高考数学二轮复习 平面向量命题 点对点突破专题训练 平面向量的奔驰定理(解析版)

专题九　平面向量的奔驰定理

1．奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0．

证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，＝＝＝＝，

∵＝＋，∴＝＋，

∵＝＝＝，∴＝－，

即－＝＋，∴S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0．

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．

推论：已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有

(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|．

(2)＝||，＝||，＝||．

【例题选讲】

[例1](1)设点O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(　　)

A．3　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．

答案　A　解析　分别取AC、BC的中点D、 E，∵＋2＋3＝0，∴＋＝－2(＋)，即2＝－4，∴O是DE的一个三等分点，∴＝3．

秒杀　根据奔驰定理得，S△ABC∶S△AOC＝(1＋2＋3)∶2＝3．

(2)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　B　解析　如图，由点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝．

秒杀　由＝＋得，＋2＋3＝0，根据奔驰定理得，S△BCD∶S△ABD＝1∶3．

(3)已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　)

A．14∶3　　　　　　B．19∶4　　　　　　C．24∶5　　　　　　D．29∶6

答案　B　解析　由＝，得－＝(－)，整理得＝＋＝＋，由＝，得＝(－)，整理得＝－，∴－＝＋，整理得4＋6＋9＝0，根据奔驰定理得，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4．

(4)已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　A　解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝．

(5)点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　)

A．，　　　　　　　　B．，　　　　　　　　C．，　　　　　　　　D．，

答案　A　解析　秒杀　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，整理得＝＋，故选A．

(6)设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．

答案　　解析　根据奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，平方得2＝4x22＋4y22＋8xy| |·||·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，所以||＝||＝||，且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝，(x＋y)2＝＋xy≤＋2，解得0<x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号．所以(x＋y)max＝．

【对点训练】

1．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．

1．答案　　解析　设D为AC的中点，连接OD，则＋＝2．又＋＝－2，所以＝－

，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为．

秒杀　由＋＝－2，得＋＋2＝0，根据奔驰定理得，△AOB与△AOC的面积之比为．

2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比

值为________．

2．答案　4　解析　∵D为AB的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，∴＝－，∴O

为CD的中点．又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4．

秒杀　因为＋＋2＝0，根据奔驰定理得，＝4．

3．已知P，Q为△ABC中不同的两点，且3＋2＋＝0，＋＋＝0，则S△PAB∶S△QAB为_____．

3．答案　1∶2　解析　因为3＋2＋＝2(＋)＋＋＝0，所以P在与BC平行的中位线上，

且是该中位线上的一个三等分点，可得S△PAB＝S△ABC，＋＋＝0，可得Q是△ABC的重心，因此S△QAB＝S△ABC，S△PAB∶S△QAB＝1∶2，故选A．

秒杀　由3＋2＋＝0，＋＋＝0，根据奔驰定理得，S△PAB∶S△ABC＝1∶6，S△QAB∶S△ABC＝1∶3＝2∶6，所以S△PAB∶S△QAB＝1∶2，故选A．

4．已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

4．答案　C　解析　因为D是AB的中点，所以＝2，因为5＝＋3，所以2－2＝3

－3，即2＝3，所以5＝3＋3＝3，所以＝，设h1，h2分别是△ABM，△ABC的AB边上的高，所以＝＝＝＝＝．

秒杀　由5＝＋3，得＋＋3＝0，根据奔驰定理得，＝．

5．若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2

5．答案　A　解析　设AC的中点为D，则＋＝2，于是2＝4，从而＝2，即M为BD

的中点，于是＝＝＝．

秒杀　由＋＝4，得＋2＋＝0，根据奔驰定理得，＝．

6．已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC的面积为__________．

6．答案　1　解析　如图，设AC中点为M，BC中点为N．因为＋＋＋＝0，所以2＋2

＝0，所以＋＝0，O为中位线MN的中点，所以S△AOC＝S△ANC＝×S△ABC＝×4＝1．

秒杀　根据奔驰定理得，S△OBC∶S△OAC∶S△OAB＝1∶1∶2．因为S△ABC＝4，所以S△AOC＝1．

7．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足＝－，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为

________．

7．答案　4　解析　由＝－，得5＝＋4，所以－＝4(－)，即＝4．所

以点D在边BC上，且||＝4||，所以S△ABD＝4S△ACD＝4．

秒杀　由＝－，得8＋＋4＝0，根据奔驰定理得，S△ABD∶S△ACD＝4∶1，所以S△ABD＝4．

8．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足＋x＋y＝0，设△ABC，

△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记＝λ1，＝λ2，＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x＋y的值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1 　　　　　　　　D．2

8．答案　D　解析　由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1．因为P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，

所以λ1＝，所以λ2＋λ3＝，所以λ2λ3≤2＝，当且仅当λ2＝λ3＝时，等号成立，所以λ2λ3取最大值时，P为EF的中点．延长AP交BC于M，则M为BC的中点，所以PA＝PM，所以＝－＝－(＋)，又因为＋x＋y＝0，所以x＝y＝，所以3x＋y＝2．故选D．

秒杀　根据奔驰定理得，