2022-2023学年浙江省杭州市余杭区、富阳区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市余杭区、富阳区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin45∘的值等于( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
2.下列事件中，属于随机事件的是( )
A. 从地面向上抛的硬币会落下B. 射击运动员射击一次，命中10环
C. 太阳从东边升起D. 有一匹马奔跑的速度是70米/秒
3.如图，线段AB，CD相交于点O，AC//BD，若OA=6，OC=3，OD=2，则OB的长是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.一个扇形的半径为6，圆心角为120∘，则该扇形的面积是( )
A. 2πB. 4πC. 12πD. 24π
5.如图所示，将一个含30∘角的直角三角板ADC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点B′，若点B′、A、C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是( )
A. 60∘B. 90∘C. I20∘D. 150∘
6.关于抛物线y=(x−2)2−4，下列说法：①图象开口向上；②图象与x轴有两个交点；③当x=−2时，y有最小值−4.正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
7.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点(不与A，B重合)，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则( )
A. c=asinA
B. a=ccsA
C. a=ctanA
D. a=btanA
8.凸透镜成像的原理如图所示，AD//l//BC.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的( )
A. 45B. 25C. 49D. 59
9.已知点(x1,y1)，B(x2,y2)在二次函数y=ax2−2ax+b(a>0)的图象上，若y1>y2，则必有( )
A. x1>x2>1B. x1C. |x1−1|<|x2−1|D. |x1−1|>|x2−1|
10.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比.下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x).下列描述正确的是( )
A. 当x1>x2时，d(x1)>d(x2)B. 当d(x1)>d(x2)时，x1>x2
C. 当x1+x2=1时，d(x1)=d(x2)D. 当x1=2x2时，d(x1)=2d(x2)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若ab=34，则b−ab=______ .
12.如图，四边形ABCO的顶点A、B、C在⊙O上，若∠ABC=130∘，则∠AOC=______ .
13.学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为______.
14.如图，把两张宽度都是3cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α.则重叠部分的面积为______.
15.汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是s=15t−6t2，汽车刹车后到停下来前进了______米．
16.如图，面积为4的正方形ABCD中，EFGH分别是各边的中点，将边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是______ .
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
(1)估计任抽一件衬衣是合格品的概率(结果精确到0.01).
(2)估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件.
18.(本小题8分)
如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F.
(1)求证：AC=BD.
(2)若CD=8，EF=2，求⊙O的半径.
19.(本小题8分)
一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线.求铅球的落地点离运动员有多远(结果保留根号)？
20.(本小题8分)
如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30∘，从甲楼顶部B处测得乙楼顶部C处的俯角是45∘，已知两楼之间的距离AD=30m，求这两幢楼的高度(结果保留根号).
21.(本小题8分)
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF=2∠CAD.
(1)求证：△ABC∽△EFC.
(2)若BE=2DE，AFCF=32，求FGGE的值.
22.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,1)和B(2,4).
(1)求a，b满足的关系式.
(2)当自变量x的值满足−1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围.
(3)若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围.
23.(本小题8分)
如图，⊙O的半径为1，直径AB，CD的夹角∠AOD=60∘，点P是BD上一点，连接PA，PC分别交CD，AB于点M，N.
(1)若PC⊥AB，求证：PA⊥CD.
(2)当点P在BD上运动时，
①猜想：线段AM与CN有怎样的数量关系，并给出证明.
②求证：PA+PC=3AM.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：sin45∘= 22.
故选：B.
直接根据特殊角的三角函数值作答即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、从地面向上抛的硬币会落下，是必然事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，符合题意；
C、太阳从东边升起，是必然事件，不符合题意；
D、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可能事件，不符合题意．
故选：B.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】B
【解析】解：∵AC//BD，
∴∠C=∠D，∠A=∠B，
∴△AOC∽△BOD，
∴OCOD=OAOB，
∵OA=6，OC=3，OD=2，
∴32=6OB，
∴OB=4.
故选：B.
