2022-2023学年江苏省南通市崇川区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南通市崇川区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列四个图案中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，≌，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.    如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加下列一个条件，能判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.    已知：，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，已知，下列所给的条件不能证明≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    图，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线对称轴剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，中，，，，若，是边上的两个动点，是边上的一个动点，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 计算______．
12. 计算______．
13. 如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则等于______．

14. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则______．

15. 若，为常数，等式恒成立，则的值为______．
16. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______．

17. 如图，小张同学拿着等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，若每个长方体教具高度均为，，，则两摞长方体教具之间的距离的长为______．

18. 我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律按的次数由大到小的顺序：若，请根据上述规律，写出的值等于______．
     

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19. 计算：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    如图，已知的顶点都在图中方格的格点上．
    画出关于轴对称的，并直接写出、、三点的坐标．
    在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置保留作图痕迹，不写画法

21. 本小题分
    如图，点、、、在同一条直线上，≌，，，，求：
    的度数．
    的长．

22. 本小题分
    如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个圆，求剩下的钢板的面积．

23. 本小题分
    如图，在中，，点是的中点，点在上．求证：．

24. 本小题分
    在中，，点是线段上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接．
    求证．
    若是等边三角形，求度数．

25. 本小题分
    一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图可以得到，请解答下列问题：
    
    通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式是______；
    利用图解决下面问题若，，则______．
    如图，四边形，，是正方形，四边形和是长方形，其中的面积是，，，求图中阴影部分的面积．
26. 本小题分
    概念学习：
    规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“形似分割线”．
    理解概念：
    如图，在中，，，请写出图中的“形似三角形”写出两对即可．
    概念应用：
    如图，在中，为角平分线，，求证：为的形似分割线．
    在中，若，是的形似分割线，直接写出的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是
故选：．
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】解：≌，
．
故选：．
直接利用全等三角形的性质求解．
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
A.当时，，利用能判定≌，故A符合题意；
B.当时，不能判定≌，故B不符合题意；
C.当时，不能判定≌，故C不符合题意；
D.当时，不能判定≌，故D不符合题意；
故选：．
先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
原式

．
故选：．
根据平方差公式即可得出答案．
本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，为和的公共边，
A、，利用能证明≌，故A不符合题意；
B、，利用能证明≌，故B不符合题意；
C、，利用能证明≌，故C不符合题意；
D、，不能证明≌，故D符合题意；
故选：．
结合图形根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，要注意是两个三角形的公共边．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
，，
，
的面积，
故选：．
根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：方法一：
图中四个长方形的面积的和图的长方形的面积，
图的大正方形的面积，
图中阴影部分的面积图的大正方形的面积图中四个长方形的面积的和



．
方法二：
图中阴影部分是正方形，且四个边长都是，
阴影部分的面积．
故选：．
阴影部分的面积大正方形的面积四个小长方形的面积，四个小长方形的面积图中的长、宽的长方形的面积，图中的大正方形的面积，化简后求得阴影的面积．
本题考查完全平方公式的几何背景，通过观察图形特点、熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过作的对称点，连接，交于；过作，且，过作于，交于，的长度即为所求最小值，

，，
四边形是平行四边形，
，
又、关于对称，
，
，
，，
，
，，
过作，则，
，，
，
，，
，
在中，，，，
，
，
．
故选：．
首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为，因为，是边上的两个动点，是边上的一个动点，求的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求关于的对称点，作构建平行四边形，作于，交于利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系．
此题考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据零指数幂的性质即可得出答案．
本题主要考查了零指数幂的性质，比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，根据法则计算即可．
本题考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
由折叠可知，，
，
故答案为：．
求出，即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
．
故答案为：．
先计算，然后根据等式的性质求出和的值，再计算代数式的值即可．
本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则并灵活运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，，


，
故答案为：．
根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，，，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
一块长方体教具的厚度为，
，，
两摞长方体教具之间的距离的长．
故答案为：．
根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明≌即可，根据全等三角形的性质进行解答．
此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
当时，，
，
根据已知，
，
．
故答案为：．
令，得，根据已知，所以，所以．
此题考查了完全平方公式，数学常识，以及规律型：数字的变化类，弄清杨辉三角中的数字排列规律是解本题的关键．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】根据积的乘方与幂的乘方，单项式乘单项式法则，同底数幂相除的法则进行计算便可；
先用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项．
本题考查了整式的混合运算，熟记乘法公式和整式运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求，

、、；

如图，点即为所求． 

【解析】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
根据关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
利用轴对称求出最短路径即可．
 

21.【答案】解：≌，，
，
，，
；
≌，，
，
，
． 

【解析】根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可；
根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得，剩下的钢板的面积为：


．
答：剩下的钢板的面积为． 

【解析】剩下的钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积．
本题考查了列代数式，解题的关键是弄清题意，根据实际问题把与数量有关的词语，用含运算符号的式子表示出来．
 

23.【答案】证明：，是的中点
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】本题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键证明，利用三线合一的性质进行证明．
根据等腰三角形的三线合一，从而得出，根据证明≌，再得出．
 

24.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌，
；
解：≌，
，
是等边三角形，
，
． 

【解析】利用定理证明≌，根据全等三角形的对应边相等证明；
由全等三角形得，再根据等边三角形的性质求得结果．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：阴影部分的面积，
故答案为：；
由图可得，
，，
，
故答案为：；
设阴影部分的面积为，，
则，，
根据长方形的面积公式，得，





，
阴影部分的面积为．
根据阴影部分的面积可以直接用正方形的面积求，也可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积和一个小正方形的面积求，再根据面积相等即可得到等式；
仿照可得，再将已知代入即可求解；
设阴影部分的面积为，，则，，根据长方形的面积公式，得，再由，最后代入求值即可．
本题考查因式分解的应用，完全平方公式的几何意义，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式是解题的关键．
 

26.【答案】解：，，
∽，
同理可得，
∽；
证明：，，
，
是的平分线，
，
，，，
，和是“形似三角形”；
是的“形似三角形”；
解：如图，

，，
则，
，
如图，

当时，
则，
如图，

当时，
则，
如图，

当，，
则，
，
综上所述：或或或． 

【解析】，和均符合三角对应相等；
通过计算得出，从而，进一步得出结果；
当是等腰三角形时，分为是顶角和底角两种情形；当是等腰三角形时，是顶角和底角两种情形．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．