2022-2023学年北京十八中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京十八中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    如图四个图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    抛物线的对称轴是直线(    )

A.  B.  C.  D.

3.    若关于的一元二次方程有一个解为，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.    对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是(    )

A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是轴 D. 顶点在轴上

5.    关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

6.    抛物线上有两点、，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：；；；若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率与加工时间单位：分钟满足的函数关系是常数，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.    已知与的函数满足下列条件：它的图象经过点；当时，随的增大而减小．写出一个符合条件的二次函数：          ．
10. 已知，两点都在抛物线上，那么          ．
11. 二次函数的图象在轴下方，则的取值范围是______ ．
12. 如果将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是______．
13. 年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心月份的参观人数为万人，月份的参观人数增加到万人．设参观人数的月平均增长率为，则可列方程为          ．
14. 如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度米和飞行时间秒近似满足函数关系式，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是______ 米

15. 已知二次函数中的和满足下表：

根据图表中信息推断，方程的根为______．

16. 抛物线交轴于点和点在点左侧，抛物线的顶点为，下列四个结论：
    抛物线过点；
    当时，是等腰直角三角形；
    ；
    抛物线上有两点和，若，且，则．
    其中结论正确的序号是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17. 解方程：．

四、解答题（本大题共11小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    已知二次函数．
    用配方法将其化为的形式；
    写出抛物线与坐标轴交点坐标．
    在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象．

19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若，且此方程的两个实数根的差为，求的值．
20. 本小题分
    如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，其中、、请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题：
    与关于坐标原点成中心对称，则的坐标为______；
    的面积为______；
    将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，则旋转中心的坐标为______，并在网格中画出旋转后的．

21. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．
    求该抛物线的解析式；
    结合函数图象，直接写出时，的取值范围．

22. 本小题分
    如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
    依题意补全图形；
    若，求线段的长．

23. 本小题分
    为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为万元，若每台设备售价为万元时，平均每月能售出台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高万元，其销售量就将减少台．根据相关规定，此设备的销售单价不低于万元，且获利不高于如果该公司想实现每月万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
24. 本小题分
    随某农场要建一个饲养区长方形，饲养区的一面靠墙墙最大可用长度为米，另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门不用木栏，建成后木栏总长米，设饲养区长方形的宽为米．
    饲养区的长(    )______用含的代数式表示
    当为何值时，饲养区的面积最大，此时饲养区达到的最大面积为多少．

25. 本小题分
    掷实心球是北京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是小杰投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小杰某次试投时的数据如图所示．
    
    在图中画出实心球运动路径的示意图；
    根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式；
    根据北京市高中阶段学校招生体育考试评分标准男生，若实心球投犾距离实心球落地点与出手点的水平距离的长度不小于，成绩为满分分．请通过计算，判断小杰此次试投的成绩是否能达到满分．
26. 本小题分
    在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．
    求抛物线的顶点坐标用含的式子表示；
    若，，比较与的大小，并说明理由；
    若对于，，都有，直接写出的取值范围．
27. 本小题分
    如图，在中，，，是边上一点，作射线，满足，在射线取一点，且将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，连接并延长交于点．
    依题意补全图形；
    求的度数；
    连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28. 本小题分
    在平面直角坐标系中，对于点，直线和矩形，定义如下：若点关于直线的对称点在矩形的边上，则称点为矩形关于直线的“对矩点”．
    已知矩形的顶点，，，．
    
    例如，图中的点和点都不是矩形关于轴的“对矩点”，点是矩形关于轴的“对矩点”．
    在点，，，中，是矩形关于直线：“对矩点”的点是______；
    若在直线上存在点，使得点是矩形关于直线：的“对矩点”，求的取值范围；
    若抛物线上存在矩形关于直线：的“对矩点”且恰有个，请直接写出的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：

，
对称轴是直线．
故选：．
把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴．
本题考查了二次函数的性质，配方成顶点式是解题的关键，也可以利用对称轴公式直接求解．
 

