专题01 数据的分析 教材同步讲练-【高频考点】最新八年级数学下册高频考点专题突破（人教版）

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专题01 数据的分析 教材同步讲练
知识点1-1 平均数
1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=。简称平均数。
算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平。
注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数。
2）结论：若=；=。
则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为x±y；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为x+y）。
③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为ax+b。
∵ax1，ax2，…，axn的平均数为ax； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为x+b。
3）加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1。
注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆.
例1．（2021·绵阳市初三月考）某中学宪法知识竞赛计分办法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余成绩平均得分就是选手得分．7 位评委给杨明同学的打分分别是：82，84，85，90，86，85，90．杨明得分是________分．
【答案】86
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，按照竞赛计分办法计算即可．
【解析】∵观察后发现最高分为90，最低分为82，∴杨明最后得分=（84+85+86+85+90）÷5=86．
故答案为：86．
【点睛】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是关键．
变式1．（2021·浙江温州市·九年级一模）某班40位同学参加“慈善一日捐”活动，具体捐款情况如下表：
捐款/元
5
10
15
20
25
30
人数
4
5
10
7
8
6
则捐款的平均数为_______元．
【答案】18.5．
【分析】利用平均数的定义列式计算即可．
【详解】解：捐款的平均数=×（5×4+10×5+15×10+20×7+25×8+30×6）＝18.5（元），故答案为：18.5．
【点睛】本题考查平均数，掌握平均数是解题关键．
变式2．（2021·成都市·九年级期中）某校在开展“节约每一滴水”的活动中，从八年级的100名同学中任选20名同学汇总了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如表：
节水量




人数/名
6
2
8
4
请你估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用组中值求样本平均数，即可解决问题．
【详解】解：利用组中值求平均数可得：
选出的20名同学家平均一个月节约用水量为：，
由样本平均数估计总体平均数，这100名同学的家庭平均一个月节约用水量为，
故总量约是．故答案选：C．
【点睛】本题考查样本平均数、组中值，利用样本平均数估计总体等知识，解题的关键是灵活运用所学统计知识解决实际问题．
例2．（2021·东营市胜利第三十九中学九年级其他模拟）已知：2，4，2x，4y四个数的平均数是5；5，7，4x，6y四个数的平均数是9，则x2+y3＝______．
【答案】17
【分析】分别计算出两组数据的平均数，这样即可表示出x与y的关系，再解方程组即可求得x与y的值，即可求得x2+y3的值．
【详解】解：由题意知，（2+4+2x+4y）÷4＝5，（5+7+4x+6y）÷4＝9；
∴2x+4y＝14和4x+6y＝24；解这两个方程组成的方程组得，x＝3，y＝2；
∴x2+y3＝9+8＝17．故答案为：17．
【点睛】本题考查了平均数的概念和二元一次方程组的解法，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
变式3．（2021·福建安溪·八年级期末）已知一组数据x1，x2，x3的平均数为7，则3x1+2，3x2+2，3x3+2的平均数为（ ）
A．7 B．9 C．21 D．23
【答案】D
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x1，x2，x3的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数．
【详解】解：∵一组数据x1，x2，x3的平均数为7，∴x1+x2+x3=7×3=21，
∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2的平均数为：（3x1+2+3x2+2+3x3+2）=[3（x1+x2+x3）+6]=23，故选：D．
【点睛】此题考查平均数的意义，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键．
例3．（2021·河南九年级一模）某学校对学生的期末操行评语成绩按班委评分、任课教师评分、家长评分三方面确定成绩（评分满分均为100分），若三方面依次按2：5：3确定成绩，且某同学所评的得分依次为90分、92分、91分，则该同学评分的最后得分是（ ）
A．91分 B．91.3分 C．91.2分 D．91.1分
【答案】B
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】该同学评分的最后得分是（分）．故选：B．
【点睛】考查求加权平均数，解题关键是掌握加权平均数的定义、熟记计算公式．
变式4．（2021·湖南湘潭·中考真题）某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动小明同学在某学期德智体美劳的评价得分如图所示，则小明同学五项评价的平均得分为（　　）

