2022-2023学年浙江省杭州市养正中学教育集团九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年浙江省杭州市养正中学教育集团九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列关于抛物线的说法，正确的是(    )

A. 开口向下 B. 顶点坐标是
C. 有最小值 D. 对称轴是直线

2.    下列说法正确的是(    )

A. 弧长相等的弧是等弧 B. 直径是最长的弦
C. 三点确定一个圆 D. 平分弦的直径垂直于弦

3.    张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从到的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    在中，，，，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，在中，点、分别在边、上，，已知，，则的长
   是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水深是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点不与重合，连结若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，在纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板．针对的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是(    )
   甲：若，则有种不同的剪法；
   乙：若，则有种不同的剪法；
   丙：若，则有种不同的剪法．

A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对

9.    已知二次函数的图象过，，，，若，则下列表达式正确的是(    )

A. 对于任意，恒成立
B. 不存在实数，使得成立
C. 存在实数，使得成立
D. 对于任意，恒成立

10. 如图，矩形中，点在边上，且，作于点，连接，，的延长线交于点，交于点以下结论：
    ；
    为的角平分线；
    若，则：：；
    若平分，，则矩形的面积为．
    则正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 计算： ______ ．
12. 已知，则：的值是______．
13. 二次函数的最小值是______，最大值是______．
14. 如图，点，，在上，，，，则的半径为______．

15. 已知抛物线，若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有三个，则实数的最小值为______．
16. 如图，点，分别在正方形的边，上，为中点，连结，正方形的边恰好在上，记正方形面积为，正方形面积为，则：的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球个，白球个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
    求任意摸出一个球是黑球的概率；
    小明从盒子里取出个白球其他颜色球的数量没有改变，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．
18. 本小题分
    三角形中，顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形．即：如图，在中，，且．
    尺规作图：在上求作一点，使得；不写作法，保留作图痕迹
    连接，请问是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

19. 本小题分
    已知二次函数经过点，，且最大值为．
    求二次函数的解析式；
    在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
    当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．

20. 本小题分
    如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为：，为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．
    求的高度．
    如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移多少时，才能确保山体不滑坡．取

21. 本小题分
    如图，在中，弦、相交于点，连接，已知．
    求证：；
    如果的半径为，，，求的长．

22. 本小题分
    在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
    求点的坐标及抛物线的对称轴；
    当时，的最大值是，求当时，的最小值；
    抛物线上的两点，，若对于，，都有，直接写出的取值的范围．
23. 本小题分
    从三角形不是等腰三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
    如图，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线；
    在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数；
    如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由抛物线解析式可得，
，
开口向上，A错误；
对称轴，D错误；
顶点坐标为，B错误；
开口向上有最小值，当时有最小值为，C正确．
故选：．
根据二次函数顶点式解析式注意分析即可．
本题考查二次函数的性质和最值，通过二次函数顶点式的表达式得到相应的信息是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、能够重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；
C、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理判断即可．
本题考查的是圆的概念和有关性质，熟记等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为到共个自然数，是奇数的有个，
所以正面的数是偶数的概率为．
故选：．
让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
直接利用正切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
已知，根据平行线分线段成比例定理得出，，再代入求出答案即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，
则，
，
在中，，
．
故选：．
连接、，先由垂径定理可得长，再由勾股定理得长，从而求出长．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

是直径，
，
．
根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，
，
，
，
，
．
故选：．
先连接，根据圆周角定理求得的度数，从而利用直角三角形的性质求得的度数；再由翻折的性质可得，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，从而得到，从而利用三角形内角和的性质得即可．
此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作交于或交于，则∽或∽，
此时；

如图所示，过作交于，则∽，
此时；

如图所示，过作交于，则∽，
当点与点重合时，，即，
，
此时，；

当时，有种不同的剪法；当时，有种不同的剪法．
甲和乙对，丙错
故选：．
依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线过，，
对称轴为：，
二次函数的图象过，，，
当时，，则；
当时，，则；
对于任意，恒成立，
故选：．
由对称性质可知，、两点的纵坐标相等，则、两点关于抛物线的对称轴是对称的，由此求得抛物线的对称轴为直线，再，结合二次函数的性质，便可得出结果．
本题考查了二次函数的图象与性质，关键是根据对称点坐标求得抛物线的对称轴．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
≌，
，
故正确，符合题意；
≌，
，，
，
，
≌，
，
为的角平分线，
故正确，符合题意；
连接，

