新教材高中数学选择性必修第一册《直线与圆锥曲线的综合问题》基础卷(2份打包，答案版+原卷版)

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新教材高中数学选择性必修第一册《直线与圆锥曲线的综合问题》基础卷一、选择题1.已知双曲线﹣＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)A.(1，)         B.(1，]    C.(，＋∞)         D.[，＋∞)2.直线l：kx﹣y﹣k＝0与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)A.相交        B.相离       C.相切        D.不确定3.若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)A.(，)      B.(，＋∞)∪(﹣∞，)C.(，＋∞)          D.(﹣∞，﹣)4.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)A. (﹣∞，0)∪(1，＋∞)      B. (1,3)∪(3，＋∞)C. (﹣∞，﹣3)∪(﹣3,0)      D. (1,3)5.直线y＝kx﹣2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)A.2或﹣2       B.1或﹣1        C.2         D.36.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(﹣12，﹣15)，则E的方程为(　　)A.﹣＝1       B.﹣＝1        C.﹣＝1     D.﹣＝17.过点(0，﹣2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于(　　)A.2       B.        C.2       D.  8.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C方程为(　 　)A.x2＝8y       B.x2＝4y        C.x2＝2y         D.x2＝y9.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)A.           B.        C.﹣          D.﹣10.若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则|AB|等于(　　)A.5p         B.10p           C.11p         D.12p11.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为(　　)A.4           B.﹣4           C.p2         D.﹣p212.经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点.设O为坐标原点，则·等于(　　)A.﹣3        B.﹣          C.﹣或﹣3        D.±二、填空题13.已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是______.14.若直线y＝2x﹣3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.15.过点M(1,1)作斜率为﹣的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于       .16.已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是__________.  三、解答题17.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.        18.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P(1,).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积.             19.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点.(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于﹣，求椭圆C的离心率.         20.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点.(1)求AB的中点坐标；(2)求△ABF2的周长与面积.           21.已知椭圆＋y2＝1，求过点P(，)且被P平分的弦所在直线的方程.      22.已知椭圆C：＋y2＝1过点A(2,0)，B(0,1)两点.设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.        23.设双曲线C：﹣y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求实数a的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若＝ ，求a的值.
0.答案解析1.答案为：C解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，∴e＝＞＝.2.答案为：A解析：∵kx﹣y﹣k＝0，∴y＝k(x﹣1)，即直线过定点(1,0)，而(1,0)点在＋＝1的内部，故l与椭圆＋＝1相交.3.答案为：B解析：本题考查椭圆的范围.因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋＞1，解得a＞或a＜，故选B.4.答案为：B解析：本题考查直线与椭圆的位置关系.由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则解得由＋＝1表示椭圆知，m＞0且m≠3.综上可知，m的取值范围是m＞1且m≠3，故选B.5.答案为：C；解析：由得k2x2﹣4(k＋2)x＋4＝0.又由Δ＝16(k＋2)2﹣16k2＞0，得k＞﹣1.则由＝4，得k＝2.故选C.6.答案为：B；解析：设双曲线的标准方程为﹣＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是﹣＝1.7.答案为：C解析：设直线方程为y＝kx﹣2，A(x1，y1)、B(x2，y2).由得k2x2﹣4(k＋2)x＋4＝0.∵直线与抛物线交于A、B两点，∴Δ＝16(k＋2)2﹣16k2＞0，即k＞﹣1.又＝＝2，∴k＝2或k＝﹣1(舍去).∴|AB|＝|x1﹣x2|＝2.8.答案为：C；解析：由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则＝4，得p＝1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2＝2y.9.