A．7分 B．8分 C．9分 D．10分
【答案】C
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．再根据算术平均数的定义求解即可．
【详解】解：小明同学五项评价的平均得分为（分）， 故选：C．
【点睛】本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
变式5．（2021·广西横县·八年级期末）学校广播站要招聘名记者，小明、小亮和小丽报名参加了项素质测试，成绩如下表．现在要计算人的加权平均分，如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权的比由变成，则成绩变化情况是（ ）

采访写作
计算机
创意设计
小明
分
分
分
小亮
分
分
分
小丽
分
分
分
A．小明增加最多 B．小亮增加最多 C．小丽增加最多 D．三人的成绩增加相同
【答案】B
【分析】分别算出三人的变化前后加权分数，然后比较谁变化大即可得到答案.
【详解】解：由题意得小明的变化前的加权分分，
小亮的变化前的加权分分，
小丽的变化前的加权分分，
小明的变化后的加权分分，
小亮的变化后的加权分分，
小丽的变化后的加权分分，
∴小明的变化分，∴小亮的变化分，
∴小丽的变化分，∴变化最大的是小亮，故选B.
【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键在于能够准确根据题意进行求解.
例4．（2021·贵州安顺·中考真题）今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（ ）
A．小红的分数比小星的分数低 B．小红的分数比小星的分数高
C．小红的分数与小星的分数相同 D．小红的分数可能比小星的分数高
【答案】D
【分析】根据平均数的意义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：∵平均数不能代表每组数据中的具体哪个数，
∴小红的分数和小星的分数并不能确定哪个分数高或低，
∴小红的分数可能比小星的分数高，故选D．
【点睛】本题主要考查平均数的意义，掌握” 平均数不能代表每组数据中的具体哪个数，只能反映数据集中趋势“，是解题的关键．
例5．（2021·绵阳市初二课时练习）个体户王某经营一家饭馆，下面是饭馆所有工作人员在某个月份的工资；王某3000元，厨师甲450元，厨师乙400元，杂工320元，招待甲350元，招待乙320元，会计410元．
计算工作人员的平均工资；计算出的平均工作能否反映帮工人员这个月收入的一般水平？
去掉王某的工资后，再计算平均工资；后一个平均工资能代表一般帮工人员的收入吗？
根据以上计算，从统计的观点看，你对的结果有什么看法？
【答案】工作人员的平均工资是750元；不能反映工作人员这个月的月收入的一般水平；
去掉王某的工资后，他们的平均工资是375元；能代表一般工作人员的收入；
个别特殊值对平均数具有很大的影响．
分析：（1）根据算术平均数的计算公式进行计算即可；（2）根据（1）得出的数据和实际情况进行分析即可；
（3）去掉王某的工资，再根据算术平均数的计算公式进行计算即可得出答案；（4）根据（3）得出的数据再结合实际情况进行分析即可；（5）通过对（2）和（4）得出的数据，再结合实际进行分析即可．
【解析】根据题意得：元，
答：工作人员的平均工资是750元；
因为工作人员的工资都低于平均水平，所以不能反映工作人员这个月的月收入的一般水平．
根据题意得：元，
答：去掉王某的工资后，他们的平均工资是375元；
由于该平均数接近于工作人员的月工资收入，故能代表一般工作人员的收入；
从本题的计算中可以看出，个别特殊值对平均数具有很大的影响．
点睛：此题考查平均数，熟记平均数的计算公式是解决本题的关键，根据求出的数据再结合实际进行分析.
变式6．（2021·全国初二课时练习）某班为了从甲、乙两位同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评结果如表所示：
表1演讲答辩得分表单位：分

A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
表2民主测评票数统计表单位：张

“好”票数
“较好”票数
“一般”票数
甲
40
7
3
乙
42
4
4
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；综合得分演讲答辩得分民主测评得分；当时，甲的综合得分是多少？如果以综合得分来确定班长，试问：甲、乙两位同学哪一位当选为班长？并说明理由．
【答案】当时，甲的综合得分是89分；乙应当选为班长，理由见解析．
分析：（1）由题意可知：分别计算出甲的演讲答辩得分以及甲的民主测评得分，再将a=0.6代入公式计算可以求得甲的综合得分；（2）同（1）一样先计算出乙的演讲答辩得分以及乙的民主测评得分，则乙的综合得分=89（1-a）+88a，甲的综合得分=92（1-a）+87a，再分别比较甲乙的综合得分，甲的综合得分高时即当甲的综合得分＞乙的综合得分时，可以求得a的取值范围；同理甲的综合得分高时即当甲的综合得分＜乙的综合得分时，可以求得a的取值范围．
【解析】甲的演讲答辩得分分，甲的民主测评得分分，
当时，甲的综合得分分；
答：当时，甲的综合得分是89分；
乙的演讲答辩得分分，乙的民主测评得分分，
乙的综合得分为：，甲的综合得分为：，
当时，即有，
又，时，甲的综合得分高，甲应当选为班长；
当时，即有，
又，时，乙的综合得分高，乙应当选为班长．
点睛：本题考查的是平均数的求法．同时还考查了解不等式，本题求a的范围时要注意“0.5≤a≤0.8”这个条件．

