山东省济南市济阳区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)

2022-2023学年山东省济南市济阳区九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如果，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若是方程的一个根，则方程的另一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为．(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7. 函数与函数在同一坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 在一个不透明的口袋中，放置个黄球，个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率如图所示，则的值最可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 如图，已知，若，，，则的长为______．

12. 某医院要从、、三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者和的概率是______．
13. 若是方程的一个根，则的值为______ ．
14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，当时，的取值范围是______．

15. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退时，正好在镜中看见树的顶端小英估计自己的眼睛到地面的距离为，则大树的高度是________ 
     
16. 如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    如图，在菱形中，点是边上一点，延长至点，使，连接，求证：．

19. 本小题分
    已知：如图，中，，，为边上一点，求长．

20. 本小题分
    已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
    在图中画出沿轴翻折后的；
    在第一象限方格纸中，以点为位似中心，画，使它与位似，且相似比为；
    填空：点的坐标______；与的周长比是______．

21. 本小题分
    目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初三数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
    
    根据图中信息求出______，______．
    请把图中的条形统计图补充完整．
    根据抽样调查的结果，请估算全校名学生中，大约有多少人最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物？
22. 本小题分
    如图，小明想用太阳光的照射来测量一大楼的高度．大楼被太阳照射后，其影子投射到与大楼平行的墙面的影子为，小明从大楼向墙面移动，当小明移动到点时，恰好使自己的影子与大楼的影子重叠，且高度相同．此时，测得影子，，点、、在同一直线上，已知小明身高，请你求出大楼的高度．

23. 本小题分
    社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为米，宽为米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为平方米．
    求通道的宽是多少米？
    该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过元，要想让停车场的月租金收入为元，每个车位的月租金应上涨多少元？

24. 本小题分
    如图，中，，，，是的中点．动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．设点的运动时间为秒．
    当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？
    若为钝角三角形，请直接写出的取值范围．

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
    求反比例函数及一次函数表达式；
    若点是直线左侧轴上一点，若面积为，求点的坐标；
    过点作直线，与第三象限的反比例函数图象交于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为：的两部分时，求的长．
     
26. 本小题分
    【问题初探】
    如图，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，与的数量关系______，位置关系______．
    【类比再探】
    如图，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，求的度数．
    【方法迁移】
    如图，中，，，，点是中点．点是上一点且，连接，以为一边作，使，，连接，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，


，
故选：．
利用比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是中心有一点的圆，因此不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此不符合题意；
正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；
三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此不符合题意；
故选：．
根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：设另外一根为，
由根与系数的关系可知：，
，
故选：．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
有一组邻边相等的矩形是正方形，
对角线互相垂直的矩形是正方形．
添加，能使矩形成为正方形．
故选：．
根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，作，树高为，且，，；
，，
，
，
∽，
，即，
．
故选：．
根据题意，画出示意图，易得：∽，进而可得，即，代入数据可得答案．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设原来矩形的长为，宽为，
则对折后的矩形的长为，宽为，
得到的两个矩形都和原矩形相似，
：：，
解得：：．
故选：．
表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项符合题意；
B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，
一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，为，
则列出的方程是．
故选：．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

9.【答案】 

【解析】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，摸到蓝球的频率越稳定在附近，
因此摸到蓝球的概率为，
所以有，
解得，
经检验，是原方程的解，
因此蓝球有个，
故选：．
利用频率估计概率，由概率列方程求解即可．
本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，令，则，
令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，

四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
∽，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图象上，
，
，不合题意舍去，
，
，
故选：．
解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中恰好抽到志愿者和的有种结果，
所以恰好抽到志愿者和的概率为，
故答案为：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为．
利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算．
 

14.【答案】或 

【解析】解：由图象知，当和在之间时，
，，
当时，的取值范围是或，
故答案为：或．
根据反比例函数和一次函数的性质即可得答案．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，，，，
，，
，
：：，
即：：，
，
故答案为：．
根据入射角等于反射角可得，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于，交于，

