四川省 成都市 武侯区四川大学附属中学(西区学校)2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份四川省 成都市 武侯区四川大学附属中学(西区学校)2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）如图是一个“凹”字形几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4B．a＞﹣4C．a≥﹣4且a≠0D．a＞﹣4且a≠0
3．（4分）同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，则这棵树的高度为（ ）
A．0.8米B．6.4米C．12.8米D．25.6米
4．（4分）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
5．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，且OA＝OC，OB＝OD（ ）
A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD且AC＝BD，四边形ABCD是正方形
D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
6．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上（ ）
A．（﹣3，）B．（﹣2，3）C．（﹣，3）D．（﹣3，2）
7．（4分）如图，△ABC中，P为边AB上一点，不能说明△ACP与△ACB相似的是（ ）
A．∠ACP＝∠BB．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×ABD．AB×CP＝BC×AC
8．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）若（b+d≠0），则＝ ．
10．（4分）已知sin（α+10°）＝，则锐角α的度数是 ．
11．（4分）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，且斜坡AB的坡度为，则河堤的高BE为 米．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）1＝，y2＝的图象分别交于点A，B，连接OA，若△OAB的面积为4，则k的值是 ．
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，CE＝5，则该矩形的周长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|+（﹣）﹣1+；
（2）解方程：2x2+3x﹣5＝0．
15．（8分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图
（1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 度；
（3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
16．（8分）某校开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，在测点A处安置测角器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在同一条直线上），求电池板离地面的高度MN（结果精确到1米，参考数据：sin33°≈0.54，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65）．
17．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G
（1）求证：EF＝EB；
（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
18．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝的图象相交于A，
且A（﹣2，3），过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式，以及B点的坐标；
（2）将△ABC沿x轴向左平移，对应得△A′B′C′，当反比例函数图象经过A′C′的中点M时；
（3）在第二象限内A点上方的双曲线上求一点P，使得tan∠PCA＝．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2008的值是 ．
20．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，从﹣1，2，3三个数中任取一个数，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是 ．
21．（4分）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，则AB的长是 ．
22．（4分）如图，M为双曲线y＝（x＞0）上的一点，分别交直线y＝﹣x+m于点D、C两点．若直线y＝﹣x+m与y轴交于点A，与x轴交于点B ．
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点D为AC边上一个动点，则AE的最小值是 ，此时CD的长为 ．
二、解答题（3个小题，共30分）
24．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，那么每天可卖出20件．通过市场调查发现，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，使其销售价格不超过（1）中所求的售价 折销售．
25．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，AD上，且∠ECF＝45°，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）当△CGH是等腰三角形时，求AE的长．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，E是AD上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，折叠后点D落在EC上的点D′处，过点D′作D′N⊥AD于点N，且AE＝1．求的值．
2022-2023学年四川大学附中西区学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）如图是一个“凹”字形几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据简单几何体的三视图的画法，画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义是得出正确答案的前提．
2．（4分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4B．a＞﹣4C．a≥﹣4且a≠0D．a＞﹣4且a≠0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，然后求出a的范围后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）5﹣4a×（﹣1）＞5，