知识点2 中位数和众数
1）中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数。
注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平。
2）众数：一组数据中出现次数最多的数据.
注：①众数不一定唯一；②众数反应了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量。
例1．（2021·辽宁沈阳·中考真题）信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/），数据整理如下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是17 B．众数是15 C．中位数是17 D．中位数是18
【答案】A
【分析】根据中位数、众数的概念求解可得．
【详解】解：以上数据重新排列为：15，15，17，17，17，18，19，21，21，23，
众数为17、中位数为，故选：．
【点睛】本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键．
变式1．（2021·山东泰安市·九年级一模）某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
年龄
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（　　）
A．15，15 B．15，13 C．15，14 D．14，15
【答案】A
【分析】根据众数和中位数的定义计算判断即可．
【详解】∵数据15出现的次数最多，为4次，∴该组数据的众数是15；
∵该组共有1+3+4+2=10个数据，∴该组数据的中位数是第五个，第六个数据的平均数，
∵1+3＜5＜1+3+4，1+3＜6＜1+3+4，∴第五个，第六个数据都在15这一组中，
∴该组数据的中位数是第五个，第六个数据的平均数为=15，故选A．
【点睛】本题考查了数据的众数，中位数，熟练掌握众数的定义，中位数的定义，并能灵活确定数据，准确计算中位数是解题的关键．
变式2．（2021·陕西临潼·八年级期末）为了解居民用水情况，在某小区随机抽查记录了20户家庭的月用水量，汇总结果如表：
月用水量（吨）
4
5
6
8
9
户数
1
2
13
3
1
则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（　　）
A．月用水量的众数是9吨 B．月用水量的众数是13吨
C．月用水量的中位数是6吨 D．月用水量的平均数是6吨
【答案】C
【分析】根据表格中的数据，可以得到这组数据的中位数，众数和平均数，从而可以解答本题．
【详解】解：由表格中的数据可得，月用水量的众数是6吨，故选项A、B错误；
月用水量的中位数是（6+6）÷2=6（吨），故选项C正确；
月用水量的平均数是：=6.25（吨），故选项D错误；故选：C．
【点睛】本题考查众数、中位数和加权平均数，解答本题的关键是计算出这组数据的平均数和中位数．
例2．（2021·广西百色市·九年级一模）一组数据1，3，a，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】通过众数的定义，求出a的值，再把数据从小到大排序，进而即可得到答案．
【详解】解：∵一组数据1，3，a，5，7的众数为7，∴a=7，
∴从小到大排列得：1，3， 5，7，7，∴这组数据的中位数为5．故选C．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义，是解题的关键．
变式3．（2021·浙江越城·八年级期末）下表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则的值等于____．
成绩（分）
20
30
40
50
60
70
90
100
次数（人）
2
3
5

