陕西省西安市碑林区西北工大附中2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1. 如图是一个拱形积木玩具，其主视图是
   (    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，是河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，，、相交于点，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，已知菱形的两条对角线与长分别是和，则这个菱形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是(    )

A.  B. 或
C.  D. 或

7. 下列说法正确的个数有(    )
   一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
   对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
   对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
   任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形的周长和面积是已知矩形周长和面积的倍．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，已知正方形，点为的中点，连接交于，则：的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

9. 若，则的值为______．
10. 两张大小不一样的视力表，相同视力对应的“”边长分别为厘米、厘米，若较大视力表对应的测试距离为米，则较小视力表的测试距离应为______米．
11. 如图，已知在中，点在上，，，，反比例函数的图象经过点，则的值为______．

12. 一个口袋中有个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到黑球，估计口袋中大约有______个白球．
13. 如图，在中，，点在上，，，且，点为的中点，则的值为______．

三、解答题（本题共12小题，共81分）

14. 利用因式分解法解方程：．
15. 用公式法解方程：．
16. 计算：．
17. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使得∽．

18. 如图，已知在四边形中，，点是的中点，连接交于点，且点是的中点，求证：四边形是平行四边形．

19. 如图，已知在中，，，，求的面积．

20. 某种服装，平均每天可以销售件，每件赢利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要赢利元，每件应降价多少元？
21. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号，，，分别写在完全相同的张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“”和“”的概率．
22. 小明和小华想用所学的知识测量小河对岸树的高度，测量时，小明在河岸观测树在河面的倒影，并调整站立的位置，当小明站在点处时，树倒影的顶端恰好被河岸边缘点遮挡，此时，的长为米，小明观测树顶端的仰角为视线与水平线的夹角，已知小明的身高为米，请你根据以上信息，计算树的高度．

23. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且，点在反比例函数的图象上．
    求反比例函数的表达式；
    若直线交轴于点，求的面积．

24. 如图，已知在中，，，点、在上，连接、，且．
    证明∽；
    若，求的长．

25. 小明同学在研究二次三项式时，对其进行了配方，思路为，从而他得出二次三项式的最大值为______．
    如图，在等边中，点、分别在和上，，，且，求的长．
    如图，在中，，，，点、、、分别在、和上，且，，，设为，请用含有的式子表示四边形的面积，并探究其有无最值？如果有，求出这个最值；如果没有，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从正面看得到的图形是下面有一半圆的图形．
故选：．
从正面观察得到的图形是主视图．
本题考查了简单组合体的三视图的知识，从正面看所得到的图形是主视图．
 

2.【答案】 

【解析】解：关于的方程的一个根为，
设另一根为，
则，
解得，
所以，
解得．
故选：．
利用根与系数的关系，设另一根为，则，解出，两根之和，解出的值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，若二次项系数不为，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，．
 

3.【答案】 

【解析】解：坡高，水平距离，
，
斜坡的坡度为．
故选：．
根据坡度的定义直接得出答案即可．
本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，，
∽，
，
即，
，
．
故选：．
利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例求解．
本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，能够灵活利用平行线的性质、三角形相似判定和性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，
故选：．
直接由菱形面积公式列式计算即可．
本题考查菱形的性质、解题的关键是熟记菱形的面积公式，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：以原点为位似中心，相似比为，把放大，，
点的对应点的坐标为或，即点的坐标为或，
故选：．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

7.【答案】 

【解析】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故正确；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故正确；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故正确；
设给定一个矩形的边长为、，另一个矩形的边长为、，
令，，则，
对于关于的方程，
，
该方程有两个实数根，且都为正根，故正确；
说法正确的个数有个，
故选：．
由平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定以及一元二次方程的根的判别式分别对各个说法进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的应用、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及正方形的判定等知识，熟练掌握一元二次方程的根的判别式以及平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，，
∽，
，
点为的中点，
，
，
，，
：：，
故选：．
根据正方形的性质得到，，，证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键，合比性质：．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：

根据题意得米，厘米，厘米，
，
∽，
，即，
米，
即较小视力表的测试距离应为米．
故答案为：．
证明∽，然后利用相似比计算出即可．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：

，
，
，，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
过点作于点，根据等腰三角形的性质，可知是的中点，根据，，可得，进一步可得的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求出的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设白球有个，根据题意得，，
解得，
即口袋中大约有个白球．
故答案为：．
设白球有个，然后根据概率的意义列出方程求解即可．
本题考查了利用频率估计概率，理解概率的意义并列出方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
整理得，
解得舍去或，
，
点为的中点，
，
：：，
即：：，
．
故答案为：．
利用可求出，再计算出，然后根据三角形面积公式得到：：，从而可求出．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
 

14.【答案】解：，
，
则，
或，
解得，． 

【解析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

15.【答案】解：，，，
，
，
． 

【解析】找出方程中二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，由根的判别式大于，得到方程有解，将，及的值代入求根公式即可求出原方程的解．
此题考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程时首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，当时，代入求根公式来求解．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
此题主要考查了实数运算和特殊的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

17.【答案】解：如图点即为所求．
 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图相似变换，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
点是的中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】证≌，得，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，过点作于点，则，

，，
，，
，
设，
则，
，
，
，
，
解得，
，
． 

【解析】过点作于点，则，解直角三角形求出，根据三角形的面积公式即可得的面积．
本题考查解直角三角形，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：设每件应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件应降价元． 

【解析】设每件应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该服装获得的利润每件的利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“”和“”的结果有种，
小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“”和“”的概率为． 

【解析】画树状图，表示出所有等可能的结果数，以及两张卡片上的数字是“”和“”的结果数，再结合概率公式即可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，过作于点，
则四边形是矩形，
，米，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，米，米，
，
∽，
，
即，
解得：，
米，
即树的高度为米． 

【解析】过作于点，则四边形是矩形，得，米，再证，设米，则米，米，米，然后证∽，得，解得，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题以及相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作轴于，则，
∽，
，
一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
，
，
的横坐标为，
把代入得，，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数为；
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
． 

【解析】过点作轴于，则，通过证得∽，求得的横坐标，代入一次函数解析式求得坐标，把点的坐标代入即可求得反比例函数的解析式；
通过反比例函数解析式求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求得点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求得反比例函数、一次函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
，，
，
∽；
过点作于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
． 

【解析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，加上，则可判断∽；
过点作于点，如图，根据等腰三角形的性质得到，再利用含度角的直角三角形三边的关系求出，则，然后利用∽得到，从而利用比例的性质可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
 

25.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：；
，
，
，
∽，
，即：，
解得：；
如图：过作于点，过作于点，过作于点，

四边形为矩形，
，
，
，
，
≌，
，，
四边形为正方形，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积为三角形的面积于正方形的面积的和，
为：

，
所以四边形的面积为，由最小值为．
先配方，再根据平方的非负性求解；
根据一线三等角，得到三角形相似，再根据相似的性质求解；
通过作辅助线，把四边形分割成几个图形的面积和，再求解．
本题考查了配方的应用，及几何的综合应用，是一道综合性较强的题，辅助线是解题的关键．