解得a＞﹣4且a≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（4分）同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，则这棵树的高度为（ ）
A．0.8米B．6.4米C．12.8米D．25.6米
【答案】C
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：设高度为h米，
因为太阳光可以看作是互相平行的，
由相似三角形：＝，
解得：h＝12.8．
故选：C．
【点评】本题考查相似形的知识，解题的关键在于将题目中的文字转化为数学语言再进行解答．
4．（4分）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm（ ）
A．90°B．100°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】连接AE，根据全等的性质可得AC＝20cm，根据菱形的性质和等边三角形的判定可得△ACB是等边三角形，再根据等边三角形和菱形的性质即可求解．
【解答】解：连接AE，
∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
∴AC＝20cm，
∵菱形的边长AB＝20cm，
∴AB＝BC＝20cm，
∴AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠DAB＝120°．
故选：C．
【点评】考查了菱形的性质，全等图形，等边三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ACB是等边三角形．
5．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，且OA＝OC，OB＝OD（ ）
A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD且AC＝BD，四边形ABCD是正方形
D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、若AC⊥BD，故选项A不符合题意；
B、若AC＝BD，故选项B不符合题意；
C、若AC⊥BD且AC＝BD，故选项C不符合题意；
D、若∠ABC＝90°，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及正方形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
6．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上（ ）
A．（﹣3，）B．（﹣2，3）C．（﹣，3）D．（﹣3，2）
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，4），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（4分）如图，△ABC中，P为边AB上一点，不能说明△ACP与△ACB相似的是（ ）
A．∠ACP＝∠BB．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×ABD．AB×CP＝BC×AC
【答案】D
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
【解答】解：A、当∠ACP＝∠B，△APC∽△ACB；
B、当∠APC＝∠ACB，△APC∽△ACB；
C、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC时，故本选项不符合题意；
D、当AB×CP＝AP×AC时．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
8．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【解答】解：当k＞0时，函数y＝、三象限、二、四象限；
当k＜0时，函数y＝、四象限、三、四象限；
故B正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，重点是注意系数k的取值．
二．填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）若（b+d≠0），则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：由等比性质，得
＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．
10．（4分）已知sin（α+10°）＝，则锐角α的度数是 50° ．
【答案】50°．
【分析】由特殊角的正弦值，即可得到答案．
【解答】解：∵sin（α+10°）＝，
∴α+10°＝60°，
∴锐角α的度数是50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，关键是掌握特殊角的正弦值．
11．（4分）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，且斜坡AB的坡度为，则河堤的高BE为 24 米．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知斜坡AB的坡度，可得到BE、AE的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．
【解答】解：由已知斜坡AB的坡度，得：
BE：AE＝12：5，
设AE＝2x，则BE＝12x，
在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：
262＝5x3+（12x）2，
即169x2＝676，
解得：x＝6或x＝﹣2（舍去），
5x＝10，12x＝24
即河堤高BE等于24米．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查的是坡度的定义和勾股定理的应用，解题的关键是从图中抽象出直角三角形，难度不大．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）1＝，y2＝的图象分别交于点A，B，连接OA，若△OAB的面积为4，则k的值是 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【解答】解：如图，设直线y＝t（t为常数）交y轴于T．
∵AB⊥y轴，
∴S△OAT＝＝3，S△OBT＝|k|，
∴S△AOB＝S△OBT+S△OAT＝|k|+4＝4，
∴|k|＝2，
∵k＜2，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型．
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，CE＝5，则该矩形的周长为 24 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接EA，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC＝5，然后利用勾股定理计算出AD，从而得到矩形的周长．