6

3
4
【答案】15
【分析】由于全班共有38人，则x+y=38-（2+3+5+6+3+4）=15，结合众数为50分，中位数为60分，分情况讨论即可确定x、y之值，从而求出x2-y2之值．
【详解】解：∵全班共有38人，∴x+y=38-（2+3+5+6+3+4）=15，又∵众数为50分，∴x≥8，
当x=8时，y=7，中位数是第19，20两个数的平均数，都为60分，则中位数为60分，符合题意；
当x=9时，y=6，中位数是第19，20两个数的平均数，则中位数为（50+60）÷2=55分，不符合题意；
同理当x=10，11，12，13，14，15时，中位数都不等于60分，不符合题意．
则x=8，y=7．则x2-y2=64-49=15．故答案为：15．
【点睛】本题结合代数式求值考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．本题的关键是确定x、y之值．
变式4．（2021·江西南昌·八年级期末）一组数据：的平均数为，众数为，中位数为，则以下判断正确的是（ ）
A．一定出现在中 B．一定出现在中
C．一定出现在中 D．，，都不会出现在中
【答案】B
【分析】根据平均数、中位数、众数的定义，对于错误的说法举出反例说明，从而利于排除法求解．
【详解】解：A、如数据0，1，1，4这四个数的平均数是1.5，不是这组数中的某个数，错误，不符合题意；
B、众数是一组数据中出现次数最多的数，它一定是数据中的数，正确，符合题意；
C、如数据1，2，3，4的中位数是2.5，不是这组数中的某个数，错误，不符合题意；
D、众数是一组数据中出现次数最多的数，它一定是数据中的数，错误，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、众数的定义．平均数等于数据之和除以总个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
例3．（2021·山西孝义·八年级期末）2021年4月23日是第26个世界读书日．为迎接第26个世界读书日的到来，某校举办读书分享大赛活动，最终有13名同学进入决赛（他们决赛的成绩各不相同），比赛将评出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名．某参赛同学知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他需要知道这13名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【答案】A
【分析】根据进入决赛的13名同学所得分数互不相同，所以这13名所得分数的中位数低于获奖的学生中的最低分，所以某参赛选手知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数，据此解答即可．
【详解】解：∵进入决赛的13名学生所得分数互不相同，共有1＋2＋3＝6个奖项，
∴这13名同学所得分数的中位数低于获奖的学生中的最低分，
∴某参赛选手知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数．如果这名参赛选手的分数大于中位数，则他能获奖；如果这名参赛选手的分数小于或等于中位数，则他不能获奖．故选A．
【点睛】本题主要考查了统计量的选择，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，属于基础题，难度不大．
变式5．（2021·山东青岛·八年级单元测试）5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员，他了解到该公司全体员工的月收入如下：
月收入/元
45000
19000
10000
5000
4500
3000
2000
人数
1
2
3
6
1
11
1
对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】B
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然小明想了解到该公司全体员工的月收入，那么应该是看多数员工的工资情况，故值得关注的是众数．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故小明应最关心这组数据中的众数．故选：B．
【点睛5】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．

变式6．（2021·江西于都·八年级期末）期中考试后，甲说：“我组成绩是86分的同学最多”，乙说：“我组9人成绩排在最中间的恰好也是86分”，两位同学的话反映的统计量分别为（ ）
A．众数和中位数 B．平均数和中位数 C．众数和方差 D．众数和平均数
【答案】A
【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．
【详解】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，故选：A．
【点睛】本题考查了众数及中位数的定义，属于统计基础知识，难度较小．
例4．（2021·湖北黄冈市·九年级二模）小明根据朗诵比赛中9位评委给出的分数，制作了此表，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
平均数
中位数
众数
方差
82
83
84
0.35
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【分析】利用方差、中位数、平均数和众数的定义进行判断．
【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分，表中数据一定不发生变化的是中位数．故选：B．
【点睛】本题考查方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、中位数和众数．
变式7．（2021·宁波市八年级期末）校乒乓球队员的年龄分布如下表所示：
年龄（岁）



人数



对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．众数，中位数 B．众数，方差 C．平均数，中位数 D．平均数，方差
【答案】A
【分析】先求出总人数，再确定不变的量即可．
【详解】人，一共有个人，
关于年龄的统计量中，有个人岁，∴众数是15，中位数是15，
对于不同的，统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选A．
【点睛】本题主要考查的是学生对中位数和众数的定义等知识的掌握情况及灵活运用能力，解题的关键在于能够熟知中位数和众数的定义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
变式8．（2021·江苏·泰兴市西城初级中学九年级期中）某班在体育活动中，测试了十位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到十个各不相同的数据.在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，则计算结果不受影响的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】B
【分析】根据中位数的特点，与最高成绩无关，则计算结果不受影响，据此即可求得答案
【详解】根据题意以及中位数的特点，因为中位数是通过排序得到的，所以它不受最大、最小两个极端数值的影响，故选B
【点睛】本题考查了中位数，平均数，方差，众数，理解中位数的意义是解题的关键，中位数是另外一种反映数据的中心位置的指标，其确定方法是将所有数据以由小到大的顺序排列，位于中央的数据值就是中位数， 因为中位数是通过排序得到的，所以它不受最大、最小两个极端数值的影响，而且部分数据的变动对中位数也没有影响．
例5．（2021·河北正定·九年级期中）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分．