四边形是矩形，点是的中点，
点是，的交点，
，
，
，
点在的垂直平分线上运动，
当时，的值最小，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，过点作于，交于，根据矩形的性质得，从而得出点的运动路径，再利用特殊角的三角函数进行计算即可．
本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，特殊角的三角函数等知识，确定点的运动路径是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
或，
解得，；
，
，
，
或，
解得，． 

【解析】用十字相乘法因式分解解方程即可；
用提公因式法因式分解解方程即可．
本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由菱形的性质得，，再由平行线的性质得，然后证≌，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，
∽，
，
，，
，
，
即长是． 

【解析】利用已知的条件可证得∽，再利用相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
 

20.【答案】  ： 

【解析】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求；
由图知，点的坐标为，与的周长比是：，
故答案为：，：．
分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
根据位似图形的概念作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
结合图形和位似图形与轴对称图形的性质可得答案．
本题主要考查作图轴对称变换和位似变换，解题的关键是掌握轴对称变换和位似变换的定义与性质．
 

21.【答案】   

【解析】解：人，即，
“网购”人数；人，
“支付宝”人数：人，，因此，
故答案为：，；
补全条形统计图如图所示：

名，
答：全校名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物的大约有名．
样本中，认可“共享单车”的有人，占调查人数的，可求出调查人数，即的值，进而求出“网购”的人数，“支付宝”的人数和所占的百分比，确定的值；
求出“支付宝”“网购”人数即可补全条形统计图；
样本中，“微信”和“支付宝”占调查人数的，因此估计总体人中微信”和“支付宝”也占，进而求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，掌握两个统计图中数量关系是正确解答的前提．
 

22.【答案】解：过点作于点，交于点．
由题意可得，四边形、是矩形．
，，．
．
依题意知：，
，
，，
即．
答：大楼的高度为． 

【解析】过点作于点，交于点，证得，利用相似三角形的对应边的比相等列式求解即可．
考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确的作出辅助线构造相似三角形，难度不大．
 

23.【答案】解：设通道的宽为米，
根据题意，得，
，
，
或不符合实际，舍去，
答：通道的宽是米；
设每个车位的月租金上涨元，停车场的月租金收入为元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，或，
，
不符合题意，舍去，
元，
故每个车位的月租金应上涨元时，停车场的月租金收入为元． 

【解析】设通道的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
设每个车位的月租金上涨元，则租出的车位数量为个，再根据“月租金每个车位的月租金租出的车位数”列方程并求解．
此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：，，，
，
是的中点，
，
根据题意可知：，则，
当∽时，
，
，
；
当∽时，
，
，
，
综上所述：当为秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似；
如图，

当时，
由可知：，
，
当时，是钝角三角形，
当，
由可知：，
当时，是钝角三角形，
综上所述：或． 

【解析】根据题意得，分两种情况讨论：当∽时，当∽时，对应边成比例列式计算即可得出结果；
结合，求出和时的的值，进而求得结果．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
 

25.【答案】解：反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的关系式为，
又点在反比例函数的图象上，
，
点，
把，点代入一次函数得，
，
解得，
一次函数的关系式为，
答：反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为；
当时，即，
解得，
直线与轴的交点坐标为，
设点，则，
面积为，
，
解得，
点；
如图，当：：时，即：：，
，
把代入反比例函数的关系式得，，
，
点，
；
如图，当：：时，即：：，
，
把代入反比例函数的关系式得，，
，
点，
；
答：的长为或． 

【解析】将点代入反比例函数关系式可确定的值，进而确定反比例函数关系式，由于点也在反比例函数的图象上，可确定点坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式即可；
设点坐标，利用三角形面积公式列方程求解即可；
分两种情况进行解答，即：：和：：，利用相似三角形的性质求出点的坐标，再由两点距离公式进行计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数关系式是解决问题的前提．
 

26.【答案】   

【解析】解：【问题初探】，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：，；
【类比再探】过点作交于点，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由【问题初探】可得≌，
，
；
【方法迁移】过点作交于点，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
由【问题初探】可得∽，
，
，是的中点，
，
，
，
，
．
【问题初探】通过证明≌进行求解即可；
【类比再探】过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据平行线的性质，证明≌，再求解即可；
【方法迁移】过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据平行线的性质，证明∽，可得，再求出，即可求．
本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．