【解答】解：连接EA，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴EA＝EC＝5，
在Rt△ADE中，AD＝，
所以该矩形的周长＝3×2+8×5＝24．
故答案为24．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|+（﹣）﹣1+；
（2）解方程：2x2+3x﹣5＝0．
【答案】（1）；
（2）x1＝1，x2＝﹣．
【分析】（1）根据非零数的零次幂等于1，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂的定义以及二次根式的性质计算即可；
（2）方程两边都乘（2x﹣1），得出2﹣x＝2x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣|1﹣|+（﹣2）+
＝1﹣（）﹣2+
＝1﹣+8﹣2+
＝；
（2）2x2+3x﹣5＝5，
（x﹣1）（2x+3）＝0，
x﹣1＝2或2x+5＝4，
x1＝1，x6＝﹣．
【点评】本题考查了实数的运算以及解一元二次方程，熟知利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
15．（8分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图
（1）本次调查中，陈老师一共调查了 20 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 36 度；
（3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意可得：陈老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；
（2）由题意可得：C类女生：20×25%﹣2＝3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1＝1（名）；继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【解答】解：（1）陈老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；
故答案为：20．
（2）C类学生人数：20×25%＝4（名），
C类女生人数：5﹣2＝3（名），
D类学生占的百分比：1﹣15%﹣50%﹣25%＝10%，
D类学生人数：20×10%＝2（名），
D类男生人数：4﹣1＝1（名），×360°＝36°，
补充条形统计图如图，
故答案为：36；
（3）列表如下，A类学生中的两名女生分别记为A1和A2，
共有3种等可能的结果，其中，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（8分）某校开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，在测点A处安置测角器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在同一条直线上），求电池板离地面的高度MN（结果精确到1米，参考数据：sin33°≈0.54，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65）．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长BE交MN于点F，根据正切的定义列出方程，解方程求出MF，进而求出MN．
【解答】解：延长BE交MN于点F，
设MF＝x米，
∵∠MEF＝45°，BE＝AD＝3.5，
∴EF＝x，BF＝x+4.5，
在Rt△MBF中，tan∠MBF＝，即，
解得：x＝6.5，
经检验，x＝6.5是原方程的解，
∴MN＝x+1.3≈8（米），
答：电池板离地面的高度MN约为8米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G
（1）求证：EF＝EB；
（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形ADCF是菱形，理由见解析．
【分析】（1）由“AAS”证得△AEF≌△DEB，即可得出结论；
（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴EF＝EB；
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∴AF＝DC，
又AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形；
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
18．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝的图象相交于A，
且A（﹣2，3），过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式，以及B点的坐标；
（2）将△ABC沿x轴向左平移，对应得△A′B′C′，当反比例函数图象经过A′C′的中点M时；
（3）在第二象限内A点上方的双曲线上求一点P，使得tan∠PCA＝．
【答案】（1）一次函数解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣，点B（3，﹣2）；
（2）；
（3）点P（，）．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求解；
（2）由平移的性质可得A'C'的中点M的纵坐标为，A'C'∥AC，可求点M坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）由勾股定理可求点E坐标，利用待定系数法可求直线CE的解析式，联立方程组可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，
∴6＝﹣2k+1，b＝﹣4×3＝﹣6，
∴k＝﹣4，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣，
∴﹣x+6＝﹣，
∴x1＝﹣5，x2＝3，
∴点B（4，﹣2）；
（2）如图，连接AC'，
∵BC⊥x轴，
∴点C（3，8），
∵点A（﹣2，3），
∴AC的中点坐标为（，），
∵将△ABC沿x轴向左平移，对应得△A'B'C'，
∴A'C'的中点M的纵坐标为，A'C'∥AC，
∴M（﹣8，），
∴平移距离为个单位长度，
∴S△MAC＝S△ACC'＝×6×＝；
（3）如图，过点A作AH⊥x轴于H，作∠ACE＝∠ACH，交双曲线于点P，
∵点A（﹣2，3），8），
∴AH＝3，CH＝5，
∴tan∠ACH＝＝，
∵∠ACE＝∠ACH，
∴tan∠PCA＝，即点P为所求，
∵四边形AHCG是矩形，
∴AG＝CH＝5，AH＝CG＝3，
∵AG∥CH，
∴∠GAC＝∠ACH＝∠ACE，
∴AE＝EC，
∵CE8＝EG2+CG2，
∴AE4＝（5﹣AE）2+3，
∴AE＝3.4，
∴点E（，3），
设直线CE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CE的解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组可得：，
