2022-2023学年北京四中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京四中九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，是的外接圆，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列方程中，有两个相等的实数根的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 若将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，的半径是，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系如图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 已知某个二次函数的最小值为，请你写出一个符合，上述条件的二次函数的表达式为______．
10. 已知扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的弧长是______ ．
11. ，在二次函数的图象上，则与的大小关系为______用“”，“”，“”连接
12. 若抛物线与轴没有公共点，则的取值范围是______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是          ．
     

14. 如图，，是的两条切线，，为切点，若，，则的半径等于______．

15. 为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年月份盈利元，月份盈利元，求月份到月份盈利的月平均增长率．设月份到月份盈利的月平均增长率为，根据题意，可列方程为______．
16. 已知二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，，对于下列四个结论：；；方程的解为，；对于任意实数，总有其中正确的结论是______填写序号．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．

请根据上述作法完成尺规作图；
连接，，可证，理由是______；
直线，是的切线，依据是______．

19. 本小题分
    已知二次函数：．
    将化成的形式；
    在图中画出二次函数的图象；
    当时，利用图象直接写出的取值范围．

20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，，，．
    将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请在图中画出；
    将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出；
    连接，线段的长等于______．
     
21. 本小题分
    已知关于的方程．
    求证：此方程总有实数根；
    若为整数，且此方程有两个不相等的整数根，求的值．
22. 本小题分
    如图，在中，是直径，是弦，且于点，，求的半径．
     
23. 本小题分
    如图，有一农户要建一个矩形菜地，菜地的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．求当矩形的边长为多少时，菜地面积为？

24. 本小题分
    如图，是的直径，点为上一点，平分，交于点，交于点，延长到点，使得．
    求证：与相切；
    若的半径，，求的长．

25. 本小题分
    已知函数的图象过点，．
    直接写出的解析式；
    如图，请补全分段函数的图象不要求列表．
    并回答以下问题：
    写出此分段函数的一条性质：______；
    若此分段函数的图象与直线有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数的取值范围；
    横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记中函数的图象与直线围成的封闭区域不含边界为“区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．
     
26. 本小题分
    已知，抛物线：经过点，．
    求抛物线的对称轴；
    平移抛物线：，使其顶点在直线上，设平移后的抛物线的顶点的横坐标为求抛物线与轴交点的纵坐标的最大值．
    在的条件下，抛物线与轴交于点，将其向左平移个单位得到点，若抛物线与线段只有个公共点，直接写出的取值范围．
27. 本小题分
    如图，在正方形中，点在线段的延长线上，连接，并将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，，线段与线段相交于点．
    请写出的度数，并给出证明；
    求证：点是线段的中点；
    直接写出线段，和的数量关系．

28. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点．
    已知的半径为．
    如图，点，，点在上，点为点的反转点．
    当点的坐标为时，在图中画出点；
    当点在上运动时，求线段长的最大值；
    已知点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
由二次函数顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
直接根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律，可得答案．
【解答】
解：先向右平移个单位，再向上平移个单位，
得到的新抛物线的表达式为，
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转到的位置，
，
．
故选：．
首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出．
此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．
 

7.【答案】 

【解析】解：为的切线，
，且，
当最小时，最小，
当与直线垂直时，最小，
如图，设直线交轴、轴于点、，
则，，
，
，
，即的最小值为，
的最小值，
故选：．
连接、，由切线性质可知，且，则当最小时，最小，故当与直线垂直时，最小，再利用等腰直角三角形的性质可求得的值，可求得答案．
本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设运动员起跳后的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系为，
把图中数据，，代入解析式，
得，
解得，
，
，
当时，最大，
故选：．
根据图中数据用待定系数法求函数解析式，再根据函数的性质求最大时的值即可．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题关键是求出函数解析式．
 

9.【答案】答案不唯一 

【解析】解：抛物线开口向上，顶点坐标为，
函数最小值为，
故答案为：答案不唯一
根据二次函数顶点纵坐标为函数最值求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：扇形的弧长．
故答案为．
直接利用弧长公式计算．
本题考查了弧长的计算：记住弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，在弧长的计算公式中，是表示的圆心角的倍数，和都不要带单位．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，，
所以．
故答案为：．
分别计算出自变量为和对应的函数值即可得到与的大小关系．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

12.【答案】 

【解析】解：若抛物线与轴没有公共点，
．
即，解得：，
故答案为：．
根据抛物线与轴的没有交点，即，即可求出的取值范围．
本题主要考查抛物线与轴的交点．熟记抛物线与轴的交点个数与系数的关系是解决此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．

故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：、是的两条切线，、为切点，
，，，
，
是的垂直平分线，
，
，
中，，
，
，
，
的半径等于，
故答案为：．
根据切线长定理可得：，，，由同圆的半径相等可知：，所以根据线段垂直平分线的逆定理可知：是的中垂线，由，利用特殊的三角函数值或直角三角形度的性质可得圆的半径的长．
本题考查了切线长定理、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识，熟练掌握切线长定理是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意得，
故答案为：．
利用今年月份的盈利今年月份的盈利月份到月份盈利的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，对称轴为直线，，
点与对称轴的距离大于点与对称轴的距离，
错误．
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线经过，
方程的解为，，正确．
，
，
由抛物线经过可得，
，正确．
抛物线开口向上，，
函数最小值为，
，即，错误．
故答案为：．
根据抛物线开口方向及点，与对称轴距离的大小关系可判断，由抛物线对称轴可得与的关系，由抛物线经过可得抛物线与轴的另一交点坐标，从而判断，由与，与的关系可得抛物线顶点纵坐标，从而判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