（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的平均数、中位数、众数；（2）全校共有名学生，求读书超过册的学生的人数；（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了______人．
【答案】（1）被遮住的数是，平均数5.375册，中位数5册，众数5册；（2）名；（3）．
【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据平均数、中位数、众数求解即可；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出选中读书超过5册的学生的人数约为多少人；
（3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．
【详解】解：（1）抽查的学生总数为6÷25%=24（人），读书为5册的学生数为24-5-6-4=9（人），
所以条形图中被遮盖的数为9，被抽查的学生读书册数的平均数为(册)，
∴被抽查的学生读书册数的平均数为5.375册；
被抽查的学生读书册数的中位数是第12、13个数据的平均数，而第12、13个数据均为5册，
∴被抽查的学生读书册数的中位数为5册；根据条形统计图，读5册的人数最多，
∴被抽查的学生读书册数的众数为5册；
（2）1200×=500（人），∴读书超过册的学生的人数为500人；
（3）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式9．（2021·浙江·金华市金东区傅村镇初级中学九年级期中）双减背景下，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如图所示的统计图表．
类别
时间（小时）
人数
A

5
B

20
C


D

30
E

10

请根据图表信息解答下列问题：（1）求的值．（2）补全条形统计图．（3）小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的类别是哪类？（4）据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数．
【答案】（1）；（2）补全图形见解析；（3）C组，锻炼时间为：小时；（4）万人
【分析】（1）由总人数减去各小组已知的频数可得答案；（2）根据频数补全图形即可；
（3）根据第50个，第51个数据落在C组，中位数是这两个数据的平均数，可得小王每天进行体育锻炼的类别是C组以及每天的锻炼时间；（4）由总人数乘以样本中每天进行体育锻炼时间在1小时以上人数的占比，从而可得答案.
【详解】解：（1）由题意可得：
（2）由 补全图形如下：

（3） 频数分布表中的数据是按照从小到大的顺序排列的，
而第50个，第51个数据落在C组，中位数是这两个数据的平均数，
所以小王每天进行体育锻炼的类别是C组，锻炼时间为小时.
（4） 样本中每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数有：人，占比
该市大约有30万名初中学生，估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数为万人．
【点睛】本题考查的是频数分布表，频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，掌握“从频数分布表与频数直方图中获取信息”是解题的关键.
变式10．（2021·江苏溧水·九年级期中）某公司对消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回，根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后，制成如下表格（被调查的消费者年收入情况）：
年收入/万元
3
8
10
20
50
被调查的消费者数/人
100
500
300
50
50
（1）根据表中数据，被调查的消费者平均年收入为多少万元?
（2）被调查的消费者年收入的中位数和众数分别是 和 万元．
（3）在平均数、中位数这两个数据中，谁更能反映被调查的消费者的收入水平?请说明理由．
【答案】（1）10.8；（2）8， 8；（3）中位数更能反映被调查的消费者的收入水平．理由见解析．
【分析】（1）根据加权平均数概念：若n个数，，……，的权分别是，，……，，那么叫做这n个数的加权平均数，进行求解即可；
（2）根据中位数和众数的概念：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，进行求解即可．（3）根据平均数与众位的区别进行分析可得出结论．
【详解】解：（1）（万元），
答：被调查的消费者平均年收入为10.8万元；
（2）将这组数据按照由小到大排列，由于有偶数个数，所以取中间两个数的平均数，第500、501位都是8，所以被调查的消费者年收入的中位数8万元；
年收入是8万元的消费者人数是500人，人数最多，所以被调查的消费者年收入的众数是8万元；
（3）中位数更能反映被调查的消费者的收入水平，理由如下：
虽然平均数，中位数均能反映一组数据的集中程度，但平均数易受极端数值影响，所以中位数更能反映被调查的消费者的收入水平．
【点睛】本题考查了利用图表获取信息的能力，解题的关键是理解平均数、中位数以及众数的意义以及区别与联系．

知识点3 极差和方差的概念
1）极差：一组数据中最大值与最小值的差
极差反映了一组数据中极端值的变化。当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大。
2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2.
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定。
3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即

