吉林省吉林市舒兰市2022年九年级上学期期末数学试题及答案

 九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（　　） 

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

2．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（　　）

A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

3．已知反比例函数 ，下列结论中错误的是（　　）  

A．图象经过点(-1,-1)

B．图象在第一、三象限

C．当 时，

D．当 时，y随着x的增大而增大

4．国旗上的五角星是旋转对称图形，它需要旋转（　　）后，才能与自身重合．

A．36° B．45° C．60° D．72°

5．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　） 

A．20 B．24 C．28 D．30

6．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

二、填空题

7．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于　     　．

8．如图，直线AlA∥BB1∥CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段A1C1的长是　     　． 

9．如图,双曲线 经过点A(2,2)与点B(4, ),则△AOB的面积为　     　. 

10．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为　     　．

11．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为　                                   　． 

12．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE=∠C，四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍．若DE=3，则BC的长为　     　．

13．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D．若⊙O的半径为3，∠C＝40°，则 的长为　     　．（结果保留π） 

14．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线 的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为　     　米． 

三、解答题

15．解方程：x(x-1)=2．

16．已知：在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5，4)、B(0，3)、(2，1)

⑴画出△ABC 关于原点成中心对称的△；

⑵画出将△ 绕点 按顺时针旋转90°所得的，并写出点的坐标

17．甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字1、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同．甲先从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后乙再从口袋中随机摸出一个小球．若两次摸出的小球上数字之和是偶数则甲获胜；若两次摸出的小球上数字之和是奇数，则乙获胜．用画树状图或列表的方法，说明这个游戏对双方是否公平．

18．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作弧AD，交CB的延长线于点D，求出阴影部分的面积（结果保留π）．

19．如图，△ABC 中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4cm，三角形 ABC 按逆时针方向旋转一定角度后与三角形 ADE 重合，且点 C 恰好成为 AD 的中点.

（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；  

（2）求出∠BAE 的度数和 AE 的长.  

20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，A、B也关于抛物线对称轴对称，且CD＝AB，求抛物线的解析式．

21．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象在第一象限内交于A(1，6)，B(3，n)两点．请解答下列问题：

（1）求这两个函数的表达式；

（2）根据图象直接写出kx+b﹣>0的x的取值范围．

22．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．

（1）求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；

（2）若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．

23．某书店销售一批教辅书籍，每天可售出20套，每套可盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一套书每降价1元，每天可多售出2套．请解答下列问题：

（1）设每套降价x元，每天盈利y元（不计其他书籍），求y与x之间的函数关系式

（2）若书店每天想要在此教辅书上盈利1200元，每套应降价多少元？

（3）每套降价多少元时，书店每天销售这套教辅书的盈利达到最大？盈利最大是多少元？

24． 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E． 

（1）求证：AC平分∠DAB； 

（2）若∠B=60°，CD=2 ，求AE的长． 

25．如图：

（1）【问题探究】

如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．

①请写出AD与BD之间的位置关系：      ▲ ；

②若AC=BC=，DC=CE=，求线段AD的长；

（2）【拓展延伸】

如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=，BC=，CD=，CE=1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，直接写出线段AD的长．

26．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，其中BC＞AB，OA=2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED—DA向点A运动，运动的时间为t（0＜t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为s．请解答下列问题：

（1）求点D的坐标；

（2）求s关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】A

3．【答案】D

4．【答案】D

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】3

8．【答案】9

9．【答案】3

10．【答案】7

11．【答案】（2， ）

12．【答案】6

13．【答案】

14．【答案】3.4

15．【答案】解： ， 

，

，

或 ，

故 ．

16．【答案】⑴如图所示，为所求．

⑵如图所示，即为所求，

点的坐标为(﹣5，2)．

17．【答案】解：画树状图如下：                   

共有9种等可能结果，其中和为偶数的情况有5种，和为奇数的情况有4种

∴P(甲获胜)= ，P(乙获胜)=

∵ ≠ ，

∴这个游戏对双方不公平．

18．【答案】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，

∴AC＝＝＝2，∠C＝∠BAC＝45°， 

∴﹣×2×2＝π﹣2， 

故阴影面积为π﹣2．

19．【答案】（1）解：∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点， 

∴旋转中心是点A；

根据旋转的性质可知：∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ACB=150°，

∴旋转角度是150°

（2）解：由（1）可知：∠BAE=360°-150°×2=60°， 

由旋转可知：△ABC≌△ADE，

∴AB=AD，AC=AE，又C为AD中点，

∴AC=AE= AB= ×4=2cm

20．【答案】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），

∴AB＝4，

又A、B也关于抛物线对称轴对称，

∴h＝2，

∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，

∴CD＝AB＝2，

∴则点C的坐标为（1，2），（或点D的坐标为（3，2）），代入解析式，

∴2＝﹣+k，

  解得，k＝．

∴ 所求抛物线解析式为

21．【答案】（1）解：∵反比例函数y＝(k≠0)的图象与一次函数y＝kx+b的图象在第一象限交于A(1，6)，B(3，n)两点，

∴将A(1，6)代入反比例函数表达式中，

m=1×6=6，

∴反比例函数表达式为：y=，

把B(3，n)代入得

n=2，

∴B(3，2)，

将A、B代入y＝kx+b中得

∴，

∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣2x+8

（2）解：由图象可得：当kx+b﹣>0时，1＜x＜3或．

22．【答案】（1）解：连接OA，OB，OC，作OD⊥AB于点D．

则AD=AB，

∵BA= CA，OA= OA，OB= OC，

∴△BAO≌△CAO，

∴∠BAO=∠CAO，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAO=30 °，

∵圆的直径为4，

∴ OA=2，

∴OD=1，DA==，

∴AB=2DA=2；

∴剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2

（2）解：则扇形（即阴影部分）的弧长是：，

根据题意得：，

解得：r=．

答：此圆锥形铁帽的底面圆的半径为．

23．【答案】（1）解：根据题意有：，

即y与x之间的函数关系为：

（2）解：令y=1200，则有方程：，

整理，得：，

解得，，

∵要减少库存，扩大销售，

∴x=20，

答：每套要降价20元

（3）解：将函数关系式变形为：，

∵，

∴当x=15时，y值最大，且最大值为y=1250，

即：当每套降价15元时，盈利最大为1250元．

24．【答案】（1）证明：如图1，连接OC， 

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCD+∠ADC=180°，

∴AD∥OC，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

则AC平分∠DAB

（2）解： 

法1：如图2，连接OE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵∠B=60°，

∴∠1=∠3=30°，

在Rt△ACD中，CD=2 ，∠1=30°，

∴AC=2CD=4 ，

在Rt△ABC中，AC=4 ，∠CAB=30°，

∴AB= = =8，

∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，

∴△AOE是等边三角形，

∴AE=OA= AB=4；

法2：如图3，连接CE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∠B=60°，

∴∠1=∠3=30°，

在Rt△ACD中，CD=2 ，

∴AD= = =6，

∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，

∴∠B+∠AEC=180°，

又∵∠DEC=∠B=60°，

在Rt△CDE中，CD=2 ，

∴DE= = =2，

∴AE=AD﹣DE=4．

25．【答案】（1）解：①垂直；②如图，过点C作CF⊥AD于点F，

∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=，

∴DF=CF=1，

∴AF==3，

∴AD=AF+DF=4；

（2）解：或

26．【答案】（1）解：，

，，

，

，，

，

，，

四边形是矩形，

点的坐标为

（2）解：设交轴于点，

如图1，当时，，

，

，

，即，

，

；

如图2，当时，，

，

，

，即，

，

；

综上所述，

（3）解：存在，，或或