陕西省西安市2023-—2024学年上学期九年级期中考试数学试卷

这是一份陕西省西安市2023-—2024学年上学期九年级期中考试数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（ ）
A．﹣2B．﹣4C．0D．4
2．（3分）下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．任意两个等腰直角三角形
B．任意两个等边三角形
C．任意两个矩形
D．任意两个正方形
3．（3分）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，不断重复这一过程，共摸了100次球（ ）个白球．
A．12B．8C．6D．4
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，则BP＝（ ）
​
A．8B．6C．4D．2
5．（3分）若α，β是x2﹣2x﹣4＝0的两根，则α2+β2的值是（ ）
A．﹣4B．4C．10D．12
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣1.5）C．（0，﹣1）D．（﹣2，0）
7．（3分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．（x﹣3）（10﹣x）＝40B．（x+3）（10﹣x）＝40
C．（x﹣3）（10+x）＝40D．（x+3）（10+x）＝40
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BE⊥AC于点E．若CE＝3AE＝6，则边AD的长是（ ）
A．B．C．D．6
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，c＝3，则d的长为 ．
10．（3分）方程x2＝16的解为 ．
11．（3分）如图，已知，请再添加一个条件，你添加的条件是 （写出一个即可）．
12．（3分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，且分别标有数字，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），则两个指针所指区域的数字之积为偶数的概率是 ．
13．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD的中点，则GH的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解方程：（x﹣1）2＝2x（1﹣x）
15．（5分）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D
16．（5分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，∠OAB＝45°，求证：四边形ABCD是正方形．
17．（5分）已知m，n是方程t2﹣3t﹣5＝0的两个实数根，求m2+mn+3n的值．
18．（5分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，连接AF、CE交于点O，求证：∠AFD＝∠CED．
19．（5分）某县为创评“全国文明城市”称号，周末团县委组织志愿者进行宣传活动．班主任周老师决定从4名女班干部（小兰，小红，小丽和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，洗匀后放在桌面上，周老师先从中随机抽取一张卡片，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）第一次抽取卡片“小红被抽中”的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小丽被抽中”的概率．
20．（5分）如图，已知点E在△ABC是边AC的中点，点F在边AB的延长线上，如果＝，求．
21．（6分）设一元二次方程4x2+bx+c＝0在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，c＝1；②b＝5；③b＝﹣3，c＝﹣1，c＝1．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
22．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2
23．（7分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商7至9月份统计，该品牌电动自行车7月份销售150辆，9月份销售216辆．
（1）求该品牌电动自行车这两个月销售量的月均增长率；
（2）假设每月的增长率相同，预计10月份的销量会达到300辆吗？
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，作PF∥BC交CD于点F．
（1）证明：△BPE∽△PDF；
（2）已知AB＝6，AD＝8，当四边形PECF是正方形时
25．（8分）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA），地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在MG上），AC＝1米，AG＝8米（DF⊥EF），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP＝1.5米，PG＝23.6米
26．（10分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和矩形的性质时，做了如下探究：在矩形ABCD中，BC＝3，AB＝4
【观察与猜想】（1）如图1，连接AE，交BC于点F，连接AF；
【类比探究】（2）如图2，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），过点E作EF⊥PE，交BC于点F；
【拓展延伸】（3）如图3，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），过点E作EF⊥PE，交AB于点F，且△PEF的面积是2.16，求AP的长．
2023-2024学年陕西省西安市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（ ）
A．﹣2B．﹣4C．0D．4
【答案】B
【分析】把x＝2代入一元二次方程得4+2b﹣b＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+bx﹣b＝5得4+2b﹣b＝4，
解得b＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（3分）下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．任意两个等腰直角三角形
B．任意两个等边三角形
C．任意两个矩形
D．任意两个正方形
【答案】C
【分析】对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似图形，依此对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A．所有的等腰直角三角形对应边成比例，一定相似；