4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性。
例1．（2021·浙江宁波市·九年级一模）甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如下表所示，如果要从这四位同学中，选出一位成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是（　　）

甲
乙
丙
丁
平均分
90
85
90
85
方差
42
50
50
42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案．
【详解】解：∵，∴四位同学中甲、丙的平均成绩较好，
又∵S甲2＜S丙2，∴甲的成绩好又稳定，故选：A．
【点睛】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
变式1．（2021·云南普洱·八年级期末）甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别，，，，这四个旅游团中年龄相近的旅游团是（ ）
A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．丁团
【答案】B
【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】∵S=6，S=1.8，S=5，S=8，∴1.8<5<6<8∴S最小，
∴这四个旅游团中年龄相近的旅游团是：乙团．故选：B．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
变式2．（2021·河北·正定县第六中学九年级月考）2022年冬季奥运会将在北京张家口举行，如表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差s2．

甲
乙
丙
丁
平均数（单位：秒）
52
m
52
50
方差s2（单位：秒2）
4.5
n
12.5
17.5
根据表中数据，可以判断乙选手是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m、n的值可以是（　　）
A．m＝50，n＝4 B．m＝50，n＝18 C．m＝54，n＝4 D．m＝54，n＝18
【答案】C
【分析】根据乙选手是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，可得到乙选手的成绩的平均数最大，方差最小，即可求解．
【详解】解：因为乙选手是这四名选手中成绩最好的，所以乙选手的成绩的平均数最大，
又因为乙选手发挥最稳定，所以乙选手成绩的方差最小．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平均数和方差的意义，理解方差是反映一组数据的波动大小的一个量：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
例2．（2021·浙江八年级期中）有组数据如下，3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据算术平均数的计算公式求出a的值，根据方差的计算公式计算即可．
【详解】解：∵数据3，a，4，6，7的平均数是5，∴（3+a+4+6+7）÷5=5，解得，a=5．
S2= [（3-5）2+（5-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（7-5）2]=2，故选：A．
【点睛】本题考查的是算术平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差是解题的关键．
变式3．（2021·北京九年级专题练习）某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：）如图所示：

