2022-2023学年江苏省扬州市宝应县九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年江苏省扬州市宝应县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一元二次方程的根的情况(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

2.  希望中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占若小强的三项成绩百分制依次是，，则小强这学期的体育成绩是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在中，，，，则：的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知：：，若四边形的周长是，则四边形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  五名同学捐款数分别是，，，，单位：元，捐元的同学后来又追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，集中趋势相同的是(    )

A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数

6.  用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接、，当时，的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  已知是关于的一元二次方程的一个根，则______．

10.  在比例尺为：的工程规划图上，量得东阳大桥两端的图上距离是，则东阳大桥两端实际距离为______

11.  方程有两个相等的实数根，则的值为______．

12.  圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的侧面积是______结果保留

13.  已知代数式是一个完全平方式，则实数的值为______．

14.  如图，与相切于点，与相交于点，点在优弧上，且与点、不重合，若，则的度数为______

15.  如图，正五边形内接于，点在劣弧上，则的度数为______

16.  “跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以人的手臂长度与眼距的比值一般为，得到的值约为被测物体离观测点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为米，则汽车到观测点的距离约为______米．

17.  定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______．

18.  将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形剪掉的两个直角三角形相似，剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则该矩形与相邻的另一条边长是______．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：
；
．

20.  本小题分
已知关于的方程有两个相等的实数根．
求的值；
若满足方程，试判断方程的根的情况．

21.  本小题分
为了加强心理健康教育，某校组织七年级两班学生进行了心理健康常识测试分数为整数，满分为分，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

填好表格中所缺的数据：

从表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．

22.  本小题分
小明去某体育馆锻炼，该体育馆有、两个进馆通道和、、三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．
小明从通道进馆的概率是______；
用列表或画树状图的方法求小明恰好经过通道与通道的概率．

23.  本小题分
现有半圆形纸片，点是圆心，直径的长是．
如图，点是半圆弧上的一点点与点、不重合，连接、，沿、剪下，则是______三角形填“锐角”、“直角”或“钝角”；
如图，是弦，小明将半圆形纸片沿弦折叠使得点与圆心重合，顺次连接、、、得四边形，试判断四边形的形状，请说明理由并求出它的边长．
 

24.  本小题分
如图，在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使四周绿地等宽，其中花圃面积是矩形面积的一半，求花圃四周绿地的宽应为多少？

25.  本小题分
如图，在中，，以为直径的与线段交于点，作，垂足为，的延长线与的延长线交于点．
求证：直线是的切线；
若，，求劣弧的长．

26.  本小题分
如图，，平分，过点作交于，连接交于．
求证：；
若，，求的长．

27.  本小题分
“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
如图，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想 ______请填“”、“”或“”，并证明你的猜想；
如图，点、、在上，点在内，此时中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
如图，凸四边形中，对角线长为，，，则四边形面积的最大值是______．
 

28.  本小题分
如图，在中，点是上的一点，、分别为、上的点且，交于点．
求证：；
如图，连结、，若，，，，求的值；
如图，在▱中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点，若，平分，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分．
答：小强这学期的体育成绩是分．
故选：．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，，
，
，
．
故选：．
由，可得∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，由，以此即可得出结论．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：：：，
：：，
四边形与四边形是位似图形，
四边形∽四边形，，
∽，
，
四边形的周长：四边形的周长：，
四边形的周长是，
四边形的周长为，
故选：．
根据位似图形的概念得到四边形∽四边形，，得到∽，根据相似三角形的性质得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意知，追加前个数据的中位数是，众数是，
追加后个数据的中位数是，众数为，
数据追加后平均数会变大，
不变的只有中位数和众数，
故选：．
根据中位数和众数的概念做出判断即可．
本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
则，即，
，，
．
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接、，过点作，

由题意可知：，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积为：；
故选：．
连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．
本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，连接，
，，
，
点为的中点，
，，
绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
，
点、、三点共线，
由图可知，可能在线段上，也可能在延长线上，
要求的最大值，即求图中的长，
，
，
在中，
由勾股定理得，
的最大值为．

故选：．
以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，连接，根据题意可得，，，根据分析图中即为所求的最大值，在中，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形，分析出当时，点有两种情况，并找出的最大值是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
解得：，
故答案为：．
根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：厘米，
厘米米；
即东阳大桥两端实际距离为米．
故答案为：．
要求东阳大桥两端实际距离是多少米，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值计算即可．
此题考查比例线段，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
由题可得，即可得的值．
本题考查一元二次方程根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；若一元二次方程有两个相等的实数根，则；若一元二次方程没有实数根，则．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径是：，
圆锥的底面周长是：，
则．
故答案为：．
首先根据勾股定理求得圆锥的底面半径，从而得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
 

