2021-2022学年甘肃省酒泉市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年甘肃省酒泉市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若复数满足，则的模为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 从年起，甘肃考生的高考成绩由语文、数学、外语门统一高考成绩和考生选考的门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．若规定等级性考试成绩位次由高到低分为、、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级，等级现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取人作为样本，则该样本中获得或等级的学生人数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知，，，则与的夹角是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 通过随机询问名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量的观测值，参照附表，得到的正确结论是(    )

A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

8. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 直线被圆所截得的最短弦长等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在四边形中，，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 若函数在上的最大值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 现选派名男医生名女医生组成两个组，去支援两个社区的防疫工作，每组至少人，女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生，则不同的安排方法有______种用数字填写答案．
14. 正项递增等比数列，若，，则______．
15. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是______．
16. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成两岸连接点间距离为米其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为米某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为           米
     

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知数列为等差数列，其中，．
    Ⅰ求数列的通项公式：
    Ⅱ记，求的前项和为．
18. 函数的部分图象如图所示．
    Ⅰ求的最小正周期及解析式；
    Ⅱ设，求函数在区间上的最小值．

19. 如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．
    求证：平面；
    求证：平面平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

20. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
    求函数的解析式；
    求函数的单调区间；
    若函数有三个零点，求的取值范围．
21. 年月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：人一组；方案二：人一组．
    分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；
    若该社区约有人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．
    参考数据：，
22. 如图，在道路边安装路灯，路面宽，灯柱高，灯杆与地面所成角为路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，轴线，灯杆都在灯柱和路面宽线确定的平面内．
    当灯杆长度为多少时，灯罩轴线正好通过路面的中线？
    如果灯罩轴线正好通过路面的中线，此时有一高的警示牌直立在处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
故．
故选：．
先求出集合，然后结合并集的运算即可求解．
本题主要考查了并集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，则．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，、等级人数所占比例依次为：等级，等级，
所以或等级所占的比例为，
人的样本中，获得或等级的学生人数为人，
故选：．
由已知求得或等级所占比例，再乘以即可求出结果．
本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据该几何体的三视图，可知该几何体是如图所示的直三棱柱将三棱锥切除后余下部分，即四棱锥，

由三视图中的数值可知，
直三棱柱中，，
所以该几何体的体积为：．
故选：．
根据题意可知该几何体是直三棱柱，将三棱锥切除后余下部分，作出草图，结合题中所给数据即可求出结果．
本题考查三视图，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，设与的夹角是，
，则，
则，
又由，则，
故选：．
根据题意，设与的夹角是，由数量积的计算公式求出的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的求法，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
的展开式的通项为：
，
令，则，
展开式的常数项是．
故选：．
根据题意，得出，利用二项式展开式的通项，求出的值，即可求得结论．
本题考查了利用二项式展开式的通项公式求某一项的应用问题，是基础题目．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
通过计算得到统计量值的观测值，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论．
本题考查了通过计算得到统计量值的观测值，对照数表估计概率结论的应用问题，是基础题目．

【解答】

解：计算得到统计量值的观测值，
参照题目中的数值表，得到正确的结论是：
在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”．
故选C．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，两边平方得，，
．
故选：．
直接把已知等式两边平方求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：直线过定点，由圆的方程可知圆心为，半径为，
所以圆心到直线的最大距离为点，的距离，
所以最短的弦长为，
故选：．
首先求出直线所过的定点，由圆的几何性质可知当圆心到直线的距离最大时，直线截圆所得的弦长最短，利用勾股定理计算即可．
本题主要考查直线与圆相交的位置关系，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
故选：．
利用指数函数，对数函数的单调性，比较与，之间的关系，即可得出答案．
本考查函数值的大小关系，解题关键是熟悉基本初等函数的单调性，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，令，则，，
在中，由正弦定理得，可得，
在中，由正弦定理得，可得，
故，代入数据得，
整理得，又，故，解得，
故选：．
由题意，连接，令，在与中，分别用正弦定理建立方程，得到关于的方程，解出它的正切值，即可得出的长．
本题考查解三角形，三角形中的几何计算，考查方程的思想，逻辑推理能力，计算能力，难度较高，易因为找不到等量关系导致无从下手解答本题．
 

