2022-2023学年浙江省杭州市富阳区富春中学等两校九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年浙江省杭州市富阳区富春中学等两校九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知点在半径为的外，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是(    )

A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现点朝上
C. 从一个装有个红球个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D. 从一个装有个红球个黑球的袋子中任取两球，取到的是黑球

4. 下列命题正确的是(    )

A. 三个点确定一个圆
B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C. 同弧或等弧所对的圆周角相等
D. 圆内接平行四边形一定是正方形

5. 某班甲、乙、丙三个综合实践活动小组准备向全班同学展示成果，现通过抽签确定三个小组展示的先后顺序．三个小组排列的顺序有种不同可能．(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知二次函数是常数，，则下列命题中正确的是(    )

A. 若，函数图象经过点
B. 若，函数图象与轴交于两点
C. 若，函数图象的顶点在轴下方
D. 若且，则随增大而减小

8. 如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，若，则的度数等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，是的外接圆，，若的半径为，则弦的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 从长为，，，的四根木条中任取三根，能组成三角形的概率为______．
12. 将抛物线向左平移个单位所得图象的函数表达式为______．
13. 如图，圆周角，则圆心角的度数是为______．

14. 对于二次函数，当时的函数值与时的函数值相等时，______
15. 如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接，平分若，则的长为______．

16. 已知二次函数的图象过点，另有直线，则符合条件的的范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知二次函数．
    将化成的形式：______；
    与轴的交点坐标是______，与轴的交点坐标是______；顶点坐标是______．
18. 本小题分
    已知二次函数的图象经过，两点．
    求，的值．
    试判断点是否在此函数的图象上．
19. 本小题分
    如图，将一个圆形转盘平均分成份，分别标上数字，，，现转动转盘两次，计算两次转得的数的和．
    画出树状图，并求两次转得数字之和为的概率；
    通过计算，判断和为多少的概率最大？

20. 本小题分
    如图，在中，，以为直径的分别交，于点，．
    求证：．

21. 本小题分
    如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米．
    求圆弧所在的圆的半径的长；
    当洪水泛滥到跨度只有米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有米，即米时，是否要采取紧急措施？

22. 本小题分
    某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本．
    当降价销售时，求销售单价为多少元时，每天的销售利润为元．
    直接写出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23. 本小题分
    已知在圆中，弦垂直弦于点
    如图：若，求证：；
    如图：若，，；
    求圆的半径；
    求弓形的面积．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点在圆的外部，
点到圆心的距离大于，
故选：．
根据点与圆的位置关系即可确定的范围．
本题主要考查点于圆的位置关系，关键是要牢记判断点与圆的位置关系的方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是，故本选项错误，不符合题意；
B、掷一个正六面体的骰子，出现点朝上的频率约为：，故本选项错误，不符合题意；
C、从一个装有个红球个黑球的袋子中任取一球，取到黑球的概率是，故本选项正确，符合题意；
D、从一个装有个红球个黑球的袋子中任取两球，取到的是黑球的概率是，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的频率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
D、圆内接平行四边形一定是矩形，但不一定是正方形，故原命题错误，不符合题意；
故选：．
利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及圆内接多边形的性质，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

则共有种等可能出现的结果，
故选：．
根据题意列出树状图得出所有等可能的情况数．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
利用扇形面积公式求出的值，再利用扇形面积公式计算即可得到圆心角度数．
【解答】
解：一个扇形的弧长是，面积是，
，即，
解得：，
，
解得：．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：当时，二次函数，
时，，
二次函数的图象不经过，选项A错误．
当时，，
，
函数图象与轴有两个交点，选项B正确．
当时，顶点的纵坐标，
的值可能为，可能为正数，可能是负数，故选项C错误，
若且，则随增大而增大，故选项D错误．
故选：．
利用二次函数的性质一一判断即可．
本题考查命题与定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，由直径所对的圆周角是直角得，进而计算即可．
【解答】
解：如图，连接，

