陕西省西安市西咸新区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份陕西省西安市西咸新区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若方程（a+2）x2+3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则a的值不可能是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
2．（3分）一个纸箱中装有若干白色和黄色的乒乓球，共计20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到白球的频率绘制成如图所示的统计图，由此可估计纸箱中白球的个数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，BD＝3，那么DF的长为（ ）
A．4B．C．5D．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
5．（3分）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663
A．B．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．
6．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（ ）
​
A．B．C．D．4
7．（3分）如图，有一张长15cm，宽10cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是104cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．15×10﹣4x2＝104B．（15﹣x）（10﹣x）＝104
C．15×10﹣25x＝104D．（15﹣2x）（10﹣2x）＝104
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D为AC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（ ）
A．0.5或2B．0.5或3.5C．2或2.5D．2或3.5
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知，则＝ ．
10．（3分）如图是第19届亚运会的宣传画，总面积为4m2，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在宣传画的图案上的频率稳定在常数0.7附近，由此可估计宣传画上图案的面积约为 m2．
11．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则a+b的值为 ．
12．（3分）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（即车尾与倒车镜的距离与车长之比为），如果车头与倒车镜的水平距离为2米（如图），则该车车身总长为 米．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD的延长线上，且BE＝DF，连接AE，AF，取AE的中点G，连接BG，FG，若BG＝4，则FG＝ ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）解方程：x2﹣3x﹣10＝0．
15．（5分）如图，已知△ABC～△A1B1C1，∠C＝40°，∠B1＝55°，AC＝6，BC＝7，A1C1＝8，求x的值和∠A的度数．
16．（5分）为弘扬中华传统文化，学校准备开展“国学知识挑战赛”．张老师将7张写有“成语故事”和若干张写有“国学常识”的卡片放入一个不透明的盒子中，这些卡片除上面的字外，其余完全相同．九年级学生想知道盒子中“国学常识”的张数，于是他们将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下卡片上面的字后放回，搅匀后再摸一张卡片，记下卡片上面的字后放回，不断重复上述过程，获得数据如表：
（1）a＝ ，估计摸到“国学常识”的概率为 （保留两位小数）；
（2）根据表中数据，请你帮九年级学生估计盒子中有多少张“国学常识”卡片？
17．（5分）如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，E为AD的中点，AD∥BC，ED＝BC．求证：四边形BCDE是菱形．
18．（5分）张林用因式分解法解一元二次方程3x2﹣6x＝8﹣4x时，他的做法如下：
解：方程两边分解因式，得3x（x﹣2）＝4（2﹣x），（第一步）
方程变形为3x（x﹣2）＝﹣4（x﹣2），（第二步）
方程两边同时除以（x﹣2），得3x＝﹣4，（第三步）
系数化为1，得．（第四步）
（1）张林的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误；
（2）请你用张林的方法完成这个题的解题过程．
19．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在边AB上求作一点D，使得△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（5分）随着陕西交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷．如图，甲村到乙镇有乡村公路A、乡村公路B和省级公路C三条路线；从乙镇到咸阳国际机场，有省级公路D、高速公路E和国道F三条路线．张叔叔驾车从甲村到咸阳国际机场接人（不考虑其他因素）．
（1）从甲村到乙镇，张叔叔所选路线是“乡村公路A”的概率为 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求两段路程都选省级公路的概率．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k﹣1＝0．求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
22．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（DE＜BE），连接AE，过点E分别作EF⊥AE交BC于点F，EG⊥BD交BC的延长线于点G．
（1）若AD＝6，DE＝2，求EG的长度；
（2）求证：FG＝AB．
