(新高考)高考物理一轮复习教案第4章实验六《探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系》(含详解)

实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

1．学会使用向心力演示器。

2．通过实验探究向心力大小与物体的质量、速度和轨道半径的关系。

1．探究方法：控制变量法。

2．实验思路

(1)控制两物体的质量和转动半径相同，探究向心力大小与转动角速度的定量关系。

(2)控制两物体的质量和转动角速度相同，探究向心力大小与转动半径的定量关系。

(3)控制两物体的转动半径和角速度相同，探究向心力大小与物体质量的定量关系。

向心力演示器(如图)，三个金属球(半径相同，其中两个为质量相同的钢球，另一个为质量是钢球一半的铝球)。

如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。

1．把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。注意向心力的大小与角速度的关系。

2．保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。注意向心力的大小与转动半径的关系。

3．换成质量不同的球，分别使两球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。注意向心力的大小与小球质量的关系。

4．重复几次以上实验。

1．表格法

(1)m、r一定

(2)m、ω一定

(3)r、ω一定

2．图像法

分别作出Fn­ω2、Fn­r、Fn­m的图像。

1．在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比。

2．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成正比。

3．在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。

1．污渍、生锈等使小球的质量、轨道半径变化，带来的误差。

2．仪器不水平带来的误差。

3．标尺读数不准带来的误差。

4．皮带打滑带来的误差。

1．实验前要做好横臂支架安全检查，检查螺钉是否有松动，保持仪器水平。

2．实验时转速应从慢到快，且转速不宜过快，以免损坏测力弹簧。

3．注意防止皮带打滑，尽可能保证ω比值不变。

4．注意仪器的保养，延长仪器使用寿命，并提高实验可信度。

考点1　　实验原理与实验操作

例1　(2021·四川省泸州市古蔺县中学高三一模)用如图所示的向心力演示器探究向心力大小与哪些因素有关。匀速转动手柄，可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动；使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。

(1)若左右标尺露出长度之比为3∶1，则可以说明左右两边小球所需向心力大小之比为________。

(2)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和轨道半径r之间的关系时，我们主要用到了物理学中的________。

A．理想实验法  B.等效替代法

C．控制变量法  D.演绎法

(3)在探究向心力Fn的大小与角速度ω的关系的过程中，将两个大小和质量相同的小球1、2分别置于长槽和短槽中，下面的操作中能得到小球1、2转动的角速度之比为1∶3的是(皮带不打滑)________。

A．小球1、2做圆周运动的半径之比为1∶3，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为1∶1

B．小球1、2做圆周运动的半径之比为3∶1，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为1∶1

C．小球1、2做圆周运动的半径之比为1∶1，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为1∶3

D．小球1、2做圆周运动的半径之比为1∶1，皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为3∶1

尝试解答　(1)3∶1__(2)C__(3)D。

(1)挡板对小球的弹力之比等于弹簧的弹力之比，根据胡克定律可知，还等于标尺露出长度之比，即小球做圆周运动所需的向心力之比也为3∶1。

(2)在研究向心力Fn的大小与质量m、角速度ω和轨道半径r之间的关系时，我们主要用到了物理学中的控制变量法，故选C。

(3)变速塔轮1、2通过皮带传动，线速度v大小相等，根据v＝ωr可知，若皮带连接的变速塔轮1、2的半径之比为3∶1，则小球1、2转动的角速度之比为1∶3，而由控制变量法可知，应保持小球1、2做圆周运动的半径之比为1∶1，故D正确。

[变式1]　用如图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和轨道半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。

(1)在研究向心力的大小Fn与质量m的关系时，要保持________相同。

A．ω和r  B.ω和m

C.m和r  D.m和Fn

(2)图中所示两个钢球的质量和轨道半径相等，则是在研究向心力的大小Fn与________的关系。

A．质量m  　 B.轨道半径r  　　　

C.角速度ω

(3)若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶9，与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为________。

A．1∶3  B.3∶1

C.1∶9  D.9∶1

答案　(1)A　(2)C　(3)B

解析　(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制某些量不变，研究另外两个物理量的关系，该方法为控制变量法，所以A正确。

(2)图中两球的质量相同，转动的半径相同，则研究的是向心力与角速度的关系，所以C正确。

(3)根据Fn＝mω2r，两球的向心力之比为1∶9，轨道半径和质量相等，则转动的角速度之比为1∶3，因为靠皮带传动，变速塔轮边缘的线速度大小相等，根据v＝rω，知与皮带连接的变速塔轮的半径之比为3∶1，B正确。

考点2　　数据处理与误差分析

例2　

某同学利用如图所示的向心力演示器探究小球做匀速圆周运动向心力Fn的大小与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系。匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随之做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的弹力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。

