2023届高考数学二轮复习专题三函数与导数第二讲基本初等函数及函数与方程学案

专题三 函数与导数 

第二讲 基本初等函数及函数与方程 

（一）考点解读

（一）        核心知识整合

考点1：指数函数与对数函数

1.指数与对数的七个运算公式

（1），

（2），

（3），

（4）loga＝logaM－logaN (a>0且a≠1，M>0，N>0)．

（5）logaMn＝nlogaM  (a>0且a≠1，M>0)．

（6）alogaN＝N (a>0且a≠1，N>0)．

（7）logaN＝  (a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)

2. 指数函数与对数函数的图像与性质

 [典型例题]

1.已知函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

[答案]：C

[解析]　 函数，即，定义域为R，

，为R上的奇函数，

当时，函数在上单调递增，在上单调递增，

且当时，，，

所以在上单调递增，则在R上单调递增，

对任意的，恒成立，

即在上恒成立，

即，即对恒成立，

设，，

可得，且，解得，

故选C.

2.若在区间上单调递减，则a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

[答案]：A

[解析] 令，其图象的对称轴为直线，如图所示：

由图象可知，当时，在区间上单调递减.

又真数，二次函数在上单调递减，

故只需当时，，即，所以a的取值范围是，故选A.

『规律总结』

1.指数函数与对数函数比较大小问题，要注意化成同底数比较，如若无法化成同底数，要巧用常数0或1.

2.指数函数与对数函数的图像识别与性质，要熟记指数与对数相关性质.

提醒：在对数运算和指数运算过程中，必须牢记公式，防止记混.

[跟踪训练]

1.将化成分数指数幂为(   )

A. B. C. D.

[答案]：B

[解析]　选B.原式.

2.已知函数,则的值域是(   )

A. B. C. D.

[答案]：B

[解析] 因为,所以,,则,即.则的值域为,故选B.

考点2：幂函数的图像及其性质

1.幂函数的概念

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．

2.幂函数的图象与性质

幂函数在区间(0 , ＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．

 [典型例题]

1.幂函数在时是减函数，则实数m的值为(   )

A. 2或-1 B. -1 C. 2 D. -2或1

[答案]：B

[解析]   由于幂函数在时是减函数，
故有，
解得，故选B．

2.若幂函数的图象过点,则满足的实数x的取值范围是(   )
A. B. C. D.

[答案]：B

[解析] 设，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以.又因为为偶函数，且，所以，所以，解得或.故选B.

『规律总结』

1. 幂函数的判断方法

（1）幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．

（2）如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．

2. 第一象限内图象类型规律：

（1）n>1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增；

（2）n=1时，过（0，0）、（1，1）的射线；

（3）0﹤n﹤1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增；

（4）n=0时，变形为y=1（x≠0）,平行于x轴的射线；

（5）n﹤0时，过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近.

提醒：任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象；n=奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限；n=偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y轴对称；n=奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称.

[跟踪训练]

1.已知点在幂函数的图象上,设,则的大小关系为(   )
A.  B.  C.  D.

[答案]：A

[解析]  因为函数为幂函数,所以,所以,所以.因为点在幂函数的图象上,所以,所以.因为函数在定义域R上为增函数, ,所以,即,故选A.

2.已知点在幂函数图象上，设，则的大小关系为（   ）

A.  B.   C.  D.

[答案]：A

[解析] 先求得的解析式，判断其单调性，再比较与0、1的大小可得,利用单调性可得结果. 故选A.

考点3：函数与方程

1.函数的零点

（1）函数的零点及函数的零点与方程根的关系

对于函数f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.

（2）零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的一个根．

2.函数与方程及应用

（1）方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点 函数y=f（x）有零点.

（2）思想方法：

数学方法：图象法、分离参数法、最值的求法．

数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程．

 [典型例题]

1.已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

[答案]：C

[解析]  由题意，得有两个不同的零点.令，则.令，则，且，所以当时，，，则在区间上为增函数，故；当时，，，则在区间上单调递减，故.要使有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.

故选C.

2.已知函数恰有三个零点,则的取值范围为(     )

A. B. C. D.

[答案]：B

[解析]  由题意可知函数的零点个数即与的图象的交点个数.结合与的图象(图略)可知在上有且只有一个交点,则与的图象在上有两个交点.又等价于,即记,则令解得,令,解得,从而故,即.

故选B.

『规律总结』

1．判断函数零点个数的方法

(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．

(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．

(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

2.应用函数思想确定方程解的个数的两种方法

(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．

(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解．

提醒：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标；函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点，但存在零点时不一定满足该条件．即函数y＝f(x)在(a，b)内存在零点，不一定有f(a)f(b)<0．

 [跟踪训练]

1.函数的零点所在的区间为(    )

A． B． C． D．

[答案]：B

[解析]  ∵函数在其定义域上单调递增，

∴，

∴.

根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，

故选：B.

2.已知函数.若存在2个零点,则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

[答案]：C

[解析] 函数存在2个零点,即关于的方程有2个不同的实根,即函数的图象与直线有2个交点,作出直线与函数的图象,如图所示,由图可知,,解得,故选C.