2022-2023学年江苏省扬州市仪征市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市仪征市七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是(    )

A. 三角形的稳定性
B. 对顶角相等
C. 垂线段最短
D. 两点之间线段最短

2.  下列式子运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若代数式可化为，则是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，将木条，与钉在一起，，要使木条与平行，木条顺时针旋转的度数至少是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，已知直线，平分，交于，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  代数式化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：有匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加米，相邻的另一边减少米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会(    )

A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔软性，我国某物理研究组已研制出直径为米的碳纳米管，将用科学记数法表示为______ ．

10.  一个多边形的内角和等于，则它的边数是______．

11.  已知，，则          ．

12.  若是完全平方式，则数______．

13.  若，，则 ______ ．

14.  如图，正方形的边在正五边形的边上，则______．

 

15.  如图，是的中线，是的中线，于点若，，则长为          ．

 

16.  若方程组，则 ______ 用含的代数式表示
 

17.  整式的值随的取值不同而不同，表是当取不同值时对应的整式的值：
则关于的方程的解为______ ．

18.  定义一种新运算，例如若，则 ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  分解因式：


 

四、解答题（本大题共9小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：
；
．

21.  本小题分
解下列二元一次方程组：
；
．

22.  本小题分
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．
该三角形的面积是______；
仅用无刻度的直尺完成作图：作出的高．
 

23.  本小题分
下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．

计算：；
；
若，请求出的值．

24.  本小题分
如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接若．
求证：．
若，平分，求的度数．

25.  本小题分

已知是方程的一个解，解决下列问题：

求的值

化简并求值：．

26.  本小题分

找规律：观察算式

按规律填空：

          ．

          ．

由上面的规律计算：要求：写出计算过程．

27.  本小题分
如图，中，，点、分别在边、上运动不与顶点重合，点在线段上不与点、重合，射线与射线相交于点．

如图，若，，说明：平分．
如图，若，，．
若，，求的值．
若，求的值．
若且，求的度数．

28.  本小题分
已知一个各个数位上的数字均不为的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数，若等于的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记．
例如：是“平方差数”，因为，所以是“平方差数”；
此时．
又如：不是“平方差数”，因为，所以不是“平方差数”．
判断是否是“平方差数”？并说明理由；
若是“平方差数”，且比的个位数字的倍大，求所有满足条件的“平方差数”．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是三角形具有稳定性，
故选：．
利用三角形的稳定性直接回答即可．
考查了三角形的稳定性，解题的关键是从图形中抽象出三角形模型，难度不大．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意，
故选：．
利用同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，，
．
故选：．
将化简求出，的值，代入代数式求值即可．
本题考查了配方法的应用，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，，

，
，
，
，
现在木条与木条的夹角，
木条顺时针旋转的度数至少是，
故选：．
又培训心得性质可求解，与的原角度相比较即可求解．
本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质求得的度数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选B．
求出，根据平行线的性质求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出即可．
本题考查了邻补角，平行线的性质，角平分线定义的应用，解此题的关键是求出的度数和得出，注意：两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
利用乘法的意义计算即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设大马有匹，小马有匹，由题意得：
，
故选：．
设大马有匹，小马有匹，根据题意可得等量关系：大马数小马数；大马拉瓦数小马拉瓦数，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
 

8.【答案】 

【解析】解：矩形的面积为，
矩形的面积比正方形的面积小了平方米，
故选：．
矩形的长为米，矩形的宽为米，矩形的面积为，根据平方差公式即可得出答案．
本题考查了平方差公式的几何背景，列出矩形的面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数是，
则：，
解得，
故答案为：．
根据边形的内角和为列出关于的方程式，解方程即可求出边数的值．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键在于要根据公式进行正确运算，变形和数据处理．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
根据，，对所求式子因式分解即可解答本题．
【解答】
解：，，



