2022-2023学年山东省济南市济阳区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市济阳区九年级上学期数学期中试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如果，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例的性质即可得．
【详解】，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解．
【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往右边看，熟练三视图的概念即可求解.
3. 若是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A. 3B. 4C. ﹣3D. －4
【答案】A
【解析】
【分析】设另一根为 结合是方程的一个根，由根与系数的关系可得：从而可得答案．
【详解】解： 是方程的一个根，设另一根为


即方程的另一个根是
故选：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
4. 如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
添加，能使矩形成为正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理．
5. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，画出示意图，易得△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．
【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED•FD=2×8=16，
解得CD=4m（负值舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
6. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A. 2：1B. 1：2
C. 3：2D. ：1
【答案】D
【解析】
【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解即可．
【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y：，
解得x：y= ．
故选：D．
【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
7. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案．
【详解】解：函数的图像经过点，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知：，
反比例函数的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像与性质是解答此题的关键．
8. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
9. 在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则的值最可能是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据图知，经过大量实验，蓝球出现的频率稳定在0.6附近，再根据频率公式逐项判断即可．
【详解】解：根据图知，经过大量实验，蓝球出现的频率稳定在0.6附近，
则，
当n=4时，，故A不符合题意；
当n=5时，，故B不符合题意；
当n=6时，，故C符合题意；
当n=7时，，故D不符合题意；
∴的值最可能是6，
故选：C．
【点睛】本题考查频数与频率，能从图中获取到蓝球出现的频率稳定在0.6附近是解答的关键．
10. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则k值为（ ）
A. 6B. 12C. 16D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【详解】解：在中，令，则，
令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
设，，
，，
，，
点，点反比例函数图象上，
，
，（不合题意舍去），
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
11. 如图，已知，若，则的长为 __．
【答案】4
【解析】
分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12. 某医院要从，，三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者和的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中恰好抽到志愿者和的有2种结果，
所以恰好抽到志愿者和的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．利用列表法或树状图法找出所求情况数和总情况数是解答本题的关键．
13. 若是方程的一个根，则的值为______
【答案】2022
【解析】
【分析】把m代入方程变形求解即可；
【详解】∵m是方程 x2−x−1=0 的一个根，
∴ m2−m−1=0 ，
∴ m2−m=1 ，
∴ m2−m+2021=1+2021=2022 ．
故答案是：2022．
【点睛】本题主要考查了代数式的求解，准确计算是解题的关键．
14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．当时，x的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据图象确定的取值范围即可．
【详解】解：由图象知，当和在之间时，
，，
当时，的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
15. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．
【答案】8
【解析】
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【详解】如图：
∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE=AC：DE，
即1：5=1.6：DE，
∴DE=8m，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
16. 如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为为______．
【答案】
【解析】
【分析】过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连接MH，HB由等腰的顶角，可得DG平分∠ADC，AG=CG=，可求∠GDC=60°，∠DCG=30°，在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9，可求DG=，CD=2由M，H为中点，可得MH=，根据两点之间线段最短，可得MBMH+HB，MH为定值，HB最小时，MB最短，BH⊥CF，可求∠HCB=60°，CH=，由勾股定理BH=，BH最小=．
【详解】解：过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连接MH，HB，
∵等腰的顶角，
∴DG平分∠ADC，AG=CG=，
∴∠GDC=60°，∠DCG=90°-∠GDC=90°-60°=30°，
∴CD=2DG，
在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9，
∴DG=，CD=2，
∵M，H为中点，
∴MH=，
根据两点之间线段最短，则有MBMH+HB，MH为定值，
∴HB最小时，MB最短，
∴BH⊥CF，
∠HCB=180°-∠DCA-∠DCF=180°-30°-90°=60°，
CH=，
BH=，
BH最小=，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系是解题关键．
三、解答题
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法或配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法求解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：方法1（因式分解法）：
因式分解，得，
；
方法2（配方法）：
移项，得，
两边同时加上4，得，
配方，得，
开平方，得，
；
【小问2详解】
解：移项，得
提取公因式，得，
．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法、配方法求解一元二次方程是解答此题的关键．
18. 如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接．求证：．
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】利用已知条件与菱形的性质，可证明，即可得证．
【详解】证明：菱形，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
19. 已知：如图，中，，，D为边上一点，．求长．
【答案】2
【解析】
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质求解的长．
【详解】解：在与中，
，，
，
，
，，
，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键．
20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在图中画出沿x轴翻折后的；
（2）在第一象限方格纸中，以点为位似中心，画，使它与位似，且相似比为2；
（3）填空：点坐标______；与的周长比是______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），
【解析】
【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
（2）延长到使，延长到使，延长到使，从而得到；
（3）先利用轴对称的性质得到，再根据位似的性质得到与的相似比为，所以与的相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
解：如图，为所作；
【小问3详解】
解：点的坐标为，
沿轴翻折后的，
，
按放大后的位似图形，
与的相似比为，
与的相似比为，
与的周长的比为．
【点睛】本题考查了作图位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
21. 目前微信、支付宝、共享单车、和网购给我们的生活带来很多便利，初二数学小组在校内对你最认可的四大新生事物进行调查，随机调查了m人，（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图
（1）根据图中信息求出m=__________；n=_______________；
（2）请把图中的条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请估算全1800名学生中，大约有多少人最认可微信和支付宝这两样新生事物？
【答案】（1）100，35；（2）见解析；（3）1350
【解析】
【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；
（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，即可补全条形统计图；
（3）总人数乘以样本中微信人数和支付宝人数所占百分比可得答案．
【详解】解：（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人，
∴支付宝的人数所占百分比n%=×100%=35%，即n=35，
故答案为：100、35；
（2）网购人数为100×15%=15人，
补全图形如下：
支付宝对应的百分比为：
答：大约有1350人最认可“微信”和支付宝这一新生事物．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 如图，小明想用太阳光的照射来测量一大楼的高度.大楼被太阳照射后，其影子投射到与大楼平行的墙面的影子为，小明从大楼向墙面移动，当小明移动到点时，恰好使自己的影子与大楼的影子重叠，且高度相同.此时，测得影子，，（点、、在同一直线上），已知小明身高，请你求出大楼的高度.
