【同步练习】苏科版初一数学上册 第4章《一元一次方程》（基础培优卷）

这是一份【同步练习】苏科版初一数学上册 第4章《一元一次方程》（基础培优卷），共26页。
【单元测试】第4章 一元一次方程
（基础培优卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若关于x的方程的解是，则a的值等于（     ）
A． B．0 C．2 D．8
2．下列方程是一元一次方程的是（     ）
A．x2﹣4＝6 B．3x﹣2y＝0． C．＝5 D．5x+1＝2
3．对于ax+b=0（a，b为常数），表述正确的是（     ）
A．当a≠0时，方程的解是x= B．当a=0，b≠0时，方程有无数解
C．当a=0，b=0，方程无解 D．当a≠0时，方程的解是x=
4．解方程，去分母正确的是（     ）
A． B． C． D．
5．把方程的分母化为整数的方程是（     ）
A． B．
C． D．
6．某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个．
①5m+9＝4m﹣15；②＝；③＝；④5m﹣9＝4m+15．其中正确的是（　　）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
7．小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．某市居民用电价格改革方案已出台，为鼓励居民节约用电，对居民生活用电实行阶梯制价格（见表）：
“一户一表”用电量
不超过a千瓦时
超过a千瓦时的部分
单价（元/千瓦时）
0.5
0.6

乐乐家12月份用电200千瓦时，交电费105元，则a的值为（　　）
A．90 B．100 C．150 D．120
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
9．已知关于x的方程的解是，则a的值是____________．
10．已知关于x的方程的解是，那么关于m的方程的解是______．
11．小红在解关于的一元一次方程时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为________．
12．如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程___________．

13．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣2与2．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设P、Q两点的运动时间为t秒，当PQAB时，t＝________．

14．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，关于x的方程的解为______________
x
﹣2
﹣1
0
1
2
ax－b
2
0
﹣2
﹣4
﹣6

15．如图，在中，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是等腰三角形时，运动时间是_________秒．

16．如图，已知正方形ABCD的边长为24厘米．甲、乙两动点同时从顶点A出发，甲以2厘米/秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是______厘米．

三、解答题（本大题共有10小题，共72分；第17-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25-26每小题10分）
17．解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．已知+5=0是关于x的一元一次方程．
（1）求a、b的值；
（2）若y=a是关于y的方程的解，求|a﹣b|﹣|b﹣m|的值．
19．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．
如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．
（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“兄弟方程”，求m的值；
（2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，求这两个方程的解．
20．阅读下列解方程的过程，回答问题：下课后，数学老师在黑板上布置了一道解一元一次方程的作业题，不知哪一位同学将等式右边的一个符号擦掉了，变成解方程：□，芳芳和妮妮分别补充一个符号，并做了如下解答.
芳芳：添上“”号，得.
方程两边同时加，得.
两边同除以，得.
所以原方程无解.
妮妮：添上“”号，得.
移项，得.
两边同时减，得.
解得.

你认为芳芳和妮妮的答案正确吗？请简要说明理由.
21．如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间；

(1)当t 为何值时，线段AQ的长度等于线段AP的长度？
(2)当t 为何值时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的？
(3)如图2，P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动．当t 为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半？
22．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题．

(1)在图②中用了________块黑色正方形，在图③中用了________块黑色正方形；
(2)按如图的规律继续铺下去，那么第个图形要用________块黑色正方形；
(3)白色正方形足够多的情况下，小明同学说，他恰好用完了块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形，请问此时是第________个图形．
23．对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再加上，得到其对应点．将称为点的“倍移点”．

(1)当，时，
①若点表示的数为，则其“倍移点” 表示的数为 　　；
②若点的“倍移点” 表示的数是3，则点表示的数为 　　；
③若点与其“倍移点” 在数轴上重合，求点所表示的数．
(2)已知点表示的有理数为3，其“倍移点”为点；原点的“倍移点”为点．
①当时，若线段与的重叠部分长度为2，求的值；
②若线段与的重叠部分长度为2，且，直接写出，之间的数量关系．
24．元旦节期间，各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是百盛和武商各自推出的优惠办法：
百盛：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元（含500），但不超过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超过1000元（含1000），超过部分享受6折；
武商：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商品享受8折．问
（1）王老师想到百盛买件标价为1800元的衣服，她应该付多少钱？
（2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？
（3）王老师元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，她有三个种打算：①到百盛武商各消费1500元；②全到百盛去消费；③全到武商去消费．假设王老师需要的商品百盛和武商都有，如果你是王老师，你会如何选择？请说明理由．
25．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为-5，点B表示的数为2．
例如如图，若点C表示的数为3，则（点C，线段AB）=1，（点C，线段AB）=8．