∴x＝，
∵点P在第二象限，
∴点P（，）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查待定系数法求解析式，矩形的判定和性质，解直角三角形等，本题综合性较强，难度较大．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2008的值是 2022 ．
【答案】2022．
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2+3a＝5，a+b＝﹣3，再将其代入a2﹣3b+2008＝（a2+3a）﹣3（a+b）+2008中，即可求出结论．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣2＝0的两个实数根，
∴a2+7a﹣5＝0，
∴a7+3a＝5．
∵a，b是方程x7+3x﹣5＝8的两个实数根，
∴a+b＝﹣3，
∴a2﹣5b+2008＝（a2+3a）﹣6（a+b）+2008＝5﹣3×（﹣8）+2008＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出a2+3a＝5，a+b＝﹣3是解题的关键．
20．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，从﹣1，2，3三个数中任取一个数，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到当b＝2，c＝﹣1；b＝3，c＝﹣1；b＝3，c＝2时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：，
共有6种等可能的结果数，
因为b2﹣8c≥0，
所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
b＝3，c＝﹣1；
b＝3，c＝﹣5；
b＝3，c＝2，
所以能使该一元二次方程有实数根的概率＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了根的判别式．
21．（4分）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，则AB的长是 2+ ．
【答案】+2．
【分析】利用黄金分割的定义得到AC＝AB，BD＝AB，则AC+BD＝（﹣1）AB，即可解决问题．
【解答】解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点，
∴AC＝ABAB，
∴AC+BD＝（﹣1）AB，
即AB+CD＝（﹣1）AB，
∴AB＝+7，
故答案为：+2．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
22．（4分）如图，M为双曲线y＝（x＞0）上的一点，分别交直线y＝﹣x+m于点D、C两点．若直线y＝﹣x+m与y轴交于点A，与x轴交于点B 6 ．
【答案】6．
【分析】过点M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，作DE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，先证明△OAB为等腰直角三角形，则判断△AED和△BCF都为等腰直角三角形，所以AD＝DE，BC＝CF，则AD•BC＝2DE•CF，设M（x，y），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到xy＝3，从而得到AD•BC的值．
【解答】解：如图，过点M作x轴，垂足分别为G、H，CF⊥x轴于F，
当x＝0时，y＝﹣x+m＝m，m），
当y＝0时，﹣x+m＝4，则B（m，
∵OA＝OB＝m，
∴△OAB为等腰直角三角形，
易得△AED和△BCF都为等腰直角三角形，
∴AD＝DECF，
∴AD•BC＝7DE•CF，
设M（x，y），
∴DE＝MH＝x，CF＝MG＝y，
∴AD•BC＝2xy＝2×5＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，点D为AC边上一个动点，则AE的最小值是 6﹣2 ，此时CD的长为 2﹣2 ．
【答案】6﹣2；2﹣2．
【分析】作EM⊥AC于M，证明Rt△BDC≌Rt△DEM，可得BC＝DM＝4，CD＝DM，设CD＝x，在Rt△ABC中，AM＝AC﹣DM﹣CD＝4﹣4﹣x；在Rt△ADE中，AE2＝AM2+EM2＝（4﹣4﹣x）2+x2，根据二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：作EM⊥AC于M，
∴∠DEM+∠MDE＝90°，
在正方形BDEF中，
∴∠BDF＝90°，DB＝DE，
∴∠BDE+∠MDF＝90°，
∴∠DEM＝∠BDC，
∴Rt△BDC≌Rt△DEM（AAS），
∴BC＝DM＝4，CD＝DM，
设CD＝x，则DM＝x，
∵Rt△ABC中，BC＝4，
由勾股定理得：AC＝＝4，
∴AM＝AC﹣DM﹣CD＝4﹣7﹣x，
∴在Rt△ADE中，
根据勾股定理可得：AE2＝AM2+EM3＝（4﹣2﹣x）2+x2，
即AE8＝（4﹣3﹣x）2+x2，
＝5x2﹣2（2﹣4）x+（32
＝8（x﹣2+7）2﹣（2﹣2）2+（8﹣4）4
当x＝2﹣4时2取最小值为：﹣（2﹣2）2+（5﹣4）4＝12（﹣1）2，
即AE的最小值为＝2（．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，属于综合题，一定要理解题意，搞清楚数量关系．
二、解答题（3个小题，共30分）
24．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，那么每天可卖出20件．通过市场调查发现，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，使其销售价格不超过（1）中所求的售价 八 折销售．
【答案】（1）50元；
（2）八．
【分析】（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，每天可售出（140﹣2x）件，利用总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设该商品打y折销售，利用售价＝原价×折扣率，结合售价不超过50元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元＝（140﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（140﹣6x）＝（60﹣40）×20，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x4＝50，x2＝60，
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴x＝50．
答：每件售价应定为50元．
（2）设该商品打y折销售，
依题意得：62.5×≤50，
解得：y≤3，
∴该商品至少需打八折销售．
故答案为：八．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，AD上，且∠ECF＝45°，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，GH．