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得∠C=∠D，∠A=∠B，则△AOC∽△BOD，由相似三角形的性质得OCOD=OAOB，代入数值即可求解．
本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例时解题关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nπR2360是解题的关键．
根据扇形的面积公式S=nπR2360计算即可．
【解答】
解：扇形的面积是：120×π×62360=12π.
5.【答案】D
【解析】解：旋转角是∠BAB′=180∘−30∘=150∘.
故选：D.
根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由抛物线y=(x−2)2−4，
因为a=1>0，开口向上，
故本①正确；
B、当y=0时，(x−2)2−4=x2−4x=0，
∵Δ=16+16=32>0，
∴方程有2个不相等的实数解，
∴抛物线与x轴有2个交点，
故②正确；
∵抛物线开口向上，顶点为(2,−4)，
∴当x=2时，y有最小值−4，
故③错误．
故选：A.
利用二次函数图象和的性质对①③进行判断通过判断(x−2)2−4=0的根的情况对②进行判断．
本题主要考查抛物线与x轴的交点，对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90∘，
∵∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
∴sinA=ac，cnA=bc，tanA=ab，ctanA=ba，
∴c=asinA，故A不符合题意；
a=btanA，故BC不符合题意，D符合题意．
故选：D.
先根据圆周角定理得出∠C=90∘，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵BC//l，CG⊥l，BO⊥l，
∴四边形OBCG为矩形，
∴OB=CG，
∵AH⊥HO，BO⊥HO，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴AHBO=HF1OF1=54，
∴AHCG=54，
∴物体被缩小到原来的45.
故选：A.
先证出四边形OBCG为矩形，得到OB=CG，再根据△AHF1∽△BOF1，求出AHCG，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=ax2−2ax+b(a>0)，
∴开口向上，对称轴为直线x=−−2a2a=1，
∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)在二次函数y=ax2−2ax+b(a>0)的图象上，y1>y2，
∴A(x1,y1)到对称轴的距离大于点B(x2,y2)到对称轴的距离，
∴|x1−1|>|x2−1|.
故选：D.
由抛物线的解析式得到开口向上，对称轴为直线x=1，然后判断A、B两点到对称轴的距离即可得出结论．
本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
10.【答案】C
【解析】解：A、当x1>x2时，d(x1)与d(x2)可能相等，可能不等，本选项不符合题意．
B、当d(x1)>d(x2)时，x1>x2或x1A、当x1+x2=1时，d(x1)=d(x2)，正确，本选项符合题意．
D、当x1=2x2时，d(x1)<2d(x2)本选项不符合题意．
故选：C.
根据弧，弦和圆心角的关系，利用图象判断即可．
本题考圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】14
【解析】解：∵ab=34，
∴4a=3b，
∴a=34b，
将其代入b−ab得：
原式=b−34bb=14bb=14，
故答案为：14.
由比例的基本性质，可得4a=3b，进而得a=34b，代入计算即可．
本题考查了比例的性质，及分式的化简计算，如何利用比例关系进行代换是解题的关键．
12.【答案】100∘
【解析】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠ABC=130∘，
∴∠ADC=180∘−∠ABC=50∘，
∴∠AOC=2∠ADC=100∘.
故答案是：100∘.
首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆的内接四边形的性质，可求得∠ADC的度数，然后由圆周角定理，求得∠AOC的度数．
此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
13.【答案】13
【解析】【分析】
列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
此题考查了利用列表法求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
【解答】
解：列表如下(三辆车分别用1，2，3表示)：
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则P=39=13.
故答案为：13.
14.【答案】9sinα
【解析】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=α，
过A作AE⊥BC于E，则AE=3，
∵∠ABE=α，
∴AB=AEsinα=3sinα，
∴BC=AB=3sinα，
∴重叠部分的面积是：3sinα×3=9sinα
故答案为9sinα.
根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30∘角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．
15.【答案】758
【解析】解：∵s=15t−6t2=−6(t−54)2+758，
∴汽车刹车后到停下来前进了758米．
故答案为：758.
