2023高考数学复习专项训练《三角函数的图像与性质》

这是一份2023高考数学复习专项训练《三角函数的图像与性质》，共11页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）函数y=tan(x-π3)的定义域是( )
A. { x∈R|x≠kπ+5π6,k∈Z}
B. { x∈R|x≠kπ-5π6,k∈Z}
C. { x∈R|x≠2kπ+5π6,k∈Z}
D. { x∈R|x≠2kπ-5π6,k∈Z}
2.（5分）函数f(x)=sinx+2csx，x∈[0,π2]的值域为( )
A. [1,5]B. [2,5]C. [-5,5]D. [1,2]
3.（5分）若函数f(x)=asinx+bcsx在x=π3处取得最大值4，则ab=( )
A. 1B. 3C. 2D. 3
4.（5分）已知f(t)=2cst，t∈[-π2,π]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2-2x+m>mx+2恒成立，则x的取值范围是( )
A. (-∞,-2)∪(4,+∞)B. (-2,4)
C. (-∞,0)∪(2,+∞)D. (0,2)
（5分）
5.函数y=-sin2x-3csx+3的最小值是( )
A. 2B. 0C. 14D. 6
6.（5分）y=2sinx-csx的最大值为( )
A. 1B. 3C. 5D. 3
7.（5分）在定义域为R的函数中，一定不存在的是( )
A. 既是奇函数又是增函数B. 既是奇函数又是减函数
C. 既是增函数又是偶函数D. 既非偶函数又非奇函数
8.（5分）若x∈[0,π2]方程cs2x+3sin2x=k+1有两个不同的实数根，则k的取值范围是( )
A. [-2,1]B. [-2,1)C. [0,1]D. [0,1)
9.（5分）若函数f (x)=cs(ωx+π3) (ω>0)在区间[0,2π]上取得最大值1和最小值-1的x的值均唯一，则ω的取值范围为( )
A. 34,\56B. 34,\56C. 56,\43D. 56,\43
10.（5分）下列说法正确有( )个
①函数y=-cs(kπ2+x)(k∈Z)是奇函数；②函数f(x)=3tan(2x+π3)关于点(π12,0)对称；
③函数y=cs2x+sinx的最小值是-1；④ΔABC中，若sinAA. 1B. 2C. 3D. 4
11.（5分）在下列四个函数，①y=sin|x|②y=|cs2x|③y=2sin(2x-π3)④y=2tan(x+π10)中，最小正周期为π的所有函数为( )
A. ①②③B. ②③④C. ②③D. ③④
12.（5分）若|x|⩽π4，则函数y=cs2x+sinx的最小值是( )
A. 2-12B. 1-22C. -2+12D. -1
13.（5分）函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象与函数y=1的图象的交点个数是()
A. 1B. 2C. 3D. 4
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）函数f（x）=（sinx+csx）2，则其周期为____．
15.（5分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为____．
16.（5分）已知函数y=sinx的定义域是[a,b]，值域是[-1,12]，则b-a的最大值是______.
17.（5分）函数f(x)=sin(πx-1)的最小正周期是_____________.
18.（5分）若m、n、l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线
④若α∩β=m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β
⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m⊥l，n⊥l
其中正确命题的序号是____。
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）求下列函数的最大值与最小值
(1)y=2sinx-3，x∈R
(2)y=74+sinx-sin2x，x∈R．
20.（12分）已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(|ϕ|⩽π2)的最小正周期为π，将其图象向左平移π8个单位得到函数．f(x)=2sinωx的图象．
(I)求函数f(x)的单调递增区间；
(II)求函数f(x)在区间[π8,3π4]上的最小值和最大值．
21.（12分）（1）求函数y=tanx+1+lg(1-tanx)的定义域；
（2）求函数y=tan2x-tanx+1tan2x+tanx+1的最大值，最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合.
22.（12分）如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，O是坐标原点，OP落在x轴非负半轴上，点Q在第一象限，C是扇形弧上的一点，ABCD是扇形的内接矩形．