实验过程如下：

(1)把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽上，使它们的运动半径相同，调整塔轮上的皮带的位置，探究向心力的大小与________的关系，将实验数据记录在表格中。

(2)保持两个小球质量不变，调整塔轮上皮带的位置，使与皮带相连的左、右两轮半径r左________r右(选填“＞”“＝”或“＜”)，保证两轮转速相同，增大长槽上小球的运动半径，探究向心力的大小与运动半径的关系，将实验数据记录在表格中。

(3)使两小球的运动半径和转速相同，改变两个小球的质量，探究向心力的大小与质量的关系，将实验数据记录在表格中。

(4)根据表中数据，小球做匀速圆周运动的向心力的大小Fn与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系是________。

A．Fn∝mnr  B.Fn∝mn2r

C．Fn∝m2n2r  D.Fn∝mnr2

尝试解答　(1)转速__(2)＝__(4)B。

(1)把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽上，使它们的运动半径相同，即m、r一定，调整塔轮上的皮带的位置，根据控制变量法可知，探究的是向心力的大小与转速的关系。

(2)变速塔轮靠皮带传动，边缘的线速度大小相同，为保证两轮转速相同，根据v＝ωr、ω＝2πn可知，应使两轮半径相同。

(4)根据表中数据：

第1次：＝1，＝＝1，＝＝，＝＝，

则结论1：做圆周运动的小球的转速、质量相等时，向心力Fn的大小与运动半径成正比，即Fn∝r；

第2次：＝1，＝＝1，＝＝，＝＝，

结论2：做圆周运动的小球的转速、运动半径相等时，向心力Fn的大小与小球的质量成正比，即Fn∝m；

第3次：＝＝1，＝＝1，＝，＝＝＝2，

结论3：做圆周运动的小球的质量、运动半径相等时，向心力Fn的大小与转速的平方成正比，即Fn∝n2。

综上所述：小球做匀速圆周运动的向心力大小Fn与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系是Fn∝mn2r。故选B。

[变式2]　(2020·湖北省武汉市高三开学考试)用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。匀速转动手柄，可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。

(1)为了探究向心力大小与物体质量的关系，可以采用________(选填“等效替代法”“控制变量法”或“理想模型法”)。

(2)根据标尺上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受的向心力大小之比。

(3)通过实验得到如下表的数据：

为研究向心力大小跟转速的关系，应比较表中的第1组和第________组数据。

(4)你认为本实验中产生误差的原因有_____________________________(写出一条即可)。

答案　(1)控制变量法　(3)3

(4)质量的测量引起的误差；转动半径不准引起的误差；弹簧测力套筒的读数引起的误差(任一条均可)

解析　(1)为了探究向心力大小与物体质量的关系，应保证转速和转动半径不变，改变物体的质量，故可以采用控制变量法。

(3)为研究向心力大小跟转速的关系，必须要保证球的质量和转动半径一定，则应比较表中的第1组和第3组数据。

(4)本实验中产生误差的原因有：质量的测量引起的误差；转动半径不准引起的误差；弹簧测力套筒的读数引起的误差。

考点3　　实验创新设计

1．实验目的创新

由v＝ωr可知，Fn＝m，故也可以探究Fn与v、m、r的关系，实验方法和思路不变。

2．实验器材创新

用力传感器测量向心力，用光电门测量线速度(角速度)。

例3　如图甲所示是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度大小，表格中是所得数据，图乙为Fn­v图像、Fn­v2图像、Fn­v3图像。

(1)数据表格和图乙中的三个图像是在用实验探究向心力Fn和圆柱体线速度大小v的关系时，保持圆柱体质量不变、半径r＝0.1 m的条件下得到的。研究图像后，可得出向心力Fn和圆柱体线速度大小v的关系式为____________。

(2)为了研究Fn与r的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持____________不变。

(3)若已知向心力公式为Fn＝m，根据上面的分析可以推算出，本实验中圆柱体的质量为____________。

尝试解答　(1)F＝0.88v2__(2)线速度大小v

(3)0.088_kg。

(1)研究数据表格和题图乙中B图不难得出Fn∝v2，进一步研究知题图乙B中图线的斜率k＝≈0.88，故Fn与v的关系式为Fn＝0.88v2。

(2)由控制变量法可知，研究Fn与r的关系时，应保持质量m和线速度大小v不变。

(3)因Fn＝m＝0.88v2，r＝0.1 m，则m＝0.088 kg。

[变式3]　在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中，如图甲所示，细绳的悬点刚好与一个竖直的刻度尺的零刻度线平齐。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时刚好位于圆心。用手带动钢球，设法使它刚好对纸面无压力，且沿纸上某个半径为r的圆周运动，钢球的质量为m，重力加速度为g。