3.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有一个解为，
把代入，得，
解得：，
而，
．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得到关于的方程，解得，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义，也考查了一元二次方程的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，顶点为，对称轴为直线，
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
且，
故选：．
利用二次项系数非零和根的判别式，即可得出关于的不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，理解“当时，一元二次方程有实数根”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：
、在抛物线上，
，，
，
，
，
故选：．
把、两点的坐标分别代入抛物线解析式可用分别表示出和，利用条件可得到的不等式，可求得的取值范围．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，故正确．
抛物线顶点为，
抛物线对称轴为直线，
抛物线过点，
由对称性可得抛物线经过点，
把代入，得，故错误，
，
，
把代入，得，
，
为抛物线顶点，
，
，即，故正确，
点在抛物线上，
点关于对称轴对称的点在抛物线上，
为的一个根，故错误，
综上可知，所有正确结论的序号是．
故选：．
由抛物线开口和抛物线与轴交点判断，由抛物线的对称性及经过点可判断，由抛物线对称轴为直线可得，由可得，从而判断，点对称点横坐标为可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，函数经过点，，，
则，
解得：，
，
最佳加工时间为分钟，
故选：．
先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．
 

9.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式，顶点坐标为．
由可知，抛物线开口向下，对称轴可以为，已知抛物线经过点，则顶点可以为，根据顶点式求抛物线解析式即可．
【解答】
解：依题意，抛物线开口向下，对称轴可以为，
图象经过点，
设顶点为，
抛物线解析式为．
故答案为：答案不唯一．  

10.【答案】 

【解析】解：，两点都在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线，
，
故答案为：．
根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到，解得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象在轴下方，
，即．
解得：．
故答案为：．
由，且图象在轴下方可知函数图象与轴没有交点，故，从而可求得的取值范围．
本题主要考查的是抛物线与轴的交点，根据题发现出二次函数图象与轴没有交点是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线先向左平移个单位得到解析式：，再向上平移个单位得到抛物线的解析式为：．
故答案为：．
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
利用月份的参观人数月份的参观人数月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：为开口向下的抛物线，
当时，．
故答案为：．
开口向下的抛物线的顶点即为沙包在飞行过程中距离地面的最大高度，根据二次函数的性质即可得出答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：由点和点知，抛物线的对称轴为，
当时，，即，
根据函数的对称性，时，，
故方程的根为或，
故答案为：或．
求出抛物线的对称轴为，当时，，即，根据函数的对称性，时，，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

16.【答案】 

【解析】解：把代入得，，
抛物线过点，
故正确；
当时，抛物线与轴的两个交点坐标分别为、，
对称轴为，
是等腰直角三角形，
故正确；
抛物线交轴于点和点在点左侧，
、是方程的两个根，
，
故错误；
观察二次函数图象可知：
当，且，则．
故正确．
故答案为：．
把代入解析式，求得函数值即可判断；
当时，根据抛物线与轴的两个交点坐标和对称轴即可判断；
根据根与系数的关系即可判断；
根据二次函数图象即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．
 

17.【答案】解：，
或，
，． 

【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，还可以使用公式法，配方法，等等．
 

18.【答案】解：．
令，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
将代入得，
抛物线与轴交点坐标为．
如图，
 

【解析】通过配方法求解．
分别将，代入解析式求解．
根据抛物线解析式作图．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

19.【答案】证明：，
原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，
即该方程总有两个实数根；
解：设方程的较大的实数根为，较小的实数根为，依题意得：
，，，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：或，
，
． 

【解析】利用根的判别式进行求解即可；
设方程的较大的实数根为，较小的实数根为，则有，，，从而可进行求解．
本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，解答的关键是对根与系数的关系的掌握并灵活运用．
 

20.【答案】    

【解析】解：如图，即为所求，，则的坐标为；
故答案为：；
的面积为；
故答案为：；
如图，即为所求，旋转中心的坐标为；
故答案为：．

利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，画出图形即可解决问题．
本题考查作图旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：将，代入得：，
解得：，
该抛物线的解析式．
 时，． 

