四川省成都市七中育才学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年四川省成都七中育才学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1. 若，则下列比例式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列说法错误的是(    )

A. 若，四边形是菱形
B. 若，四边形是矩形
C. 若且，四边形是正方形
D. 若，四边形是正方形
 

5. 点为线段的黄金分割点，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某服装公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司，两个月营业额的月均增长率，设该公司，两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，在边上，，，若的面积等于，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9. 因式分解：______．
10. 如图，中，，，，，则的长为______．

11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______．
12. 如图所示，某河提的横断面是梯形，，迎水坡长米，且边的坡度为，则河堤的高为______米．

13. 如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点，，，则的长为______．

14. 已知，则代数式的值为______．
15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
16. 有六张除数字外都相同的卡片，分别写有，，，，，这六个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为，则使关于的方程有解的概率是______．
17. 如图，在等腰直角中，，点是中点，在中，，，，将与重合，如图，再将绕点顺时针旋转，与相交于点，与相交于点，若，则的长是______．

18. 如图，在矩形中，，是上一个动点，连接，过点作的垂线，过点作交于点，过点作于点，，点是中点，连接，则的最小值为______．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19. 计算；
    解方程．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，．
    作出关于轴对称的图形；
    以原点为位似中心，在轴的左侧画出，使它与原三角形相似比为：；
    求的面积．

21. 根据国家教育部的教育方针：培养德智体美劳全面发展的优秀人才，七中育才中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程我爱川菜开课以来引起讨论热潮，九年级班数学兴趣小组对本班同学对我爱川菜的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
    
    九年级班共有学生______名，扇形统计图中类所在扇形的圆心角度数为______；
    九年级共有学生人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择类的大约有多少人？
    九年级班周末准备举行秋游活动，某小组在调查的类人中，刚好有名男生名女生，想从中随机抽取两名同学担任“秋游主厨”，用画树状图成列表的方法求出抽到的一男一女的概率．
22. 七中育才中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上．
    求的度数；
    求新教学楼的高度．
    参考数据：，，，结果精确到．

23. 如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点在上，连接．
    如图，当时，则线段与线段的数量关系是______，位置关系是______；
    如图，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由；
    如图，在的条件下，连接，分别取线段，的中点，，连接，，，若，，求出的面积．
     
24. 红旗连锁超市通过收集、整理、分析数据后发现，某商品的日销量单位：克与销售单价单位：元克满足一次函数的关系，部分数据如表：
    求关于的函数关系式；
    若该商品成本为元克，为尽量让顾客受惠，请问该商品的销售单价为每克多少元时，每日盈利元？

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴负半轴于点，交轴于点，以为边作矩形，点落在轴正半轴上．
    求矩形的面积；
    点在直线上，连接，点在直线上，．
    当点为中点时，求点坐标；
    当时，求线段的长．
     
26. 在菱形中，，，动点从点出发沿线段以每秒钟个单位的速度向点运动到达点后停止，设点运动时间为，将点绕着点顺时针旋转，得到对应点，连接，．
    如图，求证：；
    如图，连接，若与相似，求的值；
    若点关于直线的对称点在菱形的边上，请直接写出的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、由得，，故本选项比例式不成立；
B、由得，，故本选项比例式成立；
C、由得，，故本选项比例式不成立；
D、由得，，故本选项比例式不成立．
故选：．
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
．


．
故选：．
先利用直角三角形的边角间关系求出，再利用勾股定理求出．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
A、若，则平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、若，则平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、若且，则平行四边形是正方形，故选项C不符合题意；
D、若，则平行四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及正方形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得．
故选：．
根据黄金分割的定义可得到，然后把代入计算即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、准对应关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：该服装公司今年月的营业额为万元，该公司，两个月营业额的月均增长率为，
该服装公司今年月的营业额为万元，月的营业额为万元．
根据题意得：，
即．
故选：．
由该服装公司今年月的营业额及该公司，两个月营业额的月均增长率，可得出该服装公司今年月的营业额为万元，月的营业额为万元，结合该服装公司第四季度的总营业额要达到万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于，过点作于，

，
，
，，
，
∽．
，
的面积等于，
，
，
，
．
的面积为，
故选：．
过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质推出，再由三角形的外角定理推出，从而得出∽，根据相似三角形的性质求出，即可求解．
本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，由勾股定理得，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出的长，再根据等面积法求出的长，再由勾股定理得出的长即可推出结果．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

12.【答案】 

【解析】解：由已知斜坡的坡度，得：
：：，
设米，则米，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，
即，
解得：或舍去，
，
即河堤高等于米．
故答案为：．
由已知斜坡的坡度，可得到、的比例关系，进而由勾股定理求得、的长，由此得解．
本题主要考查的是坡度的定义和勾股定理的应用，解题的关键是从图中抽象出直角三角形，难度不大．
 

13.【答案】 

【解析】解：由作法得，平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
过点作于，如图，则，
在中，，
，
．
故答案为．
利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以，过点作于，如图，则，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
 

14.【答案】解：

；
，
，
或，
，． 

【解析】根据特殊角的三角函数，绝对值的性质，二次根式的性质，负整数指数幂进行计算即可；
根据因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，二次根式，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