【答案】.
【解析】
【分析】过点作于点，交于点根据已知，可求得，根据，得出，再利用相似三角形的性质即可得出，最后根据即可解答.
【详解】解：过点作于点，交于点.
由题意可得，四边形、是矩形.
∴，，.
∴.
依题意知：，
∴，
∴，，
即.
.
答：大楼的高度为.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答，解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解答.
23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？
【答案】（1）6； （2）40
【解析】
【分析】（1）设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设每个车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量为个，再根据“月租金=每个车位的月租金×租出的车位数”列方程并求解．
【小问1详解】
解：设通道的宽为x米，
根据题意，得，
，
，
或（不符合实际，舍去），
答：通道的宽是6米；
【小问2详解】
解：设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，或，
，
不符合题意，舍去，
（元）
故每个车位的月租金应上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解答此题的关键．
24. 如图，中，，，，D是的中点，动点P从点A出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t为多少秒时，以点A、D、P为顶点的三角形与相似？
（2）若为钝角三角形，请直接写出t的取值的范围．
【答案】（1）2或；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据条件、勾股定理求出，用的代数式表示，然后分两种情况讨论与相似，利用相似三角形的性质求出；
（2）根据（1）结论，分两种情况即可得到的取值的范围．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
D是的中点，
，
动点P从点A出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设点P的运动时间为t秒，
，，
若以点A、D、P为顶点的三角形与相似，而，
分两种情况：
①当时，，如图1，
即，
解得；
②当时，，如图2，
即，
解得；
故当t为2或秒时，以点A、D、P为顶点的三角形与相似
【小问2详解】
解：由（1）知：当时，，当时，，而是锐角，
当时，为钝角，为钝角三角形；
当时，为钝角，为钝角三角形；
故若为钝角三角形，则t的取值的范围是或．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理和对钝角三角形的讨论，熟练掌握相似三角形的判定与性质与分类讨论的思想是解答此题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数及一次函数表达式；
（2）若点P是直线左侧x轴上一点，若面积为1，求P点的坐标；
（3）过点A作直线，与第三象限的反比例函数图象交于另一点C，连接，当线段被y轴分成长度比为的两部分时，求的长．
【答案】（1），
（2）
（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式，可求解，再利用待定系数法求解；
（2）设，根据建立等式求解；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象过点，
，
，
反比例函数，
又图象过点，
，
解得：；
，
将，代入：中：
得：，
解得：，
；
【小问2详解】
解：设，如下图：
当时，，
解得：，
，
，
，
解得：，
；
【小问3详解】
解：如图，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
当时，则，
点，
，
当时，则，
点，，
，
综上所述：的长为或；
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26. 问题初探】
（1）如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，与的数量关系______，位置关系______．
【类比再探】
（2）如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，求的度数．
【方法迁移】
（3）如图3，中，，，，点M是中点，点D是上一点且，连接，以为一边作，使，，连接，求的长．
【答案】（1）；；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）先证明，即可得与的数量关系，然后证明即可得与的位置关系；
（2）过点M作交于点F，然后把问题转化成与（1）类似的问题，只要证明即可求出答案；
（3）取中点G，连接，根据已知先证明，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，，，
，
，
在和中，
，
，
即，
；
故答案为：；．
【小问2详解】
解：过点M作交于点F，如图2所示，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
故；
【小问3详解】
解：取中点G，连接，如图3所示，
点M是中点，
为的中位线，
∴，
，
，，，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
故的长为．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质、勾股定理、中位线等知识，熟练掌握这些判定与性质、通过作辅助线构造全等和相似三角形是解答此题的关键．A
B
C
A
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）