23．（7分）如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度EF．在河对岸有一棵高4.64米的树GF，树GF在河里的倒影为HF，且GF＝HF，小斌在岸边调整自己的位置，当站在点B处时恰好看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面EF的距离CE＝0.58米，小斌的眼睛与地面的距离（AB）为1.74米，BC＝2.7米，AB⊥BC，CE⊥EF，HF⊥EF，GF⊥EF，BC∥EF，视线AH与水面EF的交点为D，请你根据以上测量方法及数据，求出河的宽度EF．
24．（8分）某超市以每箱21元的进价购进某种水果，售价为35元/箱，七月份售出256箱，八、九月份该水果十分畅销，销量持续上涨，九月份销量达到400箱．
（1）求八，九月份该水果销量的月平均增长率；
（2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市十月份可获利4565元？
25．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．
26．（10分）如图，在长方形ABCD中，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，若DH＝DC．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠AOF的度数；
（3）如果AB＝3，求OH2的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）若方程（a+2）x2+3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则a的值不可能是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【分析】根据一元二次方程的定义得出a+2≠0，求出即可．
【解答】解：∵方程（a+2）x2+3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，
∴a+2≠0，
∴a≠﹣2．
即a的值不可能是﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（abc都是常数，且a≠0）．
2．（3分）一个纸箱中装有若干白色和黄色的乒乓球，共计20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到白球的频率绘制成如图所示的统计图，由此可估计纸箱中白球的个数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：由题意知，袋子中有白球20×0.4＝8（个）．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
3．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，BD＝3，那么DF的长为（ ）
A．4B．C．5D．
【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行线分线段成比例，即可求出DF的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
∴DF＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠A＝∠DCA＝25°，
∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝25°+25°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A．B．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．
【分析】由相似三角形的判定，即可判断．
【解答】解：A、两三角形两边对应成比例，但两边夹角∠C和∠E不一定相等，不能判定△ABC与△ADE相似，故A不符合题意；
B、由∠BAD＝∠CAE，只能推出∠BAC＝∠DAE，不能判定△ABC与△ADE相似，故B不符合题意；
C、AB＝AE，∠BAC＝∠DAE，不能判定△ABC与△ADE相似，故C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC与△ADE相似，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
6．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H．若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（ ）
​
A．B．C．D．4
【分析】由菱形的性质和勾股定理得BC＝5，再由S菱形ABCD＝BC•DH＝AC•BD，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝5，
∵DH⊥BC，
∴S菱形ABCD＝BC•DH＝AC•BD，
即5DH＝×8×6，
解得：DH＝，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
7．（3分）如图，有一张长15cm，宽10cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是104cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．15×10﹣4x2＝104B．（15﹣x）（10﹣x）＝104
C．15×10﹣25x＝104D．（15﹣2x）（10﹣2x）＝104
【分析】根据矩形纸片的长、宽及剪去小正方形的边长，可得出折叠成的无盖的长方体纸盒的底面是长为（15﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm的矩形，结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是104cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形纸片的长为15cm，宽为10cm，且在它的四个角剪去的小正方形的边长是xcm，
∴折叠成的无盖的长方体纸盒的底面是长为（15﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm的矩形．
根据题意得：（15﹣2x）（10﹣2x）＝104．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D为AC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（ ）
A．0.5或2B．0.5或3.5C．2或2.5D．2或3.5
【分析】由含30°角的直角三角形的性质得到AC＝BC＝2cm，由线段中点定义求出CD＝1，分两种情况，由相似三角形的性质，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝30°，