(1)若点D表示的数为-7，则（点D，线段AB）_____________，（点D，线段AB）_____________；
(2)若点M表示的数为m，（点M，线段AB）=3，则m的值为_____________；若点N表示的数为n，（点N，线段AB）=12，则n的值为_____________．
(3)若点E表示的数为x，点F表示的数为，（点F，线段AB）是（点E，线段AB）的3倍．求的值．
26．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：

（1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒；
（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；
（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数．

答案与解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若关于x的方程的解是，则a的值等于（     ）
A． B．0 C．2 D．8
【答案】D
【分析】将代入方程，求解即可.
【详解】解：将代入方程得

解得a=8
故选：D.
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，方程的解代入符合方程是解题的关键.
2．下列方程是一元一次方程的是（     ）
A．x2﹣4＝6 B．3x﹣2y＝0． C．＝5 D．5x+1＝2
【答案】D
【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，根据一元一次方程的定义求解即可．
【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是一元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程，利用一元一次方程的定义是解题关键．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
3．对于ax+b=0（a，b为常数），表述正确的是（     ）
A．当a≠0时，方程的解是x= B．当a=0，b≠0时，方程有无数解
C．当a=0，b=0，方程无解 D．当a≠0时，方程的解是x=
【答案】D
【分析】根据（a，b为常数），当时，就不是一元一次方程，当时，是一元一次方程．分两种情况进行讨论．
【详解】解：A．当时，方程的解是，故原选项错误，此项不符合题意；
B．当，时，方程无解，故原选项错误，此项不符合题意；
C．当，，方程有无数解，故原选项错误，此项不符合题意；
D．当时，方程的解是，故原选项正确，此项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程，解答此题的关键是：正确记忆一元一次方程的一般形式中，一次项系数不等于0．
4．解方程，去分母正确的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质，等式两边都乘以6去分母即可．
【详解】解：等式两边都乘以6得：，
即．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的基本性质的应用，在去分母时要注意保留括号，且等式两边的每一项都要乘最小公分母．
5．把方程的分母化为整数的方程是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把含分母的项的分子与分母都扩大10倍即可得出答案．
【详解】解：把方程两边含分母的项的分子与分母都乘以10得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个．
①5m+9＝4m﹣15；②＝；③＝；④5m﹣9＝4m+15．其中正确的是（　　）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】D
【分析】根据题意可以列出相应的方程，然后变形即可判断哪个小题中的方程正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
5m=n+9①，4m=n-15②，
由①得，，n=5m-9，由②得，， n=4m+15，
∴，5m-9=4m+15．
故③④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设他家到学校的路程是xkm，根据时间=路程÷速度结合上课时间不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设他家到学校的路程是xkm，
依题意，得：．
故选D．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．某市居民用电价格改革方案已出台，为鼓励居民节约用电，对居民生活用电实行阶梯制价格（见表）：
“一户一表”用电量
不超过a千瓦时
超过a千瓦时的部分
单价（元/千瓦时）
0.5
0.6

乐乐家12月份用电200千瓦时，交电费105元，则a的值为（　　）
A．90 B．100 C．150 D．120
【答案】C
【分析】根据题意可得等量关系：不超过a千瓦时的电费+超过a千瓦时的电费=105元，根据等量关系列出方程，解出a的值即可．
【详解】由题意得：0.5a+0.6（200-a）=105，
解得：a=150，
故选C.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出适当的等量关系列出方程是解题关键.
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
9．已知关于x的方程的解是，则a的值是____________．
【答案】3
【分析】根据方程的解的意义，把x＝1代入原方程，得关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：把x＝1代入方程2x＋a＝5，
得：2＋a＝5，
解得：a＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，本题关键是理解方程解的意义：使方程左右两边相等的未知数的值．
10．已知关于x的方程的解是，那么关于m的方程的解是______．
【答案】m=4
【分析】根据一元一次方程解的定义，把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，再把d=a+c代入方程）即可．
【详解】解：把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，
把d=a+c代入方程，
得，
即am=4a，
m=4．
故答案为：m=4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
11．小红在解关于的一元一次方程时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为________．
【答案】
【分析】先根据“错误方程”的解求出a的值，从而可得原方程，再解一元一次方程即可．
【详解】解：由题意得：是方程的解
则，
解得，
因此，原方程为
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解题意，求出原方程中a的值是解题关键．
12．如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程___________．