【解析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
通过待定系数法求解．
求出抛物线与轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解．
解：见答案；
令，
解得：或，
抛物线经过，，
抛物线开口向上，
时，．
 

22.【答案】 解：如图，即为补全的图形；

在中，，
，，
，
，
由旋转可知：，，
为等边三角形，
，，
，
．

【解析】本题考查了作图旋转变换，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解决本题的关键．
根据题意，利用旋转的性质即可补全图形；
根据含度角的直角三角形和旋转的性质可得，，再利用勾股定理即可解决问题．
 

23.【答案】解：设该设备的销售单价为万元．
由题意列方程，得，
整理，得
解这个方程，得，，
获利不高于

不合题意，舍去．

答：该设备的销售单价为万元． 

【解析】设此设备的销售单价为万元台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润单台利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取获利不高于的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

24.【答案】米 

【解析】解：由图可得，的长是米，
故答案为：米；

设饲养场的面积是，
由题意得：，即，
解得：，
则，
该函数的对称轴为，
，
当时，随的增大而减小，
故当时，取得最大值为，
答：当时，饲养场的面积最大，最大面积为．
根据题意和图形，可以用含的代数式表示出的长；
根据题意可以得到与的函数关系式，然后根据二次函数的性质和的取值范围，可以解答本题．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
 

25.【答案】解：如图所示：

解：依题意，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为．
设该抛物线的表达式为，
抛物线过点，
，
解得，，
该抛物线的表达式为；
解：令，得，
解得，在轴正半轴，故舍去．
点的坐标为．
，
小杰此次试投的成绩达到满分． 

【解析】根据题意画出图象即可；
设该抛物线的表达式为，由抛物线过点得到求得，于是得到结论；
根据题意令，解方程即可得到结论．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
 

26.【答案】解：，
抛物线顶点坐标为．
将代入得，
将代入得，
．
抛物线对称轴为直线，
点关于对称轴对称点为，
抛物线开口向上，，
，
，
解得． 

【解析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
分别将，代入解析式求解．
求出点关于对称轴对称点为，根据抛物线开口向上及求解．
本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

27.【答案】解：依题意补全图形，如图所示：
设与的交点为，如图所示：
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
又，，
≌，
，
，，
，
；
线段，，之间的数量关系为：，证明如下：
延长至，使，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
，
． 

【解析】依照题意画出图形即可；
由旋转的性质可得，，由“”可证≌，得出，由余角的性质即可求出；
延长至，使，连接，由“”可证≌，得出，，再证是等腰直角三角形，即可得出结果．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、四边形内角和定理等知识，本题综合性强，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
 

28.【答案】， 

【解析】解：点关于的对称点为，
点在边上，
点是矩形关于直线的“对矩点”；
点关于的对称点为，
点在边上，
点是矩形关于直线的“对矩点”；  
点关于的对称点为，
点不在矩形的边上，
点不是矩形关于直线的“对矩点”；
点关于的对称点为，
点不在矩形的边上，
点不是矩形关于直线的“对矩点”；
故答案为：，；
直线与轴的交点为，
当关于的对称点与点重合时，，
当时，，解得，
此时点在直线上，
当关于的对称点与点重合时，，
时，点是矩形关于直线：的“对矩点”；
，
抛物线的顶点为，
顶点关于直线对称的点为，
抛物线关于直线对称的抛物线解析式为，
“对矩点”且恰有个，
，
，
当抛物线经过点时，“对矩点”有三个，
此时或舍，
当抛物线经过点时，“对矩点”有三个，
此时或舍，
时，抛物线上存在矩形关于直线：的“对矩点”且恰有个．
根据定义分别求出对称点进行判断即可；
根据图象，求出当关于的对称点与点重合时，，当关于的对称点与点重合时，，结合图象即可求的取值范围；
抛物线关于直线对称的抛物线解析式为，由题意可得，当抛物线经过点时，“对矩点”有三个，此时或舍，当抛物线经过点时，“对矩点”有三个，此时或舍，再结合图象即可求的取值范围．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清定义，会求抛物线关于直线的对称抛物线解析式，数形结合是解题的关键．