B．所有的等边三角形对应边成比例，一定相似；
C．所有的矩形，对应角一定相等，故本选项符合题意；
D．所有的正方形对应边成比例，一定相似．
故选：C．
【点评】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．
3．（3分）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，不断重复这一过程，共摸了100次球（ ）个白球．
A．12B．8C．6D．4
【答案】B
【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
【解答】解：根据题意得：
20×＝8（个），
答：估计这个口袋中有8个白球．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，则BP＝（ ）
​
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC＝8，然后利用直角三角形斜边上的中线可得BP＝AD＝4，即可解答．
【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC＝8，
∵∠ABC＝90°，点P是AD的中点，
∴BP＝AD＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5．（3分）若α，β是x2﹣2x﹣4＝0的两根，则α2+β2的值是（ ）
A．﹣4B．4C．10D．12
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣5，
∴α2+β2＝（α+β）6﹣2αβ＝4+4＝12；
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（ ）
A．（0，﹣2）B．（0，﹣1.5）C．（0，﹣1）D．（﹣2，0）
【答案】见试题解答内容
【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】解：∵A（2，3），
∴OD＝2，AD＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
在Rt△ODC中，OC＝＝，
∴C（6，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据菱形的性质得到CD＝AD＝3．
7．（3分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．（x﹣3）（10﹣x）＝40B．（x+3）（10﹣x）＝40
C．（x﹣3）（10+x）＝40D．（x+3）（10+x）＝40
【答案】B
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（10﹣x）元，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝每盆的总盈利即可得出方程．
【解答】解：由题意得：（x+3）（10﹣x）＝40，
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BE⊥AC于点E．若CE＝3AE＝6，则边AD的长是（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【分析】根据矩形性质和BE⊥AC，可证得：△ABE∽△ACB，由对应线段成比例即可求得AB的值，最后根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵矩形ABCD，BE⊥AC，
∴∠ABC＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBE，
∴△ABE∽△ACB，
∴＝，
∴AB2＝AC•AE，
∵CE＝3AE＝6，
∴AC＝BD＝AE+EC＝2+6＝8，
∴AB2＝16，
∴AB＝4 或者AB＝﹣2 （舍），
∴AB＝4，
∴AD＝＝＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，c＝3，则d的长为 6 ．
【答案】6．
【分析】根据比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后把a＝2，b＝4，c＝3代入进行计算即可．
【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，b＝4，
∴2：5＝3：d，
∴d＝＝6，
故答案为：2．
【点评】本题考查了比例线段的定义，解题的关键是掌握若四条线段a，b，c，d有a：b＝c：d，那么就说这四条线段成比例．
10．（3分）方程x2＝16的解为 x1＝4，x2＝﹣4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x＝±4，
所以x1＝7，x2＝﹣4．
故答案为x2＝4，x2＝﹣6．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
11．（3分）如图，已知，请再添加一个条件，你添加的条件是 或∠BAC＝∠CAD （写出一个即可）．
【答案】或∠BAC＝∠CAD．
【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答．
【解答】解：添加，
∵，
∴△ABC∽△ACD；
添加∠BAC＝∠CAD，
∵，∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD；
故答案为：或∠BAC＝∠CAD．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握：三边分别成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似．
12．（3分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，且分别标有数字，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），则两个指针所指区域的数字之积为偶数的概率是 ．
【答案】．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中两个指针所指区域的数字之积为偶数的结果数为4种，
所以两个指针所指区域的数字之积为偶数的概率＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
13．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD的中点，则GH的最小值为 1 ．
【答案】1．
【分析】连接CG，根据正方形的性质易证△ADE≌△CDG（SAS），进一步可得∠DCG＝∠DAC＝45°，可知点G的运动轨迹，根据垂线段最短即可求出GH的最小值．
【解答】解：连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAC＝45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
∵AB＝2，H是CD的中点，
∴HC＝，