(Ⅰ)当C是扇形弧上的四等分点(靠近Q)时，求点C的纵坐标；
(Ⅱ)当C在扇形弧上运动时，求矩形ABCD面积的最大值．
23.（12分）已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；
(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π4]上的最小值.
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：由x-π3=kπ+π2(k∈Z)，得x=kπ+5π6,k∈Z，
∴函数y=tan(x-π3)的定义域是{ x∈R|x≠kπ+5π6,k∈Z}．
故选A．
求出满足使x-π3的终边落在y轴上的角x的集合，取其在实数集内的补集得答案．
该题考查了正切函数的定义域，是基础题．
2.【答案】A;
【解析】解：函数f(x)=sinx+2csx=5sin(x+θ)，
其中tanθ=2，sinθ=25，csθ=15；
由x∈[0,π2]，得x+θ∈[θ,π2+θ]，∴sin(x+θ)∈[15,1]，
可得：f(x)∈[1,5]，
即函数f(x)的值域为[1,5]，
故选：A．
利用辅助角公式化简函数解析式，进而可得f(x)的值域．
该题考查的知识点是三角函数的值域，辅助角公式，属于中档题．
3.【答案】B;
【解析】解：对于函数f(x)有a2+b2=432a+12b=4，
解得a=23，b=2，所以ab=3，
故选：B．
由题意可得a2+b2=432a+12b=4，解得求出a，b的值，即可求出答案
这道题主要考查辅助角公式应用，以及正弦函数的性质，属于中档题．
4.【答案】A;
【解析】解：∵t∈[-π2,π]，
∴cst∈[-1,1]，f(t)=2cst∈[-2,2]，即m∈[-2,2]，
不等式x2-2x+m>mx+2恒成立⇔(1-x)m+x2-2x-2>0(-2⩽m⩽2)恒成立，
令g(m)=(1-x)m+x2-2x-2，
则g(-2)>0g(2)>0，即x2-4>0x2-4x>0，
解得：m<-2或m>4，
故选：A．
利用三角函数的性质可求得f(t)值域，从而可得m的取值范围，再将x2-2x+m>mx+2化为(1-x)m+x2-2x-2>0(-2⩽m⩽2)，构造函数g(m)=(1-x)m+x2-2x-2，
由g(-2)>0g(2)>0即可求得x的取值范围．
该题考查函数恒成立问题，考查三角函数的最值，将x2-2x+m>mx+2化为(1-x)m+x2-2x-2>0是关键，考查转化思想与构造函数能力，属于难题．
5.【答案】B;
【解析】
这道题主要考查了三角函数的性质，二次函数的性质．解题过程采用了换元法，把三角函数问题转换为二次函数的问题，属于中档题．
利用同角三角函数关系，把函数转换成关于csx的函数，利用换元法，根据csx的范围求得函数的最小值．

解：y=-sin2x-3csx+3=cs2x-1-3csx+3=(csx-32)2-14，
∵-1⩽csx⩽1，令csx=t，则-1⩽t⩽1，
f(t)=(t-32)2-14，在[-1,1]上单调减，
∴f(t)min=f(1)=0
故选B．
6.【答案】C;
【解析】解：化简可得y=2sinx-csx
=5(25sinx-15csx)
=5sin(x-ϕ)，其中tanϕ=12，
∴函数的最大值为5
故选：C.
由辅助角公式可得y=5sin(x-ϕ)，其中tanϕ=12，易得函数的最大值．
此题主要考查三角函数的最值，涉及辅助角公式，属基础题．
7.【答案】C;
【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，故偶函数在（0，+∞）上的单调性和它在（-∞，0）上的单调性相反，
故在定义域为R的函数中，不存在既是增函数又是偶函数的函数，故选C。
8.【答案】D;
【解析】解：因为cs2x+3sin2x=2sin(2x+π6)，
若x∈[0,π2]方程cs2x+3sin2x=k+1有两个不同的实数根，
则y=2sin(2x+π6)与y=k+1在[0,π2]上有两个交点，
则1⩽k+1<2，
解得，0⩽k<1．
故选：D．
若x∈[0,π2]方程cs2x+3sin2x=k+1有两个不同的实数根，转化为y=2sin(2x+π6)与y=k+1在[0,π2]上有两个交点，结合函数的图象可求．
这道题主要考查了由方程的解个数求解参数范围，体现了转化思想及数形结合思想的应用．
9.【答案】D;
【解析】
此题主要考查余弦函数的周期性以及最值，属于基础题．
由条件利用余弦函数的周期性以及最值，可得2π⩽ω⋅2π+π3<3π，由此求得ω的取值范围．

解：∵函数f (x)=cs(ωx+π3) (ω>0)在区间[0,2π]上取得最大值1和最小值-1的x的值均唯一
∴2π⩽ω⋅2π+π3<3π，，求得56⩽ω<43，
故选D.