【答案】
【分析】根据题意可知，第一个乘数可以表示为，积可以表示为，由此列出方程即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
13．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣2与2．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设P、Q两点的运动时间为t秒，当PQAB时，t＝________．

【答案】6或2或
【分析】分情况：当点Q向右运动时，t秒后，点P表示的数是﹣2＋2t，点Q表示的数是2＋t；当点Q向左运动时，t秒后，点P表示的数是﹣2＋2t，点Q表示的数是2﹣t．再根据题意分别列方程可得解．
【详解】解：当点Q向右运动时，t秒后，点P表示的数是﹣2＋2t，点Q表示的数是2＋t，
由题意得|（﹣2＋2t）﹣（2＋t）|（2＋2），
解得t＝6或2；
当点Q向左运动时，t秒后，点P表示的数是﹣2＋2t，点Q表示的数是2﹣t，
由题意得|（﹣2＋2t）﹣（2﹣t）|（2＋2），
解得t或2；
综上，当PQAB时，t＝6或2或．
故答案为：6或2或．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用含t的式子表示出点P和点Q是解题关键．
14．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，关于x的方程的解为______________
x
﹣2
﹣1
0
1
2
ax－b
2
0
﹣2
﹣4
﹣6

【答案】x=-2
【分析】根据图表求得一元一次方程﹣ax+b+2＝0为2x+4＝0，即可得出答案．
【详解】解：∵当x＝0时，ax-b＝-2，
∴b＝2，
∵x＝-2时，ax-b＝2，
∴-2a-2＝2，a＝-2，
∴-ax+b+2＝0为2x+4＝0，
解得x＝-2．
故答案为：x＝-2．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，正确得出一元一次方程是解题的关键．
15．如图，在中，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是等腰三角形时，运动时间是_________秒．

【答案】4
【分析】设运动时间为t秒时，AP=AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为t秒时，AP=AQ，
根据题意得：20-3t=2t，
解得：t=4．
所以，当是等腰三角形时，运动时间是4秒，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为24厘米．甲、乙两动点同时从顶点A出发，甲以2厘米/秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是______厘米．