，，
，
，
，，
，，

≌，
，，
，
，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
故正确，符合题意；
平分，
，
，
设，
，
，
，，
，
解得，
矩形的面积为：，
故正确，符合题意；
故选：．
根据证明≌便可判断的正误；
根据证明≌，便可判断的正误；
连接，由，得，进而证明，再证明∽，由相似三角形的性质得：：，便可判断的正误；
设，得，在中由勾股定理列出方程求得，再根据矩形面积公式求得矩形的面积便可判断的正误．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，关键是综合应用这些知识解题．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
根据特殊角的三角函数值计算．
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
，，，；
，，，；
，，，．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
代入通过约分计算便可得出结果．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
 

13.【答案】   

【解析】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
将代入得，
时，函数最小值为，最大值为，
故答案为：，．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于点，连接．

，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作交的延长线于点连接证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，，可得结论．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线在轴下方，
且，
即，
解得，
符合条件的整数有三个，
，
解得，
的最小值为，
故答案为．
由题意得：且，进而求解．
本题考查的是抛物线和轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握不等式的解法是本题解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
∽，
，
设正方形的边长为，
则，
为中点，
，
，
设正方形的边长为，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
：，
故答案为：．
由相似三角形的性质和锐角三角函数可求，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
 

17.【答案】解：红球个，白球个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
盒子中球的总数为：个，
故盒子中黑球的个数为：个；
任意摸出一个球是黑球的概率为：；
任意摸出一个球是红球的概率为，
盒子中球的总量为：，
可以将盒子中的白球拿出个，
． 

【解析】直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数；
直接利用概率公式的意义分析得出答案；
利用概率公式计算得出符合题意的方法．
本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
 

18.【答案】解：如图所示，点即为所求；
是黄金三角形，理由如下：
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
是黄金三角形． 

【解析】作边的垂直平分线交于，交于，连接即可；
由等腰三角形的性质求出，，则，再证，得，即可得出结论．
本题考查了黄金三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设抛物线解析式为，
由最大值为，得到，即，
则抛物线解析式为．
列表：

描点、连线，
函数图象如图所示；
；
时，，时，，
由图象可知，当时，的取值范围是． 

【解析】根据题意设抛物线解析式为，再由最大值为求出的值，即可确定出抛物线解析式．
根据解析式列表，描点连线即可；
根据图象求得即可．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：作，交于，过点作于，
则为矩形，
，，
设，
斜坡的坡比为：，
，
由勾股定理得：，
解得：负值舍去，
，，
；

在中，，
则，
解得：，
，
，
答：坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡． 

【解析】作，交于，过点作于，设，，利用勾股定理求出可得结论；
解直角三角形求出，，再求出，可得结论．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
在与中，，
≌，
；

过作与，于，连接，，
根据垂径定理得：，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是正方形，
，
设，
则，
，
即：，
解得：，舍去，
，
． 

【解析】根据圆心角、弧、弦的关系得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到结论；
过作与，于，连接，，根据垂径定理得到，，由于，于是得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，证得四边形是正方形，于是得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，熟练则全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：令得，
，
，
二次函数图象的对称轴是直线；
由可知抛物线开口向下，
对称轴是直线，当时，的最大值是，
最大值在顶点处取得，
，解得，
二次函数表达式为，
抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，
当时，有最小值，；
二次函数图象的对称轴是直线，，
，不关于对称轴对称，
恒成立，即成立或成立，
或，
解得或．
的取值的范围或． 

【解析】令可得的坐标，用配方法把解析式化为顶点式即可得抛物线对称轴；
时，的最大值是，可知抛物线开口向下，且对称轴，故最大值是顶点纵坐标，可求出及抛物线解析式，又抛物线开口向小时，离对称轴越远，函数值越小，可知时函数取最小值，即可得到答案；
根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案．
本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数性质列不等式．
 

23.【答案】证明：，，
，
，
不是等腰三角形．
平分，
，
，
为等腰三角形．
，
，
∽，
是的完美分割线．
解：如图所示，

当时，，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，则．
如图所示，

当时，，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，
．
如图所示，

当时，．
∽，
，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，
这与矛盾，
所以图的情况不符合题意．
综上所述，的度数为或；
解：是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
是的完美分割线，
∽，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
． 

【解析】根据完美分割线的定义，先证明不是等腰三角形，再证明为等腰三角形，最后证明∽；
根据为等腰三角形，需要分三种情况讨论：如图所示，当时，如图所示，当，如图所示，当，然后结合美分割线的定义可得∽，可以分别求出的度数；
根据题意求出，再根据∽，求出，再根据∽，求出．
本题是相似形综合题，考查了新定义、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用方程思想解决问题是解本题的关键．