2021-2022学年甘肃省武威市凉州区高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年甘肃省武威市凉州区高二上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是（       ）

A．①简单随机抽样，②分层抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样

C．①②都用简单随机抽样 D．①②都用分层抽样

【答案】B

【分析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项

【详解】在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样．

故选：B．

2．已知数列的通项公式为，则（       ）

A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】D

【分析】利用给定的通项公式直接计算即得.

【详解】因数列的通项公式为，则有，

所以.

故选：D

3．已知a，b为不相等的实数，记，则M与N的大小关系为（       ）

A． B． C． D．不确定

【答案】A

【分析】利用作差法即可比较M与N的大小﹒

【详解】因为，

又，所以，即．

故选：A

4．已知等差数列中，，则（       ）

A．15 B．30 C．45 D．60

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质，可知，从而可求出结果.

【详解】解：根据题意，可知等差数列中，，

则，

所以.

故选：D.

5．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为人，那么高三被抽取的人数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用分层抽样求出的值，进而可求得高三被抽取的人数.

【详解】由分层抽样可得，可得，

设高三所抽取的人数为，则，解得.

故选：C.

6．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据命题真假的判断，对四个选项一一验证即可.

【详解】对于A：若，则必成立；

对于B：若，则必成立；

对于C：若，则必成立；

对于D：由不能得出，所以不可能是.

故选：D．

7．在公比为的等比数列中，前项和，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】先利用和的关系求出和，再求其公比.

【详解】由，得，，

所以，，则.

故选：C.

8．已知，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求得中的取值范围，由此确定充分、必要条件.

【详解】，

，

所以“”是“”的充要条件.

故选：B

9．设变量满足约束条件，则的最大值为（       ）

A．0 B． C．3 D．4

【答案】A

【分析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义，即可求出目标函数的最大值.

【详解】解：满足约束条件 的可行域如下图所示：

由，可得，

因为目标函数，即，表示斜率为，截距为的直线，

由图可知，当直线经过时截距取得最小值，即取得最大值，

所以的最大值为，

故选：A.

10．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.

【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以C选项符合.

故选：C

11．函数的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据基本不等式即可求出．

【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为．

故选：C．

12．已知双曲线E的渐近线为，则其离心率为（       ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】根据双曲线标准方程与渐近线的关系即可求解.

【详解】当双曲线焦点在x轴上时，渐近线为，故离心率为；

当双曲线焦点在y轴上时，渐近线为，故离心率为；

故选：D.

二、填空题

13．中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示，从左至右五个小组的频率之比为，则抽取的这400名高一学生中视力在范围内的学生有______人.

【答案】50

【分析】利用频率分布直方图的性质求解即可.

【详解】第五组的频率为，

第一组所占的频率为，

则随机抽取400名学生视力在范围内的学生约有人.

故答案为：50.

14．已知数列中，，，则_______.

【答案】

【分析】根据递推公式一一计算即可；

【详解】解：因为，

所以，，，

故答案为：

15．在数列中，若，则该数列的通项公式__________

【答案】

【分析】由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，结合等比数列通项公式即可得解.

【详解】解：由在数列中，若，

则数列是以为首项，为公比的等比数列，

由等比数列通项公式可得，

故答案为：.

【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

16．某厂将从64名员工中用系统抽样的方法抽取4名参加2011年职工劳技大赛，将这64名员工编号为1～64，若已知8号、24号、56号在样本中，那么样本中最后一个员工的号码是__________．

【答案】40

【分析】结合系统抽样的抽样方法来确定最后抽取的号码.

【详解】因为分段间隔为，故最后一个员工的号码为.

故答案为：

三、解答题

17．求下列不等式的解集：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；

（2）利用分式不等式的解法求解.

【详解】(1)解：因为，

所以，

解得，

所以不等式的解集是；

(2)因为，

所以，

所以，

即，

解得，

所以不等式的解集是.

18．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．

(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？

(3)样本中不达标的学生人数是多少？

(4)第三组的频数是多少？

【答案】(1)0.08，150；

(2)88%；

(3)18；

(4)51.

【分析】频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，所以计算面积之比即为所求小组的频率.可用此方法计算（1），（2），由公式直接计算可得（1）中样本容量；根据（2）问中的达标率，可计算不达标率，从而求出不达标人数，可得（3）；单独计算第三组的频率，由公式计算频数，可求出（4）.

【详解】(1)频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝0.08．

所以样本容量＝＝150.

(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.

(3)由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12．

所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．

(4)第三小组的频率为＝0.34．

又因为样本量为150，

所以第三组的频数为150×0.34＝51．

19．已知集合，设．

(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先解出集合A、B，然后根据p是q的充分不必要条件列出不等式组求解.

（2）¬q是¬p的必要不充分条件可知q是p的充分不必要条件，然后求解.

【详解】(1)解：由题意得：

，

p是q的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集

∴，即，所以实数a的取值范围.

(2)¬q是¬p的必要不充分条件

p是q的必要不充分条件，即q是p的充分不必要条件

集合B是集合A的真子集

∴，故实数a的取值范围为

20．已知等差数列的前项和满足，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式；

（2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得

【详解】解：（1）设等差数列的公差为，

因为，.

所以，化简得，解得，

所以，

（2）由（1）可知，

所以，

所以

【点睛】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题

21．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；

（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．

【详解】（1），

所以，即抛物线C的方程.

（2）设，

由得

所以，

所以

.

【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，

(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．

(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．

22．椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的斜率为2的直线交椭圆于､两点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程；

（2）求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果.

【详解】(1)由题意可得，，∴，，，

所以椭圆的标准方程为.

(2)直线l的方程为，

代入椭圆方程得，设，，

则，，，

∴，

又∵点O到直线AB的距离，

∴，

即△OAB的面积为.