根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键．
16.【答案】 56
【解析】解：AG，DE交于M，AG与CH交于N，连接MH，DN，作NK⊥AD于K，
∵正方形的面积是4，
∴正方形的边长是2，
∵四边形ABCD是正方形，E，G分别是AB，DC中点，
∴四边形AEGD是矩形，
∴M是AG，DE的中点，
∵H是AD中点，
∴MH是△AGD的中位线，
∴MH=12DG=12，
∵MA=MD，
∴MH⊥AD，
∴AM= AH2+MH2= 12+(12)2= 52，
∵MH//NK，
∴△AMH∽△ANK，
∴AM：AN=MH：NK=AH：AK，
令HK=x，
∴1：(1+x)=12：NK，
∴NK=12(x+1)，
由正方形的对称性知∠KDN=45∘，
∴KD=NK=12(x+1)，
∵HK+DK=DH，
∴x+12(x+1)=1，
∴x=13，
∴NK=12(x+1)=23，
∵AM：AN=MH：NK，
∴ 52：AN=12：23，
∴AN=2 53，
∴MN=AN−AM=2 53− 52= 56.
故答案为： 56.
连接MH，DN，作NK⊥AD于K，由正方形的性质，相似三角形的性质求出KH长的，从而求出AN的长，即可解决问题．
本题考查中点四边形，正方形的性质，关键是由正方形的性质求出HK的长．
17.【答案】解：(1)由表可知，估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.95；
(2)次品的件数约为2000×(1−0.95)=100(件).
【解析】(1)根据大量重复实验下，频率稳定的数值即可估计任抽一件衬衣是合格品的概率；
(2)用总数量×(1−合格的概率)列式计算即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
18.【答案】(1)证明：∵OE⊥AB，
∴CF=DF，
∵OA=OB，
∴AF=BF，
∴AF−CF=BF−DF，
∴AC=BD；
(2)解：设⊙O的半径是r，
∵CO2=CF2+OF2，
∴r2=42+(r−2)2，
∴r=5，
∴⊙O的半径是5.
【解析】(1)由垂径定理得到CF=DF，由等腰三角形的性质得到AF=BF，从而证明AC=BD；
(2)设⊙O的半径是r，由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，即可求出⊙O的半径．
本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．
19.【答案】解：由图可知抛物线的顶点坐标为(4,3)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−4)2+3，
把(0,1.5)代入得，1.5=a(0−4)2+3，
解得：a=−332，
∴铅球所经过路线的函数表达式为y=−332(x−4)2+3；
令y=0得，0=−332(x−4)2+3，
解得：x1=4−4 2(舍)，x2=4+4 2，
∴铅球的落地点离运动员有(4+4 2)米远．
【解析】设抛物线的解析式为y=a(x−4)2+3，用待定系数法求解即可；令y=0得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法与二次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】解：过C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE是矩形，
∴CE=AD=30m，AE=CD，
在Rt△ACD中，∵∠DAC=30∘，
∴CD= 33AD= 33×30=10 3(m)，
∴AE=CD=10 3m，
在Rt△BCE中，∵∠CBE=45∘，
∴BE=CE=AD=30m，
∴AB=BE+AE=(30+10 3)m，
答：甲楼高为(30+10 3)m，乙楼高为10 3m.
【解析】过C作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE=AD=30m，AE=CD，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵△ABC为等腰三角形，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵点D是BC的中点，
∴∠CAB=2∠CAD，
∵∠CEF=2∠CAD，
∴∠CEF=∠CAB，
在△ABC和△EFC中，
∠ABC=∠ECF∠CAB=∠CEF，
∴△ABC∽△EFC；
(2)过点F作FH//BC，交AD于点H，
∵△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵BE=2DE，
∴DEBD=DECD=13，即DE=13CD，
∵HF//BC，
∴△AHF∽△ADC，
∴HFCD=AFAC，
∵AFCF=32，
∴AFAC=35，
∴HFCD=AFAC=35，
∵HF//BC，
∴△HFG∽△DEG，
∴FGGE=HFDE，
由上述知，DE=13CD，HFCD=35，
∴FGGE=HFDE=HF13CD=3×35=95.