∴AC＝BC＝×4＝2cm，
∵D是AC中点，
∴CD＝AC＝1cm，
当△CDE∽△CAB时，
∴CD：CA＝CE：CB，
∴1：2＝（4﹣t）：4，
∴t＝2．
当△CDE∽△CBA时，
∴CD：BC＝CE：CA，
∴1：4＝（4﹣t）：2，
∴t＝3.5，
∴t的值为2或3.5．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形，关键是要分两种情况讨论．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知，则＝ ．
【分析】根据比例的性质求出a＝b，c＝d，再代入求出即可．
【解答】解：∵＝＝，
∴a＝b，c＝d，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质的应用，能根据比例的性质求出a＝b和c＝d是解此题的关键．
10．（3分）如图是第19届亚运会的宣传画，总面积为4m2，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在宣传画的图案上的频率稳定在常数0.7附近，由此可估计宣传画上图案的面积约为 2.8 m2．
【分析】用长方形宣传画的面积乘以骰子落在宣传画的图案上的频率的稳定值即可．
【解答】解：∵长方形宣传画的总面积为4m2，骰子落在宣传画的图案上的频率稳定在常数0.7附近，
∴宣传画上图案的面积约为：4×0.7＝2.8（m2）．
故答案为：2.8．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
11．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则a+b的值为 7 ．
【分析】利用配方法把一元二次方程变形，进而求出a，b，计算即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
移项，得x2﹣4x＝1，
配方，得x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴a＝2，b＝5，
∴a+b＝2+5＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
12．（3分）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（即车尾与倒车镜的距离与车长之比为），如果车头与倒车镜的水平距离为2米（如图），则该车车身总长为 （3+） 米．
【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：设该车车身总长为x米，
由题意得：＝，
解得：x＝3+，
经检验：x＝3+是原方程的根，
∴该车车身总长为（3+）米，
故答案为：（3+）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD的延长线上，且BE＝DF，连接AE，AF，取AE的中点G，连接BG，FG，若BG＝4，则FG＝ 4 ．
【分析】由正方形的性质得到AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°，求出∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，得到∠ABE＝∠ADF，即可证明△ABE≌△ADF（SAS），得到AF＝AE，∠BAE＝∠DAF，由∠BAE+∠DAE＝90°，推出∠FAG＝90°，由直角三角形斜边中线的性质得到BG＝AE，求出AG＝BG＝4，AE＝2BG＝8，由勾股定理求出FG＝＝＝4．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵BE＝DF，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AF＝AE，∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴DAF+∠DAE＝90°，
∴∠FAG＝90°，
∵∠ABE＝90°，G是AE中点，
∴BG＝AE，
∴AG＝BG＝4，AE＝2BG＝8，
∴AF＝AE＝8，
∴FG＝＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由△ABE≌△ADF（SAS），得到AF＝AE，∠BAE＝∠DAF，推出∠FAG＝90°，由勾股定理即可求出FG的长．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）解方程：x2﹣3x﹣10＝0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：分解因式得：（x﹣5）（x+2）＝0，
x﹣5＝0，x+2＝0，
x1＝5，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
15．（5分）如图，已知△ABC～△A1B1C1，∠C＝40°，∠B1＝55°，AC＝6，BC＝7，A1C1＝8，求x的值和∠A的度数．
【分析】根据相似三角形的性质得AC：A1C1＝BC：B1C1，∠B＝∠B1＝55°，进而得6：8＝7：x，由此解出x即可，然后再利用三角形的内角和定理即可求出∠A的度数
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∠B1＝55°，
∴AC：A1C1＝BC：B1C1，∠B＝∠B1＝55°，
即6：8＝7：x，
解得：x＝，
∵∠C＝40°，∠B＝∠B1＝55°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（55°+40°）＝85°．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，理解相似三角形的对应边成比例，对应角相等是解决问题的关键．
16．（5分）为弘扬中华传统文化，学校准备开展“国学知识挑战赛”．张老师将7张写有“成语故事”和若干张写有“国学常识”的卡片放入一个不透明的盒子中，这些卡片除上面的字外，其余完全相同．九年级学生想知道盒子中“国学常识”的张数，于是他们将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下卡片上面的字后放回，搅匀后再摸一张卡片，记下卡片上面的字后放回，不断重复上述过程，获得数据如表：
（1）a＝ 0.295 ，估计摸到“国学常识”的概率为 0.30 （保留两位小数）；
（2）根据表中数据，请你帮九年级学生估计盒子中有多少张“国学常识”卡片？
【分析】（1）用摸到“国学常识”的次数除以摸卡次数即可求得a值，然后用频率的稳定值估计概率即可；