(1)用停表记录运动n圈的总时间为t，那么钢球做圆周运动时的向心力表达式为Fn＝____________。

(2)通过刻度尺测量钢球运动的轨道平面距悬点的高度为h，那么钢球做圆周运动时外力提供的向心力表达式为F＝____________。

(3)改变钢球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示的关系图像，可以达到粗略验证向心力表达式的目的，该图线的斜率表达式为k＝____________。

答案　(1)mr　(2)mg　(3)

解析　(1)根据向心力公式：Fn＝m，而v＝＝，得：Fn＝mr。

(2)如图所示，由几何关系可得：F＝mgtanθ＝mg。

(3)由上面分析得：F＝Fn，即mg＝mr，整理得：＝h，故­h图线的斜率表达式为：k＝。

1．(2020·北京市海淀区中关村中学高三三模)在探究小球做圆周运动所需向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验中。

(1)在探究向心力的大小Fn与角速度ω的关系时，要保持________相同。

A．ω和r  B.ω和m

C.m和r  D.m和Fn

(2)本实验采用的实验方法是________。

A．累积法  B.控制变量法

C．微元法  D.放大法

(3)甲同学在进行如图甲所示的实验，他是在研究向心力的大小Fn与________的关系。可以得到的正确结果是________________________________

___________________________________________________________________。

(4)乙同学把两小球都换为钢球，且质量相等，如图乙所示，实验中观察到标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4。由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔轮相对应的半径之比为________。

答案　(1)C　(2)B

(3)质量　做圆周运动的物体，在转动半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比

(4)2∶1

解析　(1)在探究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制其他物理量不变，研究另外两个物理量的关系。所以在探究向心力的大小Fn与角速度ω的关系时，要保持小球的质量m与运动的半径r相同。故C正确。

(2)在实验时需先控制某些量不变，研究另外两个物理量的关系，该方法为控制变量法。故B正确。

(3)甲同学在进行如图甲所示的实验，由图甲可知，两球一个为铝球一个为钢球，质量不同，所以他是在研究向心力的大小Fn与质量的关系，故得到的正确结果是：做圆周运动的物体在转动半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。

(4)两球所受向心力之比为1∶4，转动半径和质量相等，根据Fn＝mω2r，则转动的角速度之比为1∶2，因为两变速塔轮靠皮带传动，变速塔轮边缘的线速度大小相等，根据v＝r′ω知与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为2∶1。

2．(2021·辽宁高三上月考)某实验小组利用如图所示的装置进行“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验。转动手柄，可使塔轮、长槽和短槽随之匀速转动。塔轮自上而下有三层，每层左、右半径比分别是1∶1、2∶1和3∶1。左、右塔轮通过皮带连接，并可通过改变皮带所处层来改变左、右塔轮的角速度之比。实验时，将两个小球分别放在短槽C处和长槽的A(或B)处，A、C到左、右塔轮中心的距离相等，两个小球随塔轮做匀速圆周运动，向心力大小关系可由标尺露出的等分格的格数判断。

(1)该实验用到的方法是________。

A．理想实验法  B.等效替代法

C．微元法  D.控制变量法

(2)在某次实验中，某同学把两个质量相等的小球分别放在A、C位置，将皮带连接在左、右塔轮半径之比为2∶1的塔轮上，实验中匀速转动手柄时，得到左、右标尺露出的等分格数之比为1∶4。

(3)若将皮带连接在左、右塔轮半径之比为3∶1的塔轮上，左、右两边塔轮的角速度之比为________，当左边标尺露出1个等分格时，右边标尺露出9个等分格，则实验说明_______________________________________________。

答案　(1)D

(3)1∶3　做匀速圆周运动的物体，在质量和转动半径一定时，向心力的大小与转动角速度的平方成正比

解析　(1)分析易知本实验采用的是控制变量法。故A、B、C错误，D正确。

(3)因用皮带连接的左、右塔轮边缘线速度大小相等，又皮带连接的左、右塔轮半径之比为3∶1，根据v＝ωr可知，左、右两边塔轮的角速度之比为1∶3。又根据题意知放在A、C两处的小球质量相等，转动半径相等，左边标尺露出1个等分格，右边标尺露出9个等分格，表明两球所受向心力大小之比为1∶9。则此次实验说明，做匀速圆周运动的物体，在质量和转动半径一定时，向心力的大小与转动角速度的平方成正比。