【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，∠CAB=2∠CAD，根据题意不难证明△ABC∽△EFC；
(2)过点F作FH//BC，交AD于点H，)根据等腰三角形的性质可得BD=CD，则DE=13CD，易证明△AHF∽△ADC，则HFCD=AFAC=35，易证明△HFG∽△DEG，则FGGE=HFDE，将DE=13CD，HFCD=35代入即可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，根据相似三角形的对应边成比例答题时解题关键．
22.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,1)和B(2,4)，
∴{a−b+c=1①4a+2b+c=4②，
②-①得，3a+3b=3，即a+b=1，
∴b=1−a；
(2)由题意可知−b2a≤−1，
∵b=1−a，
∴−1−a2a≤−1，
∴a>0，
∴1−a≥2a，
∴a≤13，
∴a的取值范围是0(3)∵函数图象与x轴无交点，
∴b2−4ac<0，即(1−a)2−4a(2−2a)<0，
∴(1−a)(1−9a)<0，
解得19∵b=1−a，
∴a2+b2
=a2+(1−a)2
=a2+a2−2a+1
=2a2−2a+1
=2(a−12)2+12，
∴当a=12时，a2+b2的最小值为12，
当a=1时，a2+b2的最大值为1，
∴12≤a2+b2<1.
【解析】(1)把点A(−1,1)和B(2,4)代入解析式得到{a−b+c=1①4a+2b+c=4②，两式相减即可得到结论；
(2)由题意可知−b2a≤−1，代入b=1−a，解得a≤13，即可得到a的取值范围是0(3)由b=1−a得到a2+b2=2(a−12)2+12，即可根据二次函数的性质得到a2+b2的最值．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠AOD=∠BOC=60∘，PC⊥AB，
∴BC=BP=60∘，
∴∠BAP=30∘，
∴∠AMO=180∘−∠MAO−∠AOM=180∘−30∘−60∘=90∘，
∴PA⊥CD；
(2)解：①AM=CN.
证明：连接AD，
∵OA=OD，∠AOD=60∘，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠D=60∘，OA=AD=OD，
∵OC=OD，∠BOC=∠AOD=60∘，
∴AD=OC，∠D=∠BOC=60∘，
又∵∠DAP=∠DCP，
∴△ADM≌△CON(ASA)，
∴AM=CN；
②证明：∵⊙O的半径为1，
∴OA=OB=OC=OD=1，
∵∠P=∠D=60∘，∠AOD=60∘，
∴∠P=∠AOD，
又∵∠BAP=∠BAP，
∴△AOM∽△APN，
∴OAPA=AMAN，
∴1PA=AMAN，即PA=ANAM，
∵∠BOC=∠CPM=60∘，∠C=∠C，
∴△CON∽△CPM，
∴CNCM=OCPC，
∴PC=CMCN，
∵△ADM≌△CON，
∴AM=CN，DM=ON，
又∵DM+OM=OD=1，
∴PA+PC=ANAM+CMCN=1+ON+1+OMAM=1+DM+1+OMAM=3AM.
【解析】(1)由圆周角定理得出∠BAP=30∘，由三角形内角和定理可求出∠AMO=90∘，则可得出结论；
(2)①连接AD，证出∠D=60∘，OA=AD=OD，证明△ADM≌△CON(ASA)，由全等三角形的性质得出AM=CN；
②证明△AOM∽△APN，由相似三角形的性质得出OAPA=AMAN，证明△CON∽△CPM，由相似三角形的性质得出CNCM=OCPC，由全等三角形的性质得出AM=CN，DM=ON，代入PA+PC并化简整理可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．抽取件数(件)
50
100
200
500
800
1000
合格频数
47
95
188
480
763
949
合格频率
0.94
0.95
0.94
0.96
0.95
0.95
1
2
3
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)