【答案】5.6．
【分析】可设第1次相遇的时间为x秒，根据速度和×时间=路程和，求出相遇时间；设第2次相遇的时间为y秒，根据速度和×时间=路程和，求出相遇时间；设第3次相遇的时间为z秒，根据速度和×时间=路程和，求出相遇时间；设第4次相遇的时间为t秒，根据速度和×时间=路程和，求出相遇时间；
【详解】设第1次相遇的时间为x秒，依题意有：（2+4）x=24×4，解得：x=16；
设第2次相遇的时间为y秒，依题意有：（2+1+4+1）y=24×4，解得：y=12；
设第3次相遇的时间为z秒，依题意有：（2+1+1+4+1+1）z=24×4，解得：z=9.6；
设第4次相遇的时间为t秒，依题意有：（2+1+1+1+4+1+1+1）t=24×4，解得：y=8；
　2×16﹣（2+1）×12+（2+1+1）×9.6﹣（2+1+1+1）×8
=32﹣36+38.4﹣40
=﹣5.6
故第四次相遇时甲与最近顶点的距离是5.6厘米．
故答案为5.6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、正方形的性质，本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分；第17-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25-26每小题10分）
17．解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）-3；（2）-3；（3）；（4）.
【分析】利用解一元一次方程的步骤求解即可.
【详解】（1）去分母得:,
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：；
(2) 去分母得:,
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：；
（3）去分母得:,
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把系数化为1：；
（4）去分母得:，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得： ，
把系数化为1：；
【点睛】解分式方程式, 方程先去分母,然后去括号,再移项合并,最后将x系数化为1即可求出解.
18．已知+5=0是关于x的一元一次方程．
（1）求a、b的值；
（2）若y=a是关于y的方程的解，求|a﹣b|﹣|b﹣m|的值．
【答案】（1）a=﹣2，b=2；（2）
【分析】（1）根据含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根据把方程的解代入方程，可得m的值，根据绝对值得特点，可得绝对值表示的数，根据有理数的加法运算，可得答案．
【详解】解：
（1）∵是关于y的一元一次方程，
∴a+b=0，a+2=1，
∴a=﹣2，b=2；
（2）把y=a=﹣2，代入，
∴m=，
∴|a﹣b|﹣|b﹣m|=﹣．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程是一元一次方程，把方程的解代入方程，求出m的值．
19．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．
如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．
（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“兄弟方程”，求m的值；
（2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，求这两个方程的解．
【答案】（1）25（2）±4（3）±2
【分析】（1）根据新定义运算法则解答；
（2）根据“兄弟方程”的定义和已知条件得到：n-（-n）=8或-n-n=8，解方程即可；
（3）求得方程2x+3m-2=0和3x-5m+4=0解，然后由“兄弟方程”的定义解答．
【详解】（1）方程2x-4=x+1的解为x=5，
将x=-5代入方程5x+m=0得m=25；
（2）另一解为-n．
则n-（-n）=8或-n-n=8，
∴n=4或n=-4；
（3）方程2x+3m-2=0的解为x＝，
方程3x-5m+4=0的解为x＝，
则+＝0，
解得m=2．
所以，两解分别为-2和2．
【点睛】考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义．
20．阅读下列解方程的过程，回答问题：下课后，数学老师在黑板上布置了一道解一元一次方程的作业题，不知哪一位同学将等式右边的一个符号擦掉了，变成解方程：□，芳芳和妮妮分别补充一个符号，并做了如下解答.
芳芳：添上“”号，得.
方程两边同时加，得.
两边同除以，得.
所以原方程无解.
妮妮：添上“”号，得.
移项，得.
两边同时减，得.
解得.

你认为芳芳和妮妮的答案正确吗？请简要说明理由.
【答案】芳芳和妮妮的答案都不正确，见解析.
【分析】对于芳芳的计算过程，方程两边同除以x时，没有考虑x为0的情况，由此即可判断其解答是否正确，对于妮妮的计算过程，由等式的性质，移项的过程中没有变号，由此即可判断其解答是否正确，即可解答.
【详解】解：芳芳和妮妮的答案都不正确.理由如下：
因为添上“”号，得.移项，得.合并同类项，得.
添上“”号，得.移项，得.合并同类项，得.
所以，芳芳和妮妮的答案都不正确.
【点睛】此题考查解一元一次方程，解题关键在于掌握解题步骤，根据方程的具体情况灵活运用.
21．如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间；

(1)当t 为何值时，线段AQ的长度等于线段AP的长度？
(2)当t 为何值时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的？
(3)如图2，P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动．当t 为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半？
【答案】(1)当t=2时，线段AQ的长度等于线段AP的长度
(2)当t=3时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的
(3)当时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半
【分析】（1）由长方形的特征可知AD=BC=6cm，由题意易得DQ=tcm，AP=2tcm，则有AQ=（6-t）cm，进而问题可求解；
（2）由（1）可知6-t+2t=9，然后问题可求解；
（3）由题意易得AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵AB=12cm，BC=6cm，
∴在长方形ABCD中，AD=BC=6cm，
由题意得：DQ=tcm，AP=2tcm，则有AQ=（6-t）cm，
∴，
解得：，
∴当t=2时，线段AQ的长度等于线段AP的长度；
（2）
解：由（1）可得：
，
解得：，
∴当t=3时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的；
（3）
解：由题意得：AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，
∴，
解得：；
∴当时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
22．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题．