（2）根据概率公式列式计算即可．
【解答】解：（1）a＝59÷200＝0.295；估计摸到“国学常识”的概率为0.30，
故答案为：0.295，0.30．
（2）设盒子里有“国学常识”卡x张，
根据题意得：，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的根，
∴估计盒子中有3张“国学常识”卡片．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是观察表格找到多次实验的频率稳定值，难度不大．
17．（5分）如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，E为AD的中点，AD∥BC，ED＝BC．求证：四边形BCDE是菱形．
【分析】先证明四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题．
【解答】证明：∵AD∥BC，ED＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，E为AD的中点，
∴，
∴四边形BCDE是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
18．（5分）张林用因式分解法解一元二次方程3x2﹣6x＝8﹣4x时，他的做法如下：
解：方程两边分解因式，得3x（x﹣2）＝4（2﹣x），（第一步）
方程变形为3x（x﹣2）＝﹣4（x﹣2），（第二步）
方程两边同时除以（x﹣2），得3x＝﹣4，（第三步）
系数化为1，得．（第四步）
（1）张林的解法是不正确的，他从第 三 步开始出现了错误；
（2）请你用张林的方法完成这个题的解题过程．
【分析】（1）两边除以（x﹣2）时，要考虑其是不是0即可判断；
（2）先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案．
【解答】解：（1）张林的解法是不正确的，他从第步开始出现了错误；
故答案为：三；
（2）3x（x﹣2）＝4（2﹣x），
3x（x﹣2）＝﹣4（x﹣2），
3x（x﹣2）+4（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x+4）＝0，
即x﹣2＝0或3x+4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键．
19．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在边AB上求作一点D，使得△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠ACD＝∠B即可．
【解答】解：如图，点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，将所求问题转化为作∠ACD＝∠B是解题的关键．
20．（5分）随着陕西交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷．如图，甲村到乙镇有乡村公路A、乡村公路B和省级公路C三条路线；从乙镇到咸阳国际机场，有省级公路D、高速公路E和国道F三条路线．张叔叔驾车从甲村到咸阳国际机场接人（不考虑其他因素）．
（1）从甲村到乙镇，张叔叔所选路线是“乡村公路A”的概率为 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求两段路程都选省级公路的概率．
【分析】（1）根据概率的定义可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两段路程都选省级公路的结果有1种，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为，
故答案为：；
（2）树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两段路程都选省级公路的结果有1种，
∴两段路程都选省级公路的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及随机事件的定义是解答本题的关键．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k﹣1＝0．求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
【分析】求出该方程根的判别式，证明其判别式的值大于0即可．
【解答】证明：根据题意可得；
a＝1，b＝2k，c＝k﹣1，
∴，
∵，
∴，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
22．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点（DE＜BE），连接AE，过点E分别作EF⊥AE交BC于点F，EG⊥BD交BC的延长线于点G．
（1）若AD＝6，DE＝2，求EG的长度；
（2）求证：FG＝AB．
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠DBC＝45°，结合EG⊥BD可得∠G＝45°，即BE＝EG，由AD＝6，可求出BD＝6，则EG＝BE＝BD﹣DE；
（2）连接CF，先证明△ABE≌△CBE，得出∠AEB＝∠CEB，由∠AEF＝∠BEG＝90°可得∠BEF＝∠GEC，即可得出△BEF≌△GEC，则BF＝CG，BC＝FG＝AB．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AD＝6，
∴∠DBC＝45°，BD＝＝6，
∵EG⊥BD，
∴∠BEG＝90°，
∴∠G＝45°，
∴BE＝EG，
∵DE＝2，
∴EG＝BE＝6﹣2；
（2）证明：连接CF，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠AEB＝∠CEB，
∵EF⊥AE，EG⊥BD，
∴∠AEF＝∠BEG＝90°，
∴∠AEB+∠BEF＝90°，∠CEB+∠GEC＝90°，
∴∠BEF＝∠GEC，
由（1）知BE＝GE，∠EBF＝∠G，
∴△BEF≌△GEC（ASA），
∴BF＝GC，
∴BC＝FG，
∵AB＝BC，
∴FG＝AB．
【点评】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
23．（7分）如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度EF．在河对岸有一棵高4.64米的树GF，树GF在河里的倒影为HF，且GF＝HF，小斌在岸边调整自己的位置，当站在点B处时恰好看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面EF的距离CE＝0.58米，小斌的眼睛与地面的距离（AB）为1.74米，BC＝2.7米，AB⊥BC，CE⊥EF，HF⊥EF，GF⊥EF，BC∥EF，视线AH与水面EF的交点为D，请你根据以上测量方法及数据，求出河的宽度EF．
