：ABD.
10．甲、乙两个盒子中分别装有红球、白球和黑球若干，从甲盒子中取出一个红球的概率为，取出一个白球的概率为；从乙盒子中取出一个红球的概率和取出一个白球的概率均为.现从两个盒子中各取出一个球，下列结论正确的是（    ）
A．两个球都是黑球的概率为 B．两个球中一个红球一个白球的概率为
C．两个球中恰有一个黑球的概率为 D．两个球中至少有一个红球的概率
【答案】ACD
【详解】解：由题意得：甲盒子中取出一个黑球的概率为，乙盒子中取出一个黑球的概率为.
对于选项A，两个球都是黑球的概率为，选项A正确；
对于选项B，两个球中一个红球一个白球的概率为，选项B错误；
对于选项C，两个球中恰有一个黑球的概率为，选项C正确；
对于选项D，两个球中至少有一个红球的概率为，选项D正确.
故选：ACD.

三、解答题
11．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为200的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高二年级共有学生840人，高三年级共有960人，抽取的样本中高一年级有50人.如表是根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表.
分组
频数
频率

m
n

6
0.12

8
0.16

s
0.24

11
0.22

9
0.18
合计
50
1

(1)求该校高一学生的总数；
(2)求频率分布表中实数m，n，s的值；
(3)已知日睡眠时间在区间内的6名高一学生中，有2名女生，4名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.
【答案】（1）
设该校高一学生的总数为x，
由题意，解得，
∴该校高一学生总数为600人.
（2）
由题意，解得，
.
（3）
记6名高一学生中女生为A，B，男生为1，2，3，4
从中任选2人的基本事件有：AB，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，12，13，14，23，24，34共有15个，
记事件 “选中的2人恰好为一男一女”
事件M包含的基本事件有A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，共8个，
故.
12．某小学认真贯彻教育部门“双减”工作的精神，执行相关措施一段时间后，为了解“双减”工作的实际效果，在该校1200名学生中随机抽取了100名小学生，调查他们周末完成作业的时间（以下简称作业时间，单位：)，将统计数据按[0，0.5)，[0.5，1)，，[4，4.5]分组，得到如图所示的频率分布直方图，

(1)求直方图中的值；
(2)估计全校学生作业时间不低于2的人数；
(3)按照分层抽样的方法，从全校学生作业时间不低于2和低于2的学生中抽取5人组成核心素养考察团，若从考察团中选取2人作为团长和副团长求这2人都来自作业时间低于2的学生的概率．
【答案】（1）
由已知得，解得；
（2）
作业时间不低于2的频率为，
所以估计全校学生作业时间不低于2的人数为；
（3）
因为作业时间不低于2的频率为，所以作业时间低于2的频率为，
按照分层抽样的方法，从全校学生作业时间不低于2和低于2的学生中抽取5人，
其中不低于2的学生有2人，用表示，低于2的学生有3人，用表示，若从考察团中选取2人作为团长和副团长有，
共20种方法，其中这2人都来自作业时间低于2的学生的情况有共6种方法，所以这2人都来自作业时间低于2的学生的概率为.