2022-2023学年浙江省杭州市富阳区郁达夫中学、富春中学等五校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市富阳区郁达夫中学、富春中学等五校八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列图形中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 一个三角形的两边长分别是与，第三边的长不可能为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的反例是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列各图中，正确画出边上的高的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在中，是延长线上一点，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题为假命题的是(    )

A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B. 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
C. 等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合
D. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

7. 在等腰三角形中，它的两边长分别为和，则它的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D.

8. 如图，顶角为，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，为上一点，且，若的面积为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，点在边上，且满足，过点作，交于点设，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. “减去是正数”用不等式表示为______．
12. 选择适当的不等号填空：若，则 ______．
13. 如图，在于点，与相交于点，若，，则______，______

14. 如图，中，是的垂直平分线，，，则的周长是______．

15. 在中，已知：：：：，是的角平分线，于点若的面积为，则的面积为______．
16. 如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则______．

三、解答题（本题共7小题，共66分）

17. 如图，在中，，的平分线交于点按下列要求用直尺和圆规作图．不写作法，保留作图痕迹
    过点作的垂线交于点；
    证明：．

18. 如图，，，点在边上，，和相交于点求证：≌．
     
19. 如图，在中，是的高线，是的平分线，已知．
    若，求的度数；
    设，用含有的代数式表示的大小．

20. 如图，在中，，，，．
    求：的周长；
    判断是否是直角三角形？为什么？

21. 已知：如图，是的角平分线，于点，于点，．
    求证：；
    已知，，求的长．

22. 如图，已知的面积为，现将沿直线向右平移个单位到的位置． 
    求的边上的高；
    连结、，设．
    求线段的长；
    当是等腰三角形时，求的值．

23. 如图，是等边三角形，，为上两点，且，延长至点，使，连结，．
    如图，当，两点重合时，求证：；
    如图，延长交线段于点．
    求证：；
    求的度数．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A、、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：设第三边长．
根据三角形的三边关系，得，
第三边的长不可能为．
故选：．
根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可．
本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．
 

3.【答案】 

【解析】解：当，，时，结论成立．
当时，，结论不成立．
故选：．
把的值代入不等式判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是学会利用反例说明命题是假命题．
 

4.【答案】 

【解析】根据三角形高的定义，过点与边垂直，且垂足在边上，然后结合各选项图形解答．
解：根据三角形高线的定义，只有选项中的是边上的高．
故选：．
本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知，从而求出的度数．
本题主要考查三角形外角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，此命题为真命题，所以选项不符合题意；
B.两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以两边及其一边的对角对应相等的两个三角形为假命题，所以选项符合题意；
C.等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，此命题为真命题，所以选项不符合题意；
D.到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，此命题为真命题，所以选项不符合题意．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质对进行判断；根据全等三角形的判定方法对进行判断；根据等边三角形的性质对进行判断；根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理对进行判断．
本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为，底边长为时，
，
不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为，底边长为时，
等腰三角形的周长；
综上所述：等腰三角形的周长为，
故选：．
分两种情况：当等腰三角形的腰长为，底边长为时，当等腰三角形的腰长为，底边长为时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】根据折叠的性质，，，又，可知，根据所对的直角边等于斜边的一半，可知，．
解：，
，
根据折叠的性质，，，
，
，
，，
．
故选：．
本题考查的是翻折变换的性质，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，
，即是的高，
的面积为，，
，
，
．
故选：．
根据中，，可证是的高，然后利用三角形面积公式求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．
此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形面积公式求出的长．
 

10.【答案】 

【解析】根据，，，再根据三角形外角的性质得出，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得结论．
解：，，
，，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：“减去是正数”用不等式表示为，
故答案为：．
“减去”表示为，“是正数”即为．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出不等关系是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据不等式的性质，即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

13.【答案】   

【解析】解：，
，
，
，
又，

 故答案为：；．
首先利用垂直的定义和三角形的内角和定理可以求出，然后利用三角形的外角和内角的关系可以求出．
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
．
，，
的周长，
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：

：：：：，
设，，，
，，
，
是直角三角形，
，
平分，，，
，
，
的面积为，
的面积的面积，
故答案为：．
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用角平分线的性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及角平分线的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作，交的延长线于，

，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
设，则，
，，
，
，
故答案为：．
作，交的延长线于，利用证明≌，得，，再证明≌，得，从而解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点为所作；

证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用基本作图，过点作的垂线即可；
先根据角平分线的定义得到，再证明得到，所以，然后根据等腰三角形的判定得到结论．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定．
 

18.【答案】证明：和相交于点，
．
在和中，
，
．
又，
，
，
．
在和中，
，
≌． 

【解析】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有，，，，解答时要根据条件选择恰当的判定方法解答此题的关键是证明，先由对顶角相等得到，然后由内角和定理可得，再由，可得，从而可得，再结合已知，，可得≌．
 

19.【答案】解：在中，，
，
又，是角平分线，
，
；
在中，，
，
又，是角平分线，
，
． 

【解析】由题意可求得，再由角平分线的定义可得，即可求的度数；
仿照的解答过程进行求解即可．
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
 

20.【答案】解：在和中，
根据勾股定理得：，，
又，，，
，，
的周长．
，，，
，
不是直角三角形． 

【解析】本题考查勾股定理及其逆定理的知识，属于基础题，关键是熟练掌握勾股定理公式．
在和中，先根据勾股定理求出和的长，继而即可求出的周长；
根据勾股定理的逆定理，看的三边是否符合勾股定理，即可判断出是否是直角三角形．
 

21.【答案】证明：是的角平分线，于点，于点，
，，，
，
≌，
，
，，
≌，
；
解：，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，，，
，
的长为． 

【解析】证明≌，可得，可证≌，进而可证；
，可得，利用等面积法，可得，进而可求出的长．
本题考查了三角形全等的判定与性质，利用角平分线的性质和等面积法求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
 

22.【答案】解：如图过点作于点，
的面积为，，
，，
的边上的高是；

在中，，
，
在中，，
，
如图当是等腰三角形时，有三种情况：
 当时，，
 当时，又，
，
，；
当时，在中，
，，，
由勾股定理得：，
解得：，
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或． 

【解析】如图过点作于点，由三角形的面积公式求得的边上的高是；
在中，由勾股定理求得，得到，在中，由勾股定理求得，得到；如图当是等腰三角形时，分三种情况讨论：当时，，当时，因为，得到，，求得；当时，在中，，，，由勾股定理得：，解得：，
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理得应用，特别是要分类讨论否则容易漏解．
 

23.【答案】证明：如图中，

是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
．
证明：如图中，作交于，

，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：≌，
，
，
即． 

【解析】由等边三角形的性质得出，，证明即可解决问题．
作交于，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出；
由全等三角形的性质得出，根据三角形外角的性质可得出答案．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，证明≌是解题的关键．