四边形是半圆的内接四边形，
，
，
，
是直径，
，
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，
，
过点作于点，
过圆心，
，，
，
．
故选：．
先由圆周角定理求出的度数，再过点作于点，由垂径定理可知，，再由锐角三角函数的定义即可求出的长，进而可得出的长．
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
，
，
若，则，，选项A错误．
若，则，，选项B错误．
若，则，
，选项C正确．
若，则，，选项D错误．
故选：．
先由抛物线解析式求出抛物线对称轴，再由可判断，进而求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中能组成三角形的结果有种，
能组成三角形的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中能组成三角形的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，正确画出树状图是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得直线的解析式为：．
故答案是：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：作所对的圆周角，如图，
四边形为的内接四边形，
，
，
．
故答案为．
作所对的圆周角，如图，先利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．作所对的圆周角是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
由当时的函数值与时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴，，据此可得的值．
【解答】

解：对于二次函数，当时的函数值与时的函数值相等，
二次函数图象的对称轴，即．
故答案为：．

 

15.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
是的直径，，
的长，
故答案为：．
根据角平分线的定义可知，再根据圆周角定理可得，从而可知，根据是的直径，，进一步可得的长．
本题考查了三角形外接圆，圆周角定理，弧长的计算等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：二次函数的图象过点，
，
解得：，
二次函数解析式，
抛物线开口向上，对称轴为，
抛物线过点，
符合条件的的范围是或．
故答案为：或．
先根据抛物线经过点，求出函数解析式，再求出抛物线的对称轴，根据函数的对称性，找到抛物线经过另一点，从而得出结论．
本题考查二次函数与不等式组，关键是对不等式性质的掌握和应用．
 

17.【答案】  ，     

【解析】解：，
故答案为：．
把代入得，
解得或，
抛物线与轴交点坐标为，，
令，得，
抛物线与轴交点坐标为，
顶点坐标是．
故答案为：，，，．
将函数解析化为顶点式求解；
把，代入函数解析式求解．
本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象上点的特征．
 

18.【答案】解：把，代入，
得，
解得，
，的值分别为，；
把代入，得，
点不在此函数的图象上． 

【解析】把两点代入即可得出，的值；
把代入解析式，算一下的值是否为，即可得出答案．
本题考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键．
 

19.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次转得数字之和为的结果有种，
两次转得数字之和为的概率为；
由可知，共有种等可能的结果，其中和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，
和为的概率最大，
即和为的概率最大． 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中两次转得数字之和为的结果有种，再由概率公式求解即可；
由可知，共有种等可能的结果，其中和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，和为的结果有种，再由概率公式即可得出结论．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】证明：连接、，如图，
为直径，
，
，
，
，
． 

【解析】连接、，如图，根据圆周角定理得到，再利用等腰三角形的性质得到，则根据等角的余角相等得到，然后根据圆周角定理得到结论．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
 

21.【答案】解：连结，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；

连结，
，
在中，由勾股定理得：，即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施． 

【解析】连结，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；
连结，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论．
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：设销售单价为元时，每天的销售利润为元，
则，
解得：或，
故销售单价为元或元时，每天的销售利润为元；

设销售单价为元时，每天的销售利润为元，
由题意得：，
，
抛物线开口向下．
，对称轴是直线，
当元时，元；
即销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】设销售单价为元时，每天的销售利润为元，则，即可求解；
设销售单价为元时，每天的销售利润为元，由题意得：，即可求解．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 

23.【答案】解：证明：连接、，如图，

，
，
，，
，
，
；
解：连接，，，于点，于点，设圆的半径为，
则，，，
，，，
，
解得，
圆的半径为；
，
，
，
，
弓形的面积为． 

【解析】连接、，如图，根据等腰三角形的性质由得，再根据圆周角定理得，，则，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论；
根据垂径定理得，，再根据勾股定理得，，，，即可求出圆的半径；
根据勾股定理求出，得，所以弓形的面积为扇形的面积减去三角形的面积即可．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式等，解答本题需要我们熟练各部分的内容，一定要注意将所学知识贯穿起来，正确作出辅助线．