13.【答案】或． 

【解析】解：根据题意可得，
，
即，
解得：或．
故答案为：或．
根据完全平方公式，可得，计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
与相切于点，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理计算即可计算出的度数，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出的度数．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：正五边形内接于，
，
四边形是外接四边形，
，
，
故答案为：．
先由正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出．
本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的倍，
汽车的长度大约为米，
横向距离大约是米，
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，
汽车到观测点的距离约为米．
故答案为：．
根据图形估计出横向距离，再根据“跳眼法”的步骤得到答案．
本题考查的是图形的相似以及“跳眼法”，正确估计出横向距离是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，
圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
圆心就是三角形的内心，
当过点时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大，
过点分别作弦、、的垂线，垂足分别为、、，连接、、，
，
，
，，，
，
，
，
设，则，
，
解得，
即，
在中，，
故答案为：．
根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．
 

18.【答案】或或 

【解析】解：连接，

，，，
，
，，
，
，
，
如图所示，

由已知可得，∽，
则，
设，，
则，
解得，
；
如图所示，

由已知可得，∽，
则，
设，，
则，
解得，
；
如图所示，

由已知可得，∽，
则，
设，，
则，
解得，
；
该矩形与相邻的另一条边长是或或，
故答案为：或或．
连接，由勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理得，根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
 

19.【答案】解：方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
方程变形得：，
移项变形得：，
解得：，． 

【解析】方程移项后，两边加上变形，开方即可求出解；
方程右边整体移到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：关于的方程有两个相等的实数根，则
，即，
解得或；
故的值为或；
满足方程，
当时，方程为，，此时方程无实数根；
当时，方程为，，此时方程有两个相等的实数根． 

【解析】关于的方程有两个相等的实数根，则，据此列出关于的方程，通过解方程即可求得的值．
根据的值，求出方程，然后判断的正负，即可得出答案．
本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

21.【答案】     

【解析】解：由题意知，班和班人数相等，为：人，
则班学生中测试成绩为分的人数为：人，
班的平均数是：分，
分出现的最多，则班的众数是分，
把班的成绩从小到大排列，中位数是第、个数的平均数，
则的中位数是分．
故答案为：，，；

因为班的方差小于的方差，
所以班的成绩更均匀．
根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案；
根据方差越小，数据分布越均匀即可得出答案．
本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：小明从通道进馆的概率是，
故答案为：；

画树状图如下所示，

由上可得，一共有种可能性，其中恰好经过通道与通道的可能性有种，
恰好经过通道与通道的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
 

23.【答案】直角 

【解析】解：是半的直径，
，
是直角三角形，
故答案为：直角；
四边形是菱形，
理由：如图：连接，

由折叠得：
，，
，
，
四边形是菱形，
直径的长是，
，
菱形的边长为．
根据直径所对的圆周角是直角可得，即可解答；
连接，根据折叠的性质可得：，，再结合半径相等可得，从而利用菱形的判定方法可得四边形是菱形，即可解答．
本题考查了圆周角定理，翻折变换折叠问题，熟练掌握圆周角定理，以及折叠的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设花圃四周绿地的宽为，则花圃为长，宽的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：花圃四周绿地的宽应为． 

【解析】设花圃四周绿地的宽为，则花圃为长，宽的矩形，根据花圃面积是矩形面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
解：，，
，，
，
劣弧的长为： 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
根据含角的直角三角形的性质得到，进而求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、弧长的计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

26.【答案】证明：平分，
，且，
∽
，

，，，
，
，
，
，

，且
，
，

∽，
，
，
． 

【解析】通过证明∽，可得，可得结论；
，，，得出，由得出，
由平行线的性质可证，即可证，通过证明∽，可得，
即可求的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求的长度是本题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：连接，

四边形为圆的内接四边形，
，
在中，，
，
故答案为：；

的结论不成立，理由：
延长交圆于点，连接，
则，
在中，，
，
即；

，四边形的内角和为，
，
即四边形四点共圆，
分别过点、作于点，于点，
则四边形面积，
故当、、、共线且为圆的直径时，四边形面积最大，
连接、，
，
，
故为等边三角形，则，
则，
则四边形面积最大值，
故答案为：．
四边形为圆的内接四边形，则，在中，，即可求解；
延长交圆于点，则，在中，，即可求解；
由四边形面积知，当、、、共线且为圆的直径时，四边形面积最大，进而求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，图形的面积计算，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准平行四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点．
 

28.【答案】证明：，
∽，∽，
，，
；
解：由可知：，
，
，
，
，
，
∽，
；
解：如图，延长交于，连接，过点作于，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明∽，∽，根据相似三角形的性质得到，，等量代换证明结论；
根据的结论得到，得到，证明∽，根据相似三角形的性质计算即可；
延长交于，连接，过点作于，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质求出，进而求出．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．