17.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

18.【答案】直径所对的圆周角为直角  过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线 

【解析】解；如图，、为所作；

为直径，
；
故答案为：直径所对的圆周角为直角；
，
，，
、为的半径，
直线，是的切线．
故答案为：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．
根据几何语言画出对应的几何图形即可；
根据圆周角求解；
根据切线的判定定理求解．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定．
 

19.【答案】解：；
由得顶点坐标为，开口向下，
当时，，当或时，，
作出函数图象如下图所示，

由图象可知，当时，；当时，，
当时，的取值范围为． 

【解析】由完全平方公式化为顶点式；
由顶点式得到顶点坐标，再画出几个点，然后用平滑的曲线连接，从而得到二次函数的图象；
结合函数图象求出的取值范围．
本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是准确画出二次函数的图象．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；

线段的长．
故答案为：．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用勾股定理求解即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是周围旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：，，
方程总有两个实数根；
解：，
，
解得，，
因为该方程的两根均整数，
所以为整数，
方程有两个不相等的整数根，
，
，
整数为或． 

【解析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程总有两个实数根；
先利用因式分解法求得的解为，，然后根据整数的整除性可确定整数的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

22.【答案】解：连接，

设的半径为．
直径弦，
，
在中，由勾股定理可得，
解得 ，
的半径为． 

【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出是解此题的关键．
连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
 

23.【答案】解：设矩形菜地的长为，则的长为，
由题意得：，
化简得：，
解得：，，
当时，不合题意舍去，
当时，，
的长为，
答：当矩形的边长为时，菜地面积为． 

【解析】设矩形菜地的长为，则的长为，由矩形的面积公式建立方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用、矩形的面积公式等知识，解答时寻找题目的等量关系是关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接、，则，

，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切．
解：如图，连接，

在中，，，
，
，，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
或不符合题意，舍去，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
的长是． 

【解析】连接、，先证明，再证明，即可证明与相切；
连接，根据勾股定理求出，先证明∽，得，所以，即可求得，，，再由勾股定理求得，然后证明∽，即可根据相似三角形的对应边成比例求得．
此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】抛物线关于点成中心对称 

【解析】解：把，代入解析式得：，
解得，
的解析式为；
如图所示：

性质：抛物线关于点成中心对称，
故答案为：抛物线关于点成中心对称；
由图象可得：实数的取值范围为；
如图：

由函数图象可得：“区域“内所有整点的坐标为，．
用待定系数法求函数解析式即可；
根据函数图象写出性质即可；由图象可求出的取值范围；
根据图象求整点坐标即可．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．
 

26.【答案】解：抛物线：经过点，，
，
解得，
抛物线：，
抛物线的对称轴为直线；
抛物线的顶点的横坐标为，抛物线顶点在直线上，
抛物线顶点纵坐标为，
抛物线的解析式为，
将代入得，
抛物线与轴交点的纵坐标为，
，
抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为．
由得抛物线与轴交点坐标为，
点坐标为，
当时，抛物线顶点坐标为，与点重合，符合题意，

当时，抛物线延直线向下移动，不符合题意，

当时，抛物线延直线向上移动，
当点落在抛物线上时，由点，的对称性可得抛物线对称轴为直线，
，

符合题意，
当减小，点与点重合时，，
解得舍或，

，
时，点向下移动，
符合题意．

综上所述，或． 

【解析】通过待定系数法求解．
由的顶点的横坐标为，顶点在直线上，可得抛物线的顶点式，将代入解析式求出抛物线与轴交点纵坐标，再通过配方法求解．
由点坐标可得点坐标，由抛物线的顶点在直线上可得抛物线的运动轨迹，结合图象求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
 

27.【答案】解：，理由如下：
如图，过点作于，

由旋转得：，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；
证明：如图，过点作，交于，交于，

四边形是正方形，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
点是线段的中点；
解：，理由如下：
是等腰直角三角形，
，
由知：≌，四边形是平行四边形，
，，
，
． 

【解析】如图，过点作于，证明≌，可得是等腰直角三角形，即可解答；
如图，过点作，交于，交于，证明四边形是平行四边形，得，再证明≌，可得结论；
根据中的结论可解答．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．
 

28.【答案】解：如图，当时，点关于点的对称点，把点绕点逆时针旋转得到图形如图所示．

当点在上运动时，点关于点的对称点在以为圆心，半径为的圆上运动，
此时点关于点的旋转对称点在圆为圆心，半径为是圆上运动到，
连接．
，
的最大值；

如图，作直径，连接，．

，，
，
当点确定时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接．
，
，
，，
≌，
，
此时点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
的最大值与最小值的差是． 

【解析】如图，当时，点关于点的对称点，把点绕点逆时针旋转得到图形如图所示．
判断出的的运动轨迹，可得结论；
如图，作直径，连接，证明，推出当点确定时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接证明≌，推出，推出此时点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，由此可得结论．
本题属于几何变换综合题，中心对称变换，旋转变换，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．