(1)在图②中用了________块黑色正方形，在图③中用了________块黑色正方形；
(2)按如图的规律继续铺下去，那么第个图形要用________块黑色正方形；
(3)白色正方形足够多的情况下，小明同学说，他恰好用完了块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形，请问此时是第________个图形．
【答案】(1)7，10
(2)
(3)13
【分析】（1）观察如图可直接得出答案；
（2）认真观察题目中给出的图形，结合问题（1），通过分析，即可找到规律，得出答案；
（3）根据问题（2）中总结的规律，列出算式3n+1=40，如果结果是整数，则能够拼出具有以上规律的图形，否则，不能．
【详解】（1）解：观察如图可以发现，图②中用了7 块黑色正方形，在图③中用了10 块黑色正方形；
故答案为：7，10；
（2）解：在图①中，需要黑色正方形的块数为3×1+1=4；
在图②中，需要黑色正方形的块数为3×2+1=7；
在图③中，需要黑色正方形的块数为3×3+1=10；
由此可以发现，第几个图形，需要黑色正方形的块数就等于3乘以几，然后加1．
所以，按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用（3n+1）块黑色正方形；
故答案为：（3n+1）；
（3）解：能恰好用完40块黑色正方形，
理由如下： 假设第n个图形恰好能用完40块黑色正方形，
则3n+1=40，
解得：n=13， 即第13个图形中恰好用完40块黑色正方形．
故答案为：13
【点睛】此题主要考查了列代数式这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过分析、思考，总结出图形变化的规律．
23．对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再加上，得到其对应点．将称为点的“倍移点”．

(1)当，时，
①若点表示的数为，则其“倍移点” 表示的数为 　　；
②若点的“倍移点” 表示的数是3，则点表示的数为 　　；
③若点与其“倍移点” 在数轴上重合，求点所表示的数．
(2)已知点表示的有理数为3，其“倍移点”为点；原点的“倍移点”为点．
①当时，若线段与的重叠部分长度为2，求的值；
②若线段与的重叠部分长度为2，且，直接写出，之间的数量关系．
【答案】(1)①9；②-1；③
(2)①-7或1；②
【分析】（1）①结合“倍移点”的定义求得点表示的数；
②设点B表示的数为x,结合“倍移点”的定义求得x的值，即可得到点B表示的数；
③设点C表示的数为x,结合“倍移点”的定义和条件列出方程求得x的值，即可得到点C表示的数．
（2）①先分别表示点和点所表示的数，然后分情况讨论求得n的值；
②先分别表示点和点所表示的数，然后由n＜0得到点一直在点的左侧，进而结合条件求得m与n之间的数量关系．
【详解】（1）解：①，，
点表示的数为，
故答案为：9．
②设点表示的数为，则
，
解得：，
点表示的数为，
故答案为：．
③设点表示的数为，由题意得，
，
解得：，
点表示的数为；
（2）
由题意得，点表示的数为，点表示的数为，
①，
点表示的数为，点表示的数为，
点始终在点的右侧，且两点间距离为9个单位长度，

如图1，当点在线段上时，
线段与的重叠部分长度为2，
，
；
如图2，当点在上时，
线段与的重叠部分长度为2，
，
综上所述，或．
②点表示的数为，点表示的数为，，
当时，点在点的左侧，当时，点在点的左侧，
线段与的重叠部分长度为2，
当时，；
当时，且，线段与线段没有重叠部分，
与之间的数量关系为．
【点睛】本题考查了数轴上点所表示的数，解题的关键是会根据m和n的正负进行分类讨论．
24．元旦节期间，各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是百盛和武商各自推出的优惠办法：
百盛：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元（含500），但不超过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超过1000元（含1000），超过部分享受6折；
武商：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商品享受8折．问
（1）王老师想到百盛买件标价为1800元的衣服，她应该付多少钱？
（2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？
（3）王老师元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，她有三个种打算：①到百盛武商各消费1500元；②全到百盛去消费；③全到武商去消费．假设王老师需要的商品百盛和武商都有，如果你是王老师，你会如何选择？请说明理由．
【答案】（1）1380元钱；（2）不超过500元或1500元；（3）见解析．
【分析】（1）根据百盛的优惠办法即可求解；
（2）分两种情况：一次购物不超过500元；一次购物超过1000元；进行讨论即可求解；
（3）分别求出三种打算的原价，进行比较即可求解．
【详解】解：（1）1000×0.9+（1800﹣1000）×0.6＝1380（元）．
答：她应该付1380元钱；
（2）一次购物不超过500元，在两个商场可以享受相同的优惠；
一次购物超过1000元，设当我们购买x元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠，依题意有
1000×0.9+0.6（x﹣1000）＝0.8x，
解得x＝1500．
综上所述，当我们购买不超过500元或1500元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠；
（3）①1000+（1500﹣1000×0.9）÷0.6＝2000（元），
1500÷0.8＝1875（元），
2000+1875＝3875（元）；
②1000+（3000﹣1000×0.9）÷0.6＝4500（元）；
③3000÷0.8＝3750（元）；
∵4500＞3875＞3750，
∴选择第②种打算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
25．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为-5，点B表示的数为2．
例如如图，若点C表示的数为3，则（点C，线段AB）=1，（点C，线段AB）=8．