（1）填空：∠AHC ＝ ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）当△CGH是等腰三角形时，求AE的长．
【答案】（1）＝；
（2）AC2＝AG•AH，理由见解答；
（3）2或或．
【分析】（1）由正方形的性质可证明∠DAC＝45°，则∠AHC＝∠ACG＝45°﹣∠ACH；
（2）由∠AHC＝∠ACG，∠HAC＝∠CAG＝135°，可判定△AHC∽△ACG，列比例式再通过变形可得AC2＝AG•AH；
（3）分三种情况，当GH＝HC时，可通过证明△GAH≌△HDC，推出AH＝BC，得AE＝AB；当GH＝CG时，可通过证明△GAH∽△CBG，推出AG＝DC＝4，再由AC2＝AG•AH，推出AH＝8，可得BE＝AE，求出此时AE的长；当CH＝CG时，设EF交AC于点L，先证明Rt△DHC≌Rt△BGC，推出AH＝AG，AE＝AF，AC垂直平分EF，再推出BE＝AE，可求出此时AE的长．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝CB＝4，∠D＝∠B＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠AHC＝∠DAC﹣∠ACH＝45°﹣∠ACH；
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACG＝45°﹣∠ACH，
∴∠AHC＝∠ACG，
故答案为：＝．
（2）AC6＝AG•AH，
理由：如图1，∵∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴∠HAC＝∠CAG＝135°，
由（1）得，∠AHC＝∠ACG，
∴△AHC∽△ACG，
∴，
∴AC2＝AG•AH．
（3）如图8，GH＝HC，
∴∠CHG＝90°，
∴∠AHG＝90°﹣∠CHD，
∵∠DCH＝90°﹣∠CHD，
∴∠AHG＝∠DCH；
∵∠GAH＝∠DAB＝90°＝∠D，GH＝HC，
∴△GAH≌△HDC（AAS），
∴AH＝CD＝4＝BC；
∵AH∥BC，
∴△AHE∽△BCE，
∴，
∴AE＝BE＝AB＝；
如图2，GH＝CG，
∴∠CGH＝90°，
∴∠AGH＝90°﹣∠BGC，
∵∠BCG＝90°﹣∠BGC，
∴∠AGH＝∠BCG，
∵∠GAH＝∠B＝90°，GH＝CG，
∴△GAH∽△CBG（AAS），
∴AG＝BC＝4，
由（2）得，AG•AH＝AC7，
∵AC2＝AD2+CD6＝42+32＝32，
∴4AH＝32，
∴AH＝8，
∵AH∥BC，
∴△AEH∽△BEC，
∴＝6，
∴BE＝AE，
∴AE+AE＝AB＝4，
∴AE＝；
如图3，CH＝CG，设EF交AC于点L，
∵∠D＝∠B＝90°，DC＝BC，
∴Rt△DHC≌Rt△BGC（HL），
∴∠AHE＝∠AGF，
∴∠AHG＝∠AGH，
∴AH＝AG，
∵∠EAH＝∠FAG＝180°﹣∠BAD＝90°，
∴△AHE≌△AGF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAC＝∠FAC＝45°，
∴AC垂直平分EF，
∴CE＝CF，
∴∠ECL＝∠FCL＝∠ECF＝22.5°，
∴∠ECB＝45°﹣22.6°＝22.5°＝∠ECL，
∵∠B＝∠CLE＝90°，CE＝CE，
∴△BCE≌△LCE（AAS），
∴BE＝LE；
∵∠ALE＝90°，∠LAE＝45°，
∴∠LEA＝∠LAE＝45°，
∴LE＝LA，
∵LE2+LA8＝AE2，
∴2LE4＝AE2，
∴BE＝LE＝AE，
∴AE+AE＝7，
解得，AE＝．
综上所述，AE的长为2或或．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理以及二次根式的化简等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，E是AD上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，折叠后点D落在EC上的点D′处，过点D′作D′N⊥AD于点N，且AE＝1．求的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出BD，进而求出OD＝OB＝OA，再判断出△ODE∽△ADO，即可得出结论；
（2）先判断出△AEF≌△DCE，进而求出BF＝1，再判断出△CKG∽△CBF，进而求出BK＝GK＝，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）先求出EC＝5，再求出D'C＝1，根据勾股定理求出DH＝，CH＝，再判断出△EMN∽△EHD，△ED'M∽△ECH，列比例式，并根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，
在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得＝，
∵O是BD中点，
∴OD＝OB＝OA＝，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OE＝DE，
∴∠EOD＝∠ODE，
∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴，
∴DO2＝DE•DA，
∴设AE＝x，
∴DE＝4﹣x，
∴＝7（5﹣x），
∴x＝，
即：AE＝；
（2）如图2，在矩形ABCD中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝45°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝2，
∴AE＝CD＝3，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠CED＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠CED＝∠AFE，
∵∠D＝∠A＝90°，
∴△AEF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE＝2，
∴BF＝AB﹣AF＝6，
如图2，过点G作GK⊥BC于K，
∴∠EBC＝∠BGK＝45°，
∴BK＝GK，∠ABC＝∠GKC＝90°，
∵∠KCG＝∠BCF，
∴△CKG∽△CBF，
∴，
设BK＝GK＝y，
∴CK＝5﹣y，
∴y＝，
∴BK＝GK＝，
在Rt△GKB中，BG＝；
（3）如图3，在矩形ABCD中，
∵AE＝1，AD＝5，
∴DE＝4，
∵DC＝3，
∴EC＝4，
由折叠知，ED'＝ED＝4，∠ED'H＝∠D＝90°，
∴D'C＝1，
设D'H＝DH＝z，
∴HC＝7﹣z，
根据勾股定理得，（3﹣z）2＝4+z2，
∴z＝，
∴DH＝，CH＝，
∵D'N⊥AD，
∴∠AND'＝∠D＝90°，
∴D'N∥DC，
∴△EMN∽△EHD，
∴，
∵D'N∥DC，
∴∠ED'M＝∠ECH，
∵∠MED'＝∠HEC，
∴△ED'M∽△ECH，
∴，
∴，
∴＝，
∴＝．
【点评】此题是四边形和相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．女A6
女A2
男A
男D
女A1男D
女A3男D
男A男D
女D
女A1女D
女A2女D
男A女D