答案为：D解析：由得x2﹣5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，﹣2)，则||＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，﹣2)＝﹣8，∴cos∠AFB＝＝＝﹣.故选D.10.答案为：B；解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2﹣4px﹣p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.11.答案为：B解析：kOA·kOB＝·＝，根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝﹣p2，故kOA·kOB＝﹣4.12.答案为：B解析：不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1,0)，则直线l的方程为y＝x﹣1，由消去y，得3x2﹣4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1﹣1)(x2﹣1)＝2x1x2﹣(x1＋x2)＋1＝﹣＋1＝﹣.一、填空题13.答案为：2x﹣y﹣1＝0；解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B都在抛物线上，可得作差得(y1＋y2)(y1﹣y2)＝4(x1﹣x2).因为AB中点为P(1，1)，所以y1＋y2＝2，则有2·＝4，所以kAB＝＝2，从而直线AB的方程为y﹣1＝2(x﹣1)，即2x﹣y﹣1＝0.14.答案为：(2,1)解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得，整理得4x2﹣16x＋9＝0，由根与系数之间的关系知x1＋x2＝4，y1＋y2＝2(x1＋x2)﹣6＝2，所以线段AB的中点坐标为(2,1).15.答案为：；解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①＋＝1.②①、②两式相减并整理得＝﹣·.结合已知条件得，﹣＝﹣×，∴＝，故椭圆的离心率e＝ ＝.16.答案为：﹣＝1.解析：设双曲线方程为﹣＝1(a＞0，b＞0)，依题意c＝.∴方程可化为﹣＝1.由得(7﹣2a2)x2＋2a2x﹣8a2＋a4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.∵＝﹣，∴﹣＝﹣，解得a2＝2.∴双曲线的方程为﹣＝1.二、解答题17.解：(1)由得5x2＋2mx＋m2﹣1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2﹣20(m2﹣1)≥0.解得﹣≤m≤.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，由(1)知，5x2＋2mx＋m2﹣1＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝﹣，x1x2＝(m2﹣1).设弦长为d，且y1﹣y2＝(x1＋m)﹣(x2＋m)＝x1﹣x2，∴d＝＝＝＝.∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.18.解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意可得解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2﹣1＝0，由Δ＝3m2﹣4(m2﹣1)＞0，得m2＜4，由OA⊥OB，得·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x2＋mx1＋m＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝(m2﹣1)＋m·(﹣m)＋m2＝m2﹣＝0，得m2＝.又|AB|＝＝·，O到直线AB的距离d＝＝.所以S△AOB＝|AB|·d＝×××＝.19.解：(1)S△FAB＝|OF|·|yA﹣yB|≤|OF|＝＝1，所以a＝.(2)由题意可设A(x0，y0)，B(﹣x0，﹣y0)，M(x，y)，则＋y2＝1，＋y＝1，kMA·kMB＝·＝＝＝＝﹣＝﹣，所以a2＝3，所以a＝，所以c＝＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝.20.解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1.∴F1(﹣1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，联立消去y得5x2＋6x﹣3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝﹣，x1x2＝﹣，x0＝＝﹣，y0＝＝＝＋1＝(或y0＝x0＋1＝﹣＋1＝)，∴中点坐标为M(﹣，).(2)由题意知，F2到直线AB的距离d＝＝＝，|AB|＝·＝，∴S△ABF2＝|AB|d＝××＝，△ABF2的周长＝4a＝4.21.解法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y﹣＝k(x﹣)，即y＝kx＋﹣k.由得(2＋4k2)x2＋4k(1﹣k)x＋(1﹣k)2﹣4＝0，设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝﹣＝1，解之得k＝﹣.∴直线方程为2x＋4y﹣3＝0.解法二：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意知，所求直线的斜率存在，设为k，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.由得y﹣y＝﹣(x﹣x)，∴＝﹣·＝﹣，即k＝﹣，∴直线方程为y﹣＝﹣(x﹣)，即2x＋4y﹣3＝0.22.解：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，又A(2,0)，B(0,1)，所以，直线PA的方程为y＝(x﹣2)，令x＝0，得yM＝﹣，从而|BM|＝1﹣yM＝1＋，直线PB的方程为y＝x＋1，令y＝0，得xN＝﹣，从而|AN|＝2﹣xN＝2＋，所以四边形ABNM的面积S＝|AN||BM|＝(2＋)(1＋)＝＝＝2，从而四边形ABNM的面积为定值.23.解：(1)将y＝﹣x＋1代入双曲线方程﹣y2＝1(a＞0)中得(1﹣a2)x2＋2a2x﹣2a2＝0.依题意所以 0＜a＜且a≠1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)，因为＝，所以(x1，y1﹣1)＝(x2，y2﹣1).由此得x1＝x2.由于x1，x2是方程(1﹣a2)x2＋2a2x﹣2a2＝0的两根，且1﹣a2≠0，所以x2＝﹣，x＝﹣.消去x2得﹣＝.由a＞0，解得a＝.