(1)若点D表示的数为-7，则（点D，线段AB）_____________，（点D，线段AB）_____________；
(2)若点M表示的数为m，（点M，线段AB）=3，则m的值为_____________；若点N表示的数为n，（点N，线段AB）=12，则n的值为_____________．
(3)若点E表示的数为x，点F表示的数为，（点F，线段AB）是（点E，线段AB）的3倍．求的值．
【答案】(1)2、9
(2)-8或5，-10或7
(3)-7.5或6.5
【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况讨论，点M在点A的两侧，点N在点B的两侧；
（3）分别讨论点E在A点左侧和B点右侧两种情况，根据EF=2及已知数量关系列出等式求解即可．
【详解】（1），

（2）①当M点在顶点A左边时，且，
解得： ，
当M点在点A右边时，且 ，
解得： ，
∴m的值为-8或5，
②当N点在点B左边时，，且 ，
解得： ，
当N点在点B右边时， ，且 ，
解得： ，
∴n的值为-10或7；
（3）
由题意可知，点F在点E的右侧且.
①若点E在线段AB上，则（点E，线段）=0，（点F，线段），不合题意；
②若点E在点A的左侧，即时，

（点E，线段）
∵点F在点E的右侧且，，
∴（点F，线段）
∵（点F，线段）（点E，线段AB），
∴
解得.
③若点E在点B的右侧，即时，

（点E，线段）
（点F，线段）
∵（点F，线段）（点E，线段AB），
∴
解得
综上所述，的值为-7.5或6.5．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，明确“近距”和“远距”的定义，根据定义列出方程是解题的关键．
26．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A和点D在数上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：

（1）动点P从点A运动至D点需要时间为________秒；
（2）P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；
（3）当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，直接写出它们在数轴上对应的数．
【答案】（1）15；（2）或；（3）点P表示的数为18，点Q表示的数为18．
【分析】（1）根据AB、BC、CD三段的路程及速度即可得；
（2）分点P在AB，点Q在CD；点P在AB，点Q在CO；点P在BO，点Q在CO；点P、Q相遇；点P在OC，点Q在OB；点P在OC，点Q在BA六种情况，分进行计算即可得；
（3）先推断出点Q在CD上追上点P，再分别将点P、Q所表示的数表示出来，建立方程求解即可得．
【详解】（1）点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，
，
动点P从点A运动到点D所需时间为（秒），
故答案为：15；
（2）由题意，分以下六种情况：
①当点P在AB，点Q在CD时，
点P表示的数为，点Q表示的数为，
点P、Q到原点的距离相同，
，
此方程无解；
②当点P在AB，点Q在CO时，
点P表示的数为，点Q表示的数为，
点P、Q到原点的距离相同，
，
解得，
此时点P表示的数为3，不在AB上，不符题设，舍去；
③当点P在BO，点Q在CO时，
点P表示的数为，点Q表示的数为，
点P、Q到原点的距离相同，
，
解得，
此时点P表示的数为，不在BO上，不符题设，舍去；
④当点P、Q相遇时，点P、Q均在BC上，
点P表示的数为，点Q表示的数为，
点P、Q到原点的距离相同，
，
解得，
此时点P表示的数为，点Q表示的数为，均符合题设；
⑤当点P在OC，点Q在OB时，
点P表示的数为，点Q表示的数为，
点P、Q到原点的距离相同，
，
解得，
此时点P表示的数为，点Q表示的数为，均符合题设；
⑥当点P在OC，点Q在BA时，
点P表示的数为，点Q表示的数为，
点P、Q到原点的距离相同，
，
解得，
此时点Q表示的数为0，不在BA上，不符题设，舍去；
综上，点P表示的数为或；
（3）点Q到达点A所需时间为（秒），此时点P到达的点是，
点P到达点C所需时间为（秒），此时点Q到达的点是，
点Q在CD上追上点P，此时点P表示的数为，点Q表示的数为，
，
解得，
此时点P表示的数为18，点Q表示的数为18．
【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的几何应用等知识点，结合数轴的定义，正确分情况讨论，并建立一元一次方程是解题关键．