15.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

的面积． 

【解析】根据关于轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
把、、的坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；
把三角形的面积转化为正方形与四个直角三角形面积之差进行计算便可．
本题考查了轴对称变换，三角形的面积，位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

16.【答案】   

【解析】解：九年级班共有学生为：名，
扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：，；
类的人数有：人，
估计九年级学生选择类大约有人，
答：估计九年级学生选择类的大约有人；
画树状图如下：

所有等可能的结果共有种，其中抽到的一男一女的结果数为，
抽到的一男一女的概率为：．
根据的人数和所占的百分比求出九年级班的人数，再用乘以类所占的百分比即可求出类所在扇形的圆心角度数；
用该校的总人数乘以类所占的百分比即可得出答案；
画树状图，得出所有等可能的结果为种，其中抽到的一男一女的结果为种，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：是的外角，
；
在中，，
则，
米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
答：新教学楼的高度约为米． 

【解析】根据三角形的外角性质计算，得到答案；
根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义列出方程，解方程求出．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：，
，
又，
∽，
，，
，，
，
故答案为：，；
，，理由如下：
，
，
又，
∽，
，，
，，
；
如图，过点作于，

，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，点是的中点，，
，，，
，
∽，
，
．
通过证明∽，可得，，可得结论；
通过证明∽，可得，，可得结论；
先求出三角形的面积，通过证明∽，可得，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，灵活运用性质相似三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
．
．
．
故答案为：．
根据完全平方公式解决此题．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的实数根，
，
．
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出，，是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
，
，
且，
且，
使分式方程有解的的值有个，
使关于的方程有解的概率是．
故答案为：．
解分式方程得出，根据分式方程有解得出且，再利用概率公式即可得出答案．
本题考查了分式方程的解、概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，过点作于，

将绕点顺时针旋转，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质和直角三角形的性质求出的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，
，
于点，
，
，
，
∽，
：：，
，
∽，
，
于点，
，
，
，
，即：，
，
，
，
．
如图，作的垂直平分线，交的延长线于点，连接，过点作于点，
，
，即．
．
，
求的最小值，即为求的最小值，
过点作于点，即为所求最小值．
设，则，
在中，由勾股定理可知，，
解得．
．
如图，连接，，
点是的中点，
，
，
，即
解得．
故答案为：．
根据题意可得，∽，所以：：，结合，可得∽，由等角的余角相等可知，，所以，即：，可得作的垂直平分线，交的延长线于点，连接，过点作于点，所以，素以，即所以求的最小值，即为求的最小值，过点作于点，即为所求最小值．设，则，先根据勾股定理可得出，所以由，可求得的长度．
本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键．
 

24.【答案】解：设关于的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
关于的函数关系式为．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽量让顾客受惠，
．
答：该商品的销售单价应为每克元． 

【解析】根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出关于的函数关系式；
利用总利润每克的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽量让顾客受惠，即可得出该商品的销售单价应为每克元．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：利用待定系数法，求出一次函数解析式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

25.【答案】解：当时，，
解得：，
，
当时，，
，
，，
在中，，
四边形是矩形，
，即，
，
，
，
∽，
，即，
，
，，
；
如图，连接，
四边形是矩形，
，，
，
设，
则，
，
，
点为中点，
，即，
，
解得：，
点在直线上，
点的坐标为或；
，
点在以为直径的圆上运动，
四边形是矩形，，，
与以为直径的圆相切于的中点，
当点在线段上时，如图，
，
点与点重合，
；

当点在线段的延长线上时，如图，连接，

四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
∽，
，
设，则，
，
解得：或不符合题意，舍去，
；
当点在线段的延长线上时，如图，连接，

四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是以为直径的圆的内接四边形，
，
，
，
，即，
，
∽，
，
设，则，
，
解得：或不符合题意，舍去，
；
综上所述，线段的长为或或． 

【解析】先求出点、的坐标，利用勾股定理求得，再证得∽，可求得，即可求得答案；
如图，连接，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，再由线段垂直平分线的性质可得，建立方程求解即可得出答案；
分三种情况：点在线段上时，点在线段的延长线上时，点在线段的延长线上时，分别画出图形，运用四点共圆及相似三角形的判定和性质即可求得答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，直角三角形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度较大，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
 

26.【答案】证明：如图中，连接交于点．

四边形是菱形，
，，
，
由旋转变换的性质可知，
；

解：如图中，当∽时，

，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
．
如图中，

当∽时，，
，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意．不符合题意舍弃；
综上所述，满足条件的的值为或．

如图中，当点落在上时，连接，设．

，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
当时，点与点重合，符合题意．

如图中，当点落在上时，同法可证，．

如图中，当与重合时，是等腰直角三角形，

，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或或或． 

【解析】如图中，连接交于点证明，可得结论；
分两种情形：如图中，当∽时，如图中，当∽时，分别求解即可；
分四种情形：如图中，当点落在上时，连接，设当时，点与点重合，符合题意．如图中，当点落在上时，如图中，当与重合时，是等腰直角三角形，分别求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了菱形的性质，旋转变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．