3．(2021·江苏省昆山市震川高级中学高三月考)如图a所示为探究向心力大小与质量、半径、角速度关系的实验装置。金属块放置在转台凹槽中，电动机带动转台做圆周运动，可通过改变电动机的电压来控制转台的角速度。数字计时器可以采集转台转动的时间信息。已知金属块被约束在转台的径向凹槽中，只能沿半径方向移动，且可以忽略与凹槽之间的摩擦力。

(1)某同学保持金属块质量和转动半径不变，仅改变转台的角速度，探究向心力大小与角速度的关系。不同角速度对应的向心力大小可由力传感器读出。若数字计时器记录转台每转50周的时间为T，则金属块转动的角速度ω＝________。

(2)上述实验中，该同学多次改变角速度后，记录了一组角速度ω与对应的向心力Fn大小的数据，见下表。请根据表中数据在图b给出的坐标纸中作出Fn与ω2的关系图像。由图像可知，当金属块质量和转动半径一定时，Fn与ω2呈________关系(选填“线性”或“非线性”)。

(3)为了探究向心力大小与半径、质量的关系，还需要用到的实验器材：________、________。

答案　(1)　(2)图见解析　线性

(3)刻度尺　天平

解析　(1)由题意可知，转台转动的周期为T0＝，根据角速度和周期的关系可得角速度ω＝＝。

(2)根据描点法在坐标纸中作出Fn­ω2的关系图像如图所示，由图像可知，Fn与ω2呈线性关系。

(3)为了探究向心力大小跟半径、质量的关系，还需要用刻度尺测金属块的转动半径，用天平测量金属块的质量m。

4.(2020·山东微山二中高三月考)某同学做验证向心力与线速度关系的实验。装置如图所示，一轻质细线上端固定在拉力传感器上，下端悬挂一小钢球。钢球静止时刚好位于光电门中央。主要实验步骤如下：

①用游标卡尺测出钢球直径d；

②将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F1，用米尺量出线长L；

③将钢球拉到适当的高度处释放，数字计时器测出钢球的遮光时间为t，力传感器示数的最大值为F2。

已知当地的重力加速度为g，请用上述测得的物理量表示：

(1)钢球经过光电门时的线速度表达式v＝________，向心力表达式F向＝m＝________；

(2)钢球经过光电门时所受合力的表达式F合＝________；

(3)若在实验误差允许的范围内F向＝F合，则验证了向心力与线速度的关系。该实验可能的误差有：________________。(写出一条即可)

答案　(1)　

(2)F2－F1

(3)摆线的长度测量有误差(其他答案合理也可)

解析　(1)钢球的直径为d，遮光时间为t，所以通过光电门的线速度：v＝，根据题意知，钢球做圆周运动的半径为：R＝L＋，钢球质量：m＝，向心力表达式：F向＝m＝。

(2)钢球经过光电门时只受重力和线的拉力，所受合力为：F合＝F2－F1。

(3)根据向心力表达式知，可能在测量摆线长度时存在误差，力传感器测得的力存在误差，数字计时器计时存在误差。

5. (2020·山东省淄博市部分学校高三下6月二模)如图甲所示，某探究小组用能够显示并调节转动频率的小电动机验证匀速圆周运动向心力大小的表达式 Fn＝mω2r。实验步骤如下：

①把转动频率可调的小电动机固定在支架上，转轴竖直向下，将摇臂平台置于小电动机正下方的水平桌面上；

②在转动轴正下方固定一不可伸长的细线，小电动机转轴与细线连接点记为O。细线另一端穿过小铁球的球心并固定；

③启动电动机，记录电动机的转动频率f，当小球转动稳定时，将摇臂平台向上移动，无限接近转动的小球；

④关闭电动机，测量O点到摇臂平台的高度h；

⑤改变电动机的转动频率，重复上述实验。

(1)探究小组的同学除了测量以上数据，还用游标卡尺测量了小球的直径D，如图乙所示，读数为________ mm；本实验________(选填“需要”或“不需要”)测量小球的质量。

(2)实验中测得了O点到摇臂平台的高度h、小球的直径D和电动机的转动频率f，已知当地的重力加速度为g，若所测物理量满足g＝________，则Fn＝mω2r成立。(用所测物理量符号表示)

答案　(1)10.52　不需要　(2)4π2f2

解析　(1)游标卡尺主尺读数为10 mm，游标尺读数为26×0.02 mm＝0.52 mm，故小球的直径D为10.52 mm；设细线与竖直方向的夹角为θ，从O到球心的距离为L，如图所示，根据牛顿第二定律可得mgtanθ＝mω2Lsinθ，m可以约去，则得g＝＝4π2f2Lcosθ，其中Lcosθ＝h－，则有g＝4π2f2，所以本实验不需要测量小球的质量。

(2)通过上述分析可知，若所测物理量满足g＝4π2f2，则Fn＝mω2r成立。