12.【答案】 

【解析】解：的导数为，
当时，时，，单调减，
当时，，单调增，
当时，取得最大值，
解得，不合题意；
当时，在递减，最大，且为，不成立；
当时，在递减，最大，
即，解得，
故选：．
对函数进行求导，讨论研究函数在上的单调性，而求出最大值，即可得到的值．
本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，注意运用分类讨论的思想方法，属于研究最值问题的中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：两个社区人数分两类：一类人和人，二类人和人，又女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生，
一类人和人，人中男人女人，共有，二类人和人，人中男人女人和男人女人，共有，
综上，共有种．
首先按人数分两类，一类人和人，二类人和人，再有女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生求解．
本题考查了排列组合应用题，关键如何分类、分步，要求分类类类独立，分步步步相连，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：正项递增等比数列，若，，
，解得或舍，
．
故答案为：．
由等比中项的性质求出，，由此能求出结果．
本题考查等比数列的运算，考查正项递增等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：
由，解得，
因为阴影部分表示的平面区域是一个三角形，
所以的取值范围是．
故答案为：．
画出不等式组表示的平面区域，根据平面区域是一个三角形，结合图形得出的取值范围．
本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数以及解三角形知识的应用，考查了扇形的弧长公式的应用，属于中档题．
连接，可得，由题意可得，可求，的值，进而由图利用扇形的弧长公式即可计算得解．

【解答】

解：由题意，如图所示，可得米，米，

连接，可得，
因为，
所以，，
所以绕着月牙泉的岸边步行一周，
则该游客步行的路程为米．
故答案为：．

17.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
依题意有，
解得，，
从而的通项公式为；
Ⅱ因为，
所以 ． 

【解析】Ⅰ设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
Ⅱ求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由图可知，
，
，----------------------分
当时，，
可得，
，
，
-------------------------------------------分
Ⅱ

-------------------------------------------------分
-------------------------------分
，
的最小值为---------------------------分 

【解析】Ⅰ根据图象求出，计算周期，将的值代入表达式求出对应的系数，求出函数的解析式即可；
Ⅱ求出的表达式，将其化简，根据三角函数的性质求出其最小值即可．
本题考查了求三角函数的解析式，考查三角函数的性质，是一道中档题．
 

19.【答案】证明：如图，取中点，连，．
为中位线，，又平面，平面，
平面．
同理，在梯形中，，又平面，平面，
平面，且平面，平面，，
平面平面．
又平面，所以平面．

证明：如上图，在四边形中，过作交于，
在中，得，，，则，得，
，．
又由已知条件，，故A平面．
又平面，平面平面．
解：设点到面的投影距离为，则，中，，，由勾股定理，，
又由，，得，解得．
从而得．
故直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】通过添加辅助线，利用面面平行的判定定理证明面面，进一步证明平面；
先证明平面，再证明平面平面；
利用面面垂直的判定定理证明平面平面，通过计算三棱锥的体积，求解点到面的投影距离，井而求解直线与平面所成用的正弦值．
本题考查线面平行、面面垂直、及线面角，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
由题意得，即，
解得，，．
所以．
，令，得或．
和随的变化情况如下表：

所以的单调递减区间是；单调递增区间是，．
，则，
由可知在处取得极大值，在处取得极小值，
依题意，要使有三个零点，则，
又，，解得，
所以的取值范围为． 

【解析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义及函数极值存在条件可求；
结合导数矛单调性关系即可求解；
结合中单调性分析函数的性质，即可求解．
本题主要考查了导数与单调性的关系，极值存在条件及导数的几何意义的应用，还考查了导数与函数知识的综合应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：设方案一中每组的化验次数为，则的取值为，，
，，
的分布列为：

，
设方案二中每组的化验次数为，则的取值为，，
，，
的分布列为：

．
根据方案一，该社区化验分组数为，方案一的化验总次数的期望值为：次，
根据方案二，该社区化验分组数为，方案二的化验总次数的期望为次，
，
方案一工作量更少．故选择方案一． 

【解析】设方案一中每组的化验次数为，则的取值为，，根据独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到分布列，再利用期望公式求出，设方案二中每组的化验次数为，则的取值为，，根据独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到分布列，再利用期望公式求出．
分别计算两种方案的化验总次数的期望值，再进行比较即可作出判断．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
 

22.【答案】解：分别以图中、所在直线为、轴，建立平面直角坐标系，如图所示；
灯杆与地面所成角为，，方程为：，
因为灯罩线与灯杆垂直，
可设的斜率为，则，
又，
所以直线的方程为：，
由组成方程组，求得点；
所以，
即当灯杆长度为时，灯罩轴线正好通过路面的中线；
设警示牌为，且，
则，，
所以直线的方程为：，
令，解得，
所以，
所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为 

【解析】本题考查了阅读理解能力和数学建模能力以及运算求解能力的应用问题，也考查了直线方程以及直线与直线的位置关系应用问题．
分别以图中、所在直线为、轴，建立平面直角坐标系，
利用坐标表示点和，写出、的方程，求出点的坐标，再求的值；
设警示牌为，写出直线的方程，求出的影子长度的值．