当HG⊥CG时，GH最小×＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了正方形的性质，涉及点的运动轨迹，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解方程：（x﹣1）2＝2x（1﹣x）
【答案】见试题解答内容
【分析】原方程移项变形后，左边利用提公因式法转化为两个因式乘积的形式，右边为0，然后利用两因式乘以为0，至少有一个因式为0，把原方程转化为两个一元一次方程，求出两方程的解即可得到原方程的根．
【解答】解：移项得：（x﹣1）2+8x（x﹣1）＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣1+2x）＝7，
即x﹣1＝0或3x﹣1＝0，
解得：x2＝1，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，用因式分解法解题时，方程左边化为两个因式乘积的形式，右边为0，然后利用两因式乘以为0，至少有一个因式为0，把原方程转化为两个一元一次方程来求解．
15．（5分）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的性质结合等腰三角形的性质可得出∠CDE＝∠ABE，结合对顶角相等，即可证出△AEB∽△CED．
【解答】证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵BC＝CD，
∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE．
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED．
【点评】本题考查了相似三角形的判定、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用角平分线的性质及等腰三角形的性质找出∠CDE＝∠ABE．
16．（5分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，∠OAB＝45°，求证：四边形ABCD是正方形．
【答案】见解析．
【分析】根据等腰三角形的判定和性质以及正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠OAB＝45°，AC⊥BD，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AO＝BO，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
17．（5分）已知m，n是方程t2﹣3t﹣5＝0的两个实数根，求m2+mn+3n的值．
【答案】9．
【分析】由根与系数的关系得出m+n＝3，mn＝﹣5，通过方程的根求出m2＝3m+5，最后代入求值即可．
【解答】解：∵m，n是方程t2﹣3t﹣8＝0的两个实数根，
∴m+n＝3，mn＝﹣5，m2﹣3m﹣6＝0，
∴m2＝8m+5，
∴m2+mn+4n
＝3m+5+mn+8n
＝3（m+n）+mn+5
＝3×3+（﹣5）+2
＝9．
【点评】此题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解本题的关键．
18．（5分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，连接AF、CE交于点O，求证：∠AFD＝∠CED．
【答案】证明见解析．
【分析】根据菱形的性质和SAS证明△ADF与△CDE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝CD﹣CF，
即DE＝DF，
在△ADF与△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠AFD＝∠CED．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的邻边相等解答．
19．（5分）某县为创评“全国文明城市”称号，周末团县委组织志愿者进行宣传活动．班主任周老师决定从4名女班干部（小兰，小红，小丽和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，洗匀后放在桌面上，周老师先从中随机抽取一张卡片，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）第一次抽取卡片“小红被抽中”的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小丽被抽中”的概率．
【答案】（1）；
（2）小丽被抽中的概率为．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）列举出所有情况数，看所求情况数占总情况数的多少即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意可得：
第一次抽取卡片“小红被抽中”的概率为，
故答案为：；
（2）根据题意，列出表格如下：
共有12种等可能出现的结果，其中小丽被抽中的有6种结果，
∴小丽被抽中的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，掌握概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
20．（5分）如图，已知点E在△ABC是边AC的中点，点F在边AB的延长线上，如果＝，求．
【答案】．
【分析】过B点作BG∥AC，根据平行线分线段成比例的性质可得＝＝，再根据中线的定义和平行线分线段成比例的性质即可求解．
【解答】解：过B点作BG∥AC，
由平行线分线段成比例的性质可得＝＝，
∵点E是边AC的中点，
∴AE＝CE，
∴＝，
∴＝．
【点评】考查了平行线分线段成比例，关键是熟练掌握平行线分线段成比例的定理和推论．
21．（6分）设一元二次方程4x2+bx+c＝0在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，c＝1；②b＝5；③b＝﹣3，c＝﹣1，c＝1．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】当选②时：x＝﹣或x＝﹣1；
当选③时：解得：x＝1或x＝﹣．
【分析】根据根的判别式选出b、c的值，再解方程．
【解答】解：当Δ＝b2﹣16c＞0时，一元二次方程7x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
所以可以选②、③，
当选②时：5x2+5x+7＝0，
（4x+4）（x+1）＝0，
解得：x＝﹣或x＝﹣1；
当选③时：8x2﹣3x﹣7＝0，
（x﹣1）（7x+1）＝0，
解得：x＝3或x＝﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题的关键．
22．（7分）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2
【答案】（1）证明见解答；
（2）BF的长是2．
【分析】（1）由AC⊥BC，DE⊥BC，得AC∥DE，由四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，得AD∥CE，则四边形ACED是平行四边形，即可由∠ACE＝90°，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形；