设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为，，下列关系中完全正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】观察图中数据，根据平均数和方差公式计算即可．
【详解】解：甲：，
，
乙：，
，
则，，故选：．
【点睛】本题主要考查了平均数和方差等知识点，属于基础题型．
例3．（2021·山东沂南·八年级期末）在某次读书知识比赛中育才中学参赛选手比赛成绩的方差计算公式为： S2＝ [（x188）2+（x288）2+…+（x888）2]，以下说法不一定正确的是（　　）
A．育才中学参赛选手的平均成绩为88分 B．育才中学一共派出了八名选手参加
C．育才中学参赛选手的中位数为88分 D．育才中学参赛选手比赛成绩团体总分为704分
【答案】C
【分析】根据方差的计算公式中各数据的具体意义逐一分析求解即可．
【详解】解：∵参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：S2＝ [（x1−88）2＋（x2−88）2＋…＋（x8−88）2]，
∴育才中学参赛选手的平均成绩为88分，一共派出了八名选手参加，育才中学参赛选手比赛成绩团体总分为88×8＝704（分），由于不能知道具体的数据，所以参赛选手的中位数不能确定，故选：C．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．
变式4．（2021·北京通州·八年级期末）在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方的计算公式：，并由公式得出以下信息：①样本的容量是，②样本的中位数是，③样本的众数是，④样本的平均数是，⑤样本的方差是，那么上述信息中正确的是____（只填序号）．
【答案】①②③⑤
【分析】由方差的公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据样本容量、中位数、众数、平均数及方差的定义求解即可．
【详解】解：∵，∴这组数据为2、3、3、4，
则样本容量为4，中位数是，众数为3，平均数为，
方差为：；
∴上述信息正确的是①②③⑤，故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握样本容量、中位数、众数、平均数及方差的定义．
例4．（2021·江苏无锡市·九年级一模）新冠疑似病例需在定点医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需要了解这位病人7天体温的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
【答案】C
【分析】方差体现了一组数据的稳定性，方差越小，数据波动程度越小，数据越稳定，要想了解病人体温是否稳定，通常需要了解体温的方差．
【详解】解：由于方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需要了解这位病人7天体温的方差．故选：C．
【点睛】本题考查运用方差做决定，掌握方差的意义是解题关键．
变式5．（2021·浙江杭州市·九年级一模）已知五个数满足，则下列四组数据中方差最大的一组是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方差的性质判断即可．
【详解】解：五个数满足，
由方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大、数据越不稳定可知，方差最大，故选：D．
【点睛】本题考查方差的性质．掌握方差越大、数据越不稳定是解答本题的关键．
例5．（2021·山东青岛·八年级单元测试）一组数据分别为a，b，c，d，e，将这组数据中的每个数都加上同一个大于0的常数，得到一组新的数据，则这组新数据的下列统计量与原数据相比，一定不发生变化的是（ ）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
【答案】B
【分析】根据方差的意义及平均数、众数、中位数的定义求解可得．
【详解】解：一组数据a，b，c，d，e的每一个数都加上同一数m（m＞0），则新数据a＋m，b＋m，…e＋m的平均数在原来的基础上也增加m，数值发生了变化则众数和中位数也发生改变，方差描述的是它的离散程度，数据整体都加m，但是它的离散程度不变，即方差不变；
故选：B．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握方差的意义与平均数、众数和中位数的定义．
变式5．（2021·江苏高淳·九年级期中）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为188cm的队员换下场上身高为194cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【答案】A
【分析】由题意分别计算出原数据和新数据的平均数和方差进行比较即可得出答案．
【详解】解：原数据的平均数为，
则原数据的方差为×[（180-188）2+（184-188）2+（188-188）2+（190-188）2+（192-188）2+（194-188）2]= ，新数据的平均数为，
则新数据的方差为×[（180-187）2+（184-187）2+（188-187）2+（190-187）2+（188-187）2+（192-187）2]= ，所以平均数变小，方差变小，故选：A．
【点睛】本题主要考查方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x,则方差，反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
例6．（2021·江西南昌·八年级期末）已知：①1，2，3，4，5的平均数是3，方差是2；
②2，3，4，5，6的平均数是4，方差是2；③1，3，5，7，9的平均数是5，方差是8；
④2，4，6，8，10的平均数是6，方差是8；请按要求填空：
（1），，，，的平均数是 ，方差是 ；
（2），，，，的平均数是 ，方差是 ；
（3），，，，的平均数是 ，方差是 ．
【答案】（1），2 ；（2），8；（3），
【分析】（1）数据n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4是在数据1，2，3，4，5的基础上每个数据均加上（n−1）所得，只需将数据的平均数加上（n−1）即可，而数据波动幅度不变；（2）数据n，n＋2，n＋4，n＋6，n＋8是在数据2，4，6，8，10的基础上每个数据均加上（n−2）所得，只需将原数据的平均数加上（n−2）即可，而数据波动幅度不变；；（3）由数据n，2n，3n，4n，5n是将1，2，3，4，5分别乘以n所得，将原数据的平均数乘以n，方差乘以n2即可得出答案．
【详解】解：（1）∵数据n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4是在数据1，2，3，4，5的基础上每个数据均加上（n−1）所得，∴数据n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4的平均数3＋n−1＝n＋2，方差依然是2，故答案为：n＋2，2；
（2）∵数据n，n＋2，n＋4，n＋6，n＋8是在数据2，4，6，8，10的基础上每个数据均加上（n−2）所得，
∴n，n＋2，n＋4，n＋6，n＋8的平均数是6＋n−2＝n＋4，方差依然是8，故答案为：n＋4，8；
（3）数据n，2n，3n，4n，5n是将1，2，3，4，5分别乘以n所得，
∴数据n，2n，3n，4n，5n的平均数为3n，方差为2n2，故答案为：3n，2n2．
【点睛】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数和方差的性质．
变式6．（2021·山东广饶·八年级期中）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是5，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差的和为_______．
【答案】50
【分析】根据平均数及方差知识，直接计算即可.
【详解】∵数据，，，，的平均数是2，，即，
，，，，的平均数为：
，
∵数据，，，，的方差是5，，
即，，，，，，的方差为：，
，
，
平均数和方差的和为，故答案为：50.
【点睛】本题是对平均数及方差知识的考查，熟练掌握平均数及方差计算是解决本题的关键.
变式7．（2021·深圳市南山外国语学校九年级一模）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，数据，，，的标准差是________．
【答案】
【分析】根据已知条件得出这组数据为2、3、3、4，先求出这组数据的平均数，再代入方差公式求出方差，然后根据“若数据都加上（或减去）一个数时，方差不变”，得出数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的方差，然后再开方即可得出标准差．
【详解】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，则这组数据的平均数是(2+3+3+4)＝3，
∵数据2，3，3，4的方差是： [(2﹣3)2+(3﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2]＝，
∴数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的方差是，∴数据2+x0，3+x0，3+x0，4+x0的标准差是．答案：．
【点睛】本题考查了平均数，方差和标准差．若数据都加上（或减去）一个数时，方差不变，即数据的波动情况不变．
例7．（2021·重庆·八年级月考）（1）从下面两幅图中，分别“读”出甲、乙两队员射击成绩的平均数．
（2）通过估计，比较甲、乙两队员射击成绩的方差的大小，说说你是怎么估计的；
（3）分别计算甲、乙两队员射击成绩的方差，看看刚才自己的估计是否正确；
（4）如果丙队员的射击成绩如下，那么三人射击成绩的方差谁的最大，谁的最小？你是怎样判断的？