【分析】首先推知△ABC∽△CED、△CED∽△HFD，利用相似三角形对应边成比例求得线段DF＝7.2米，则EF＝ED+DF＝8.1米．
【解答】解：∵BC∥EF，AB⊥BC，CE⊥EF，
∴∠ACB＝∠CDE，∠ABC＝∠CED＝90°，
∴△ABC∽△CED．
∴，即 ＝，
∴ED＝0.9．
∵CE⊥EF，FH⊥EF，
∴∠CED＝∠HFD＝90°，
∵∠CDE＝∠HDF，
∴△CED∽△HFD．
∴，即 ＝，
∴DF＝7.2，
∴EF＝ED+DF＝0.9+7.2＝8.1（米），
∴河的宽度EF为8.1米．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
24．（8分）某超市以每箱21元的进价购进某种水果，售价为35元/箱，七月份售出256箱，八、九月份该水果十分畅销，销量持续上涨，九月份销量达到400箱．
（1）求八，九月份该水果销量的月平均增长率；
（2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市十月份可获利4565元？
【分析】（1）设八、九两月的月平均增长率为x，利用九月的销售量＝七月的销售量×（1+八、九两月的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利（35﹣y﹣21）元，月销售量为（400+5y）箱，利用总利润＝每箱的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设八、九两月的月平均增长率为x，
依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：八、九两月的月平均增长率为25%．
（2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利（35﹣y﹣21）元，月销售量为（400+5y）箱，
依题意得：（35﹣y﹣21）（400+5y）＝4565，
整理得：y2+66y﹣207＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣69（不符合题意，舍去）．
答：当该水果每箱降价3元时，超市十月获利4565元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．
【分析】（1）由菱形的性质证得∠BOE＝∠AOB＝90°，再由同角的余角相等证得∠BAO＝∠EBO，利用有两个角分别相等的三角形相似判定△BEO∽△ABO，由相似三角形的性质可得比例式，结合菱形的边长相等可得结论；
（2）利用有两个角分别相等的三角形相似判定△ABE∽△BOE，从而可得比例式，利用勾股定理求得EB的长，再由比例式可得EO的值，进而得出AO的值，然后由关系式EC＝AC﹣OE＝AO﹣EO求得答案即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOE＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵EB⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠EBO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBO，
又∵∠BOE＝∠AOB，
∴△BEO∽△ABO，
∴，
（2）∵∠ABE＝∠BOE＝90°，∠AEB＝∠BEO，
∴△ABE∽△BOE，
∴＝，
已知AE＝13，AB＝12，由勾股定理得：EB＝＝＝5，
∴，
∴EO＝，
∴AO＝AE﹣EO＝13﹣＝，
∴EC＝AC﹣OE＝AO﹣EO＝．
【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
26．（10分）如图，在长方形ABCD中，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，若DH＝DC．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠AOF的度数；
（3）如果AB＝3，求OH2的值．
【分析】（1）分别证明△ADH、△DCE都是等腰直角三角形，进而推出，，再由DH＝DC即可证明DE＝AD；
（2）利用三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平角的定义求出∠HAE，∠AHF的度数，即可利用三角形外角的性质求出∠AOF的度数；
（3）先证明∠OEH＝∠OHE，得到OE＝OH，由（2）得∠EAH+∠AHF，得到OA＝OH，推出，得到，再求出，由勾股定理得AE2＝AB2+BE2，据此求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
又∵AH⊥DH，∠DCE＝90°，
∴△ADH、△DCE都是等腰直角三角形，
∴，，
∵DH＝DC，
∴DE＝AD；
（2）解：∵DE＝AD，DH＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴，
又∵AH⊥DE，即∠AHD＝90°，
∴∠AHF＝180°﹣∠AHD﹣∠DHC＝22.5°，
∵∠HAE＝∠DAE﹣∠HAD＝22.5°，
∴∠AOF＝∠EAH+∠AHF＝45°；
（3）解：∵∠OHE＝180°﹣∠AHF﹣∠AHD＝67.5°，
∴∠OEH＝∠OHE，
∴OE＝OH，
由（2）得∠EAH＝∠AHF＝22.5°，
∴OA＝OH，
∴，
∴，
∵CD＝AB＝3，
∴CE＝CD＝3，，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝AB2+BE2，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．摸卡次数
50
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200
250
300
摸到“国学常识”的次数
17
29
46
59
74
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摸到“国学常识”的频率
0.340
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0.307
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0.296
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