（2）由平行四边形的性质和矩形的性质得AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝2，因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，则AB＝AE＝BE＝2CE＝4，∠AFB＝90°，所以AF＝AE＝2，即可根据勾股定理求得BF＝＝2．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×5＝4，
∴∠AFB＝90°，AF＝×6＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BF的长是2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明AC∥DE及△ABC是等边三角形是解题的关键．
23．（7分）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商7至9月份统计，该品牌电动自行车7月份销售150辆，9月份销售216辆．
（1）求该品牌电动自行车这两个月销售量的月均增长率；
（2）假设每月的增长率相同，预计10月份的销量会达到300辆吗？
【答案】（1）该品牌电动自行车销售量的月均增长率为20%；
（2）预计10月份的销量不会达到300辆．
【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据7月份的销售量×（1+增长率）2＝9月份的销售量，列出一元二次方程，解方程即可；
（2）求出10月份的销量，即可得到答案．
【解答】解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，
由题意得：150（1+x）2＝216，
解得：x7＝﹣2.2（不合题意，舍去），x4＝0.2＝20%，
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率为20%；
（2）10月份的销量为：216×（8+20%）＝259.2（辆），
∵259.2＜300，
∴预计10月份的销量不会达到300辆．
【点评】本题考主要查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，作PF∥BC交CD于点F．
（1）证明：△BPE∽△PDF；
（2）已知AB＝6，AD＝8，当四边形PECF是正方形时
【答案】（1）见解答；
（2）当四边形PECF是正方形时，正方形的边长为．
【分析】（1）由平行线的性质判断出∠BPE＝∠PDF，∠PBE＝∠DPF，即可得出结论；
（2）设正方形的边长为x，则PE＝PF＝CE＝CF＝x，进而得出BE＝8﹣x，DF＝6﹣x，再由△BPE∽△PDF，得出，即，解方程即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵PE∥DC，
∴∠BPE＝∠PDF，
∵PF∥BC，
∴∠PBE＝∠DPF，
∴△BPE∽△PDF；
（2）解：当四边形PECF是正方形，设此正方形的边长为x，
在矩形ABCD中，AB＝6，
∴BE＝8﹣x，DF＝4﹣x，
由（2）知，△BPE∽△PDF，
∴，
∴，
∴x＝，
即当四边形PECF是正方形时，正方形的边长为．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BPE∽△PDF是解本题的关键．
25．（8分）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA），地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在MG上），AC＝1米，AG＝8米（DF⊥EF），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP＝1.5米，PG＝23.6米
【答案】1.3米．
【分析】如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6米，证明△ABC∽△ANG和△DEF∽△DMQ，可得MQ和GN的值，最后由线段的和差可得结论．
【解答】解：如图，延长DF交MG于Q，DQ＝PG＝23.6，
∵BC⊥AP，MG⊥AP，
∴BC∥MG，
∴△ABC∽△ANG，
∴＝，即＝，
∴NG＝12米，
同理得：△DEF∽△DMQ，
∴＝，
∵EF＝3.1米，DF＝0.3米，
∴DF＝2EF，
∴MQ＝DQ＝，
∴MN＝MQ+QG﹣GN＝11.7+1.5﹣12＝4.3（米）．
答：旗帜的宽度MN是1.5米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
26．（10分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和矩形的性质时，做了如下探究：在矩形ABCD中，BC＝3，AB＝4
【观察与猜想】（1）如图1，连接AE，交BC于点F，连接AF；
【类比探究】（2）如图2，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），过点E作EF⊥PE，交BC于点F；
【拓展延伸】（3）如图3，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），过点E作EF⊥PE，交AB于点F，且△PEF的面积是2.16，求AP的长．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程；
（3）3﹣．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，∠C＝∠D＝90°，再利用同角的余角相等得∠DAE＝∠CEF，最后利用ASA证明△ADE≌△ECF，可得AE＝EF；
（2）由（1）同理可得∠DPE＝∠CEF，且∠C＝∠D，则△PDE∽△ECF；
（3）由（1）同理可得△PDE∽△EHF，可得＝，设PE＝x，则EF＝3x，利用△PEF的面积是2.16，可得关于x的方程，即可得出PE的长，再用勾股定理求出PD，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AED+∠CEF＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∵DE＝3，
∴CE＝3，
∴CE＝AD，
∴△ADE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）证明：由（1）同理可得∠DPE＝∠CEF，
∵∠C＝∠D，
∴△PDE∽△ECF；
（3）解：过点F作FH⊥CD于点H，则四边形BCHF是矩形，
由（1）同理可得△PDE∽△EHF，
∴＝，
设PE＝x，则EF＝3x，
∵△PEF的面积是2.16，
∴×PE•EF＝2.16，
∴•x•3x＝2.16，
解得x＝1.2（负值舍去），
∴PE＝2.2，
在Rt△PDE中，由勾股定理得＝＝，
∴AP＝AD﹣PD＝3﹣．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．小兰
小红
小丽
小倩
小兰
（小红，小兰）
（小丽，小兰）
（小倩，小兰）
小红
（小兰，小红）
（小丽，小红）
（小倩，小红）
小丽
（小兰，小丽）
（小红，小丽）
（小倩，小丽）
小倩
（小兰，小倩）
（小红，小倩）
（小丽，小倩）