10.【答案】C;
【解析】解：函数y=-cs(kπ2+x)，k为偶数，则y=±csx，k为奇数，则y=±sinx，所以函数不是减函数也不是偶函数；所以①不正确；
函数f(x)=3tan(2x+π3)，由于点(π12,0)不在图象上，结合图象可得函数图象关于点(π12,0)对称，故②正确．
因为函数y=cs2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-(sinx-12)2+54，当sinx=-1时，取得最小值-1，故③正确；
在ΔABC中，sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B，故④正确；
故选：C．
通过诱导公式化简函数的解析式判断①；函数的对称性判断②；函数的最值判断③；利用正弦定理判断④．
这道题主要考查了三角函数的性质的判断，解答该题的关键是要熟练掌握三角函数的性质并能灵活应用，以及正弦定理的应用．
11.【答案】D;
【解析】解：①y=sin|x|的偶函数，不具备周期，不满足条件
y=|cs2x|的周期是π2，不满足条件．
③y=2sin(2x-π3)的周期T=2π2=π，满足条件．
④y=2tan(x+π10)的周期是T=π，满足条件，
故选：D．
根据函数的周期性和周期公式分别进行求解判断即可．
这道题主要考查函数周期的求解和判断，结合函数的周期公式是解决本题的关键．难度较小．
12.【答案】B;
【解析】解：∵|x|⩽π4，∴-22⩽sinx⩽22，
又y=cs2x+sinx=-sin2x+sinx+1=-(sinx-12)2+54，
∴当sinx=-22时，函数y=cs2x+sinx的最小值1-22，
故选：B．
将y=cs2x+sinx化为关于sinx的二次式，配方后得：y=-(sinx-12)2+54，再结合已知条件|x|⩽π4，即可求得答案．
该题考查三角函数的最值，考查配方法的应用，属于基础题．
13.【答案】A;
【解析】
此题主要考查正弦函数的图像，属于基础题.解：根据题意作出正弦函数图象，
易得仅有一个交点，故选A.
14.【答案】π;
【解析】解：∵f（x）=（sinx+csx）2=sin2x+cs2x+2sinxcsx=1+sin2x，
∴其周期为T=
=π，
故答案为：π．
15.【答案】8;
【解析】解：∵y=sinx对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）-f（xj）|≤f（x）max-f（x）min=2，
要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，
考虑0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|=12，
按下图取值即可满足条件，

∴m的最小值为8．
故答案为：8．
16.【答案】4π3;
【解析】
此题主要考查了正弦函数的图象及性质的应用，属于基础题．
根据函数y=sinx，令-7π6⩽a⩽-π2，要使b-a的值最大，结合三角函数的图象可得b=π6，可得答案.