，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：中间一项为加上或减去和的积的倍，
故，
故答案为：．
这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和的积的倍，故．
本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
逆运用同底数幂的乘法法则得结论．
本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据多边形内角和公式，计算出正五边形中，，正方形中，，即可．
【解答】
解：五边形为正五边形，
，
四边形为正方形，
，
．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：因为是的中线，
所以，
因为是的中线，
所以，
所以，
因为，
所以，
即，
解得：，
故答案为：．
由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
把代入得：


．
直接解二元一次方程即可．
本题考查是二元一次方程组的解法，解题的关键是选择正确的方法．
 

17.【答案】 

【解析】解：时，，
，
解得：；
时，，
，
解得：，
，
，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为，可得：．
故答案为：．
首先根据时，，可得：；然后根据时，，求出的值；最后根据解一元一次方程的方法，求出关于的方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：，
得，，
解得，
故答案为：．
根据题意即可列出方程，解方程，即可求解．
本题考查了新定义运算，负整数指数幂的运算，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：原式；

原式
． 

【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解可得；
先提取公因式，再利用平方差公式分解可得．
本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，再利用公式法分解．
 

20.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】根据零次幂，负整数指数幂进行计算；
根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．
本题考查了零次幂，负整数指数幂，平方差公式，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：把代入，得：
，
，
，
原方程组的解为；
原方程组整理得，
由，得：，
，
原方程组的解为． 

【解析】采用代入法比较简单，可直接用代入消元法；
需要先化简，然后采用加减法即可．
此题考查了学生的计算能力，解题时要注意观察，选择适宜的解题方法会达到事半功倍的效果．
 

22.【答案】解：；
如图，高即为所求．
 

【解析】

【分析】
本主要考查了作图应用与设计作图，三角形的面积，三角形的三条高所在直线交于一点等知识，熟练掌握三角形的三条高所在直线交于一点是解题的关键．
利用长方形面积减去三个直角三角形的面积可得答案；
根据三角形的三条高所在直线交于一点，可画出．
【解答】
解：的面积为，
故答案为：；
见答案．  

23.【答案】解：



；





；
，
．
．
．
．
． 

【解析】逆用积的乘方法则得结论；
先逆运用同底数幂的乘法法则，再逆用积的乘方法则和乘方法则得结论；
先运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则得方程，求解即可．
本题主要考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则是解决本题的关键．
 

24.【答案】证明：因为，
所以，
又因为，
所以，
所以；
解：因为，
所以，
因为平分，
所以，
在中，
因为，
所以．
答：的度数为． 

【解析】根据，得出，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
根据，得出，再根据平分，得出，最后在中利用三角形内角和等于即可求解．
本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
 

25.【答案】解：是方程的一个解，
，解得；



，
把代入上式可得：原式． 

【解析】把、的值代入方程可求得的值；
根据乘法公式先化简，再把的值代入求值即可．
本题主要考查方程解的概念，掌握方程的解满足方程是解题的关键．
 

26.【答案】解：，，，，
，
，
故答案为：，；
由，
，



． 

【解析】通过观察可得，即可求解；
由，再结合所得的规律进行运算即可．
本题考查数字的变化规律，通过所给的式子，探索出式子运算结果的规律，并能准确计算是解题的关键．
 

27.【答案】解：，
，
，
，
，
，
平分；
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的值为；
，
，
，
，
，，
，
，
，
即的值为；
且，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
即的度数为． 

【解析】根据平行线的性质得到，再根据，，得出结论；
根据，，得出，再根据得出结论；
先证，再根据，，，得出的值；
先求出，再根据，，，得出结论．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行线的性质．
 

28.【答案】解：是“平方差数”理由如下：
，
是“平方差数”．
是“平方差数”，
，，
比的个位数字的倍大，
，即，
，
即．
，且均为的正因数，
将分解为或或．
，
解得，
，
；
，
解得，
，
舍；
，
解得或，
，，
舍或．
或． 

【解析】根据“平方差数”的定义计算即可；
由是“平方差数”，得，由比的个位数字的倍大，得，进而得，结合分解分数的方法分解并分情况讨论即可．
本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解“平方差数”，明确条件与所求的关系．