【答案】（1）甲、乙两人射击的平均数都是8环；（2）甲的方差大，理由见解析；（3）甲的方差是1.4，乙的方差是1.2；（4）丙的方差最大，乙的方差最小，见解析
【分析】（1）根据平均数的概念求解可得；（2）由方差的意义可估计大小；（3）根据方差的定义计算可得；
（4）先求出丙的平均数，再求出方差，最后进行比较即可．
【详解】解：（1）根据图可知：甲的平均数为：，
乙的平均数为：，故甲、乙两人射击的平均数都是8环．
（2）甲的方差大．估计的方法不唯一．例如，可以将甲、乙两人的射击成绩转化为散点图：

通过散点图可以发现，两人的平均成绩都是8环，极差都是4环；但是甲集中在平均成绩线上的点只有2个，而乙集中在平均成绩线上的点较多，有4个，分散在其他线上的点较甲少，因此乙的方差较小．
也可以这样思考：因为方差表示的是数据在平均值附近的波动情况，对于“对称”的条形统计图，它的平均值都位于对称轴处，因此离平均值近的数据越多，离平均值远的数据越少，方差就越小．
（3）甲的方差是，
乙的方差，故乙的方差小；
（4）丙的平均数为：，
丙的方差：，丙的方差最大，乙的方差最小．
【点睛】本题考查了平均数和方差的定义与公式，解题的关键是掌握数形结合的思想进行求解．
变式8．（2021·杭州市公益中学八年级期末）如图为A，B两家网店去年上半年的月销售额折线图．
（1）分别写出两家网店1﹣6月的月销售额的中位数．（2）已知两家网店1﹣6月的月平均销售额都是28万元，你认为哪家网店的月销售额比较稳定？请说明理由．（3）根据此统计图及相关数据，你认为哪家网店经营状况较好？请简述理由．

【答案】（1）A网站的中位数是29万元，B网站的中位数是27万元；（2）A网店较稳定，见解析；（3）A网站经营较好，见解析
【分析】（1）根据中位数的求法计算即可；（2）利用方差判断稳定性，方差越小越稳定，故根据方差公式求出方差即可做出判断；（3）根据平均数、中位数和方差，结合统计图中折线走势，即可得出结论．
【详解】解：（1）A店销售额按从小到大依次排列为17，22，28，30，32，39；中位数为×（28+30）＝29（万元）；
B店销售额从小到大依次排列为16，20，26，28，38，40；中位数为×（26+28）＝27(万元)．
（2）＝×[（17﹣28）2+（22﹣28）2+（28﹣28）2+（30﹣28）2+（32﹣28）2+（39﹣28）2]＝；
＝×[（16﹣28）2+（20﹣28）2+（26﹣28）2+（28﹣28）2+（38﹣28）2+（40﹣28）2]＝76，
∵＜；∴A网店的月销售额比较稳定；
（3）在统计图中，虽然B网站走势较好，并且A网站和B网站月销售额平均数相等，但A网站的中位数大于B网站的中位数，并且A网站的月销售额比较稳定，所以 A网站经营较好．
【点睛】本题考查折线统计图、中位数、方差，掌握中位数的求法，熟记方差的计算公式，从统计图中找到相关联信息，会根据所求数据做出判断是解答的关键．