解：函数y=sinx，令-7π6⩽a⩽-π2，
要使b-a的最大值，
可知b的最大值为：b=π6，
∴b-a的最大值为π6-(-7π6)=4π3；
故答案为：4π3
17.【答案】2;
【解析】略
18.【答案】②④⑤;
【解析】若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与α和β可以有相交或包含的关系，故①不正确，
若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n，这是两个平面平行的性质定理，故②正确，
若m不垂直于α，则m可能垂直于α内的无数条直线，③不正确，
若α∩β=m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β，④正确
若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，
则m⊥n，m⊥l，n⊥l，符合三个平面两两相交时，交线平行或交于一点，故⑤正确，
总上可知②④⑤正确，
故答案为：②④⑤。
19.【答案】解：（1）∵-1≤sinx≤1，-2≤2sinx≤2，∴-5≤2sinx-3≤-1．
∴函数y=2sinx-3的最大值是-1，最小值为-5；
（2）∵函数y=74+sinx-sin2x=-（sinx-12）2+2，-1≤sinx≤1，
故当sinx=-1时，函数取得最小值为-14，当sinx=12时，函数取得最大值为2．;
【解析】该题考查了正弦函数的值域、二次函数的性质应用，属于较易题．
(1)直接利用正弦函数的值域求解．
(2)根据函数y=74+sinx-sin2x=-(sinx-12)2+2，-1⩽sinx⩽1，利用二次函数的性质求得函数的最值．
20.【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（|φ|≤π2）的最小正周期为π，所以ω=2ππ=2，
故函数f（x）=2sin（2x+φ）将其图象向左平移π8个单位得到函数．
得到f（x）=2sin[2（x+π8）+φ]=2sin（2x+π4+φ）=2sin2x的图象，
所以π4+ϕ=0，φ=-π4，
所以函数f（x）=2sin（2x-π4）．
令-π2+2kπ≤2x-π4≤π2+2kπ k∈Z
所以-π8+kπ≤x≤3π8+kπ k∈Z．
所以函数的单调增区间为：[-π8+kπ，3π8+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）因为函数f（x）=2sin（2x-π4）在区间[π8，3π8]上为单调增函数，
在区间[3π8，3π4]上为减函数，
又f（π8）=0，f（3π8）=2，f（3π4）=2sin（3π2-π4）=-2sinπ4=-1．
故函数f（x）在区间[π8，3π4]上的最小值为-1，最大值为2．;
【解析】
(I)利用函数的周期求出ω，图象的平移求出ϕ，求出函数的解析式，利用函数的单调区间．求出函数f(x)的单调递增区间；
(II)确定函数f(x)在区间[π8,3π4]上的单调性．然后求出函数的最小值和最大值
该题考查三角函数的解析式的求法，函数的单调区间的应用，函数最值的求法，考查计算能力．
21.【答案】解：（1）由题意得{tanx+1≥0,1-tanx>;0,即-1≤tanx＜1.在x∈(-π2,π2)时，x的范围为[-π4,π4).又y=tanx的周期为π，∴函数的定义域为[kπ-π4,kπ+π4)，k∈Z.
（2）内层函数u=tanx(x≠kx+π2,k∈Z)，外层函数是y=u2-u+1u2+u+1(u∈R)
则y=u2-u+1u2+u+1=(u2+u+1)-2uu2+u+1=1-2uu2+n+1.
当u=0时，v=1：
当u＞0时，y=1-2u+1u+1≥13，在x=kπ+π4，k∈Z时取得等号，且y＜1；
当u＜0时y=1-2u+1u+1≤3，在x=kπ-π4，k∈Z时
取得等号，且y＞1.
所以，ymin=13，此时x∈{x|x=kπ+π4,k∈Z}；ymax=3，此时x∈{x|x=kπ-π4,k∈Z}.;
【解析】略
22.【答案】解：(Ⅰ)根据题意：当C是扇形弧上的四等分点(靠近Q)时，
所以：∠POC=π4，
点C的纵坐标：y=sinπ4=22．
(Ⅱ)设∠COP=θ，矩形的面积为S，
则：S=AB⋅BC=(OB-OA)⋅BC，
=(csθ-33sinθ)sinθ，
=sinθcsθ-33sin2θ，
=12sin2θ+36cs2θ-36，
=33sin(2θ+π6)-36
当θ=π6时，Smax=33-36=36．;
【解析】(Ⅰ)直接利用四等分点的条件求出∠POC=π4，进一步求出结果．
(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
该题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，
∴T=2πω=π，
∴ω=2，
∴f(x)=sin(2x+π3)；
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，
得到函数g(x)=sin(4x+π3)的图象，
令t=4x+π3，则t∈[π3,4π3]，
∴-32⩽sint⩽1，
即函数g(x)在区间[0,π4]上的最小值为-32.;
【解析】此题主要考查函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，函数的最值等，属于中档题．
(1)利用正弦函数的周期性，求得ω的值；
(2)利用函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数g(x)在[0,π4]上的最小值．
2π
2