湖南省娄底市涟源市2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案）

2022-2023学年湖南省娄底市涟源市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．下列各选项中，两个量成反比例关系的是　　

A．正方形的边长和面积 

B．圆的周长一定，它的直径和圆周率 

C．速度一定，路程和时间 

D．总价一定，单价和数量

2．下列四条线段为成比例线段的是　　

．，，， ． 

．，，， ．

3．用配方法解一元二次方程，配方后的方程为　　

A． B． C． D．

4．若点，与，在函数的图象上，且．则与的大小关系是　　

A． B． C． D．

5．如图，已知，那么下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

6．下列说法正确的是　　

A．所有的矩形都相似 

B．两个直角三角形相似 

C．两个等边三角形相似 

D．各有一个角是的两个等腰三角形相似

7．某商品经过两次降价后每件的售价由原来的70元降到了56.7元．则平均每次降价的百分率为　　

A． B． C． D．

8．若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为　　

A． B． C． D．

9．已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是　　

A． B． 

C． D．

10．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定．例如，则的根的情况为　　

A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

11．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流（A）与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是　　

A．当时， 

B．与的函数关系式是 

C．当时， 

D．当时，的取值范围是

12．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，，则的值为　　

A．1 B．2 C．1.5 D．0.25

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．若点在反比例函数的图象上，则的值是 　　．

14．方程化为一般形式是 　　．

15．若，则　　．

16．若关于一元二次方程的常数项为0，则的值等于 　　．

17．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，若，则　　．

18．如图，等边的顶点在等边的边上滑动，与交于点，当时，的值是 　　．

三、解答题（每小题6分，共12分）

19．（6分）解方程：

；

（2）．

20．（6分）先化简再求值：，其中满足．

四、解答题（每小题8分，共16分）

21．（8分）某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力一定时，木板对烂泥湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示．

（1）求出与的函数表达式；

（2）当木板面积为时，压强是多少？

22．（8分）已知：平行四边形的两边、的长是关于的方程的两个实数根．

（1）当为何值时，四边形是菱形？

（2）若，求的值．

五、解答题（每小题9分，共18分）

23．（9分）如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．

（1）求小路的宽．

（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．

24．（9分）如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

六、综合题（每小题10分，共20分）

25．（10分）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）当时，求自变量的取值范围；

（3）若点在轴上，且，求点的坐标．

26．（10分）如图，四边形中，平分，，为的中点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若，．求的长．

2022-2023学年湖南省娄底市涟源市九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

1．【解答】解：、正方形的面积（边长），两个量不成反比例函数，故此选项不合题意；

、圆的周长，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项不合题意；

、路程速度时间，速度一定，路程和时间成正比例关系，故此选项不合题意；

、总价单价数量，总价一定，单价和数量成反比例关系，故此选项符合题意；

故选：．

2．【解答】解：、从小到大排列，由于，所以不成比例，不符合题意；

、从小到大排列，由于，所以成比例，符合题意；

、从小到大排列，由于，所以不成比例，不符合题意；

、从小到大排列，由于，所以不成比例，不符合题意．

故选：．

3．【解答】解：，

，

，

故选：．

4．【解答】解：，

双曲线在第二，四象限，

，

在第二象限，在第四象限，

；

故选：．

5．【解答】解：，

，

故选：．

6．【解答】解：．所有的矩形对应边比值不一定相等，所以不一定相似，此选项不符合题意；

．两个直角三角形的对应锐角不一定相等，所以不一定相似，此选项不符合题意；

．两个等边三角形相似，故此选项符合题意；

、各有一个角是的两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似形，故此选项不符合题意；

故选：．

7．【解答】解：设平均每次降价的百分率为，则有：

，（舍

故选：．

8．【解答】解：方程的根是2和3，

，

则，

，，

，

故选：．

9．【解答】解：、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项不符合题意；

、不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项符合题意；

、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项不符合题意；

、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项不符合题意；

故选：．

10．【解答】解：根据规定得，整理得，

△，

方程有两个不相等的实数根．

故选：．

11．【解答】解：设与的函数关系式是，

该图象经过点，

，

，

与的函数关系式是，故选项不符合题意；

当时，，当时，，

反比例函数随的增大而减小，

当时，，当时，，故选项，不符合题意；

时，，当时，，

当时，的取值范围是，故符合题意；

故选：．

12．【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

点在函数的图象上，点在函数的图象上，

，，

，解得，

故选：．

13．【解答】解：点在反比例函数的图象上，

，

故答案为：．

14．【解答】解：，

，

，

故答案为：．

15．【解答】解：两边都乘以，得

．

，

故答案为：．

16．【解答】解：关于一元二次方程常数项为0，

，

解得，；

又，，

．

故答案为：．

17．【解答】解：设点的坐标为，

点在第二象限，

，，

，

，

是反比例函数的图象上一点，

，

故答案为：．

18．【解答】解：，

可以假设，，则，

与都是等边三角形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

19．【解答】解：（1），

方程整理为，

，

或，

所以，；

（2），

，

，

，

或，

所以，．

20．【解答】解：原式

，

当，即时，

原式．

21．【解答】解：（1）设与的函数表达式为．

把代入，得，

解得，

则与的函数表达式为；

（2）当时，，

即当木板面积为时，压强是．

22．【解答】解：（1）四边形为菱形，则方程有两个相等的实数根，

△，

即，

解得，

所以当时，四边形为菱形．

（2）、的长是关于的方程的两个实数根，

，，

，

，

，

．

23．【解答】解：（1）设小路的宽为米，则非阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，

依题意得：，

解得：，

解得：，（不符合题意，舍去）．

答：小路的宽为2米．

（2）（元．

答：修建两条小路的总费用为14000元．

24．【解答】（1）证明：平行四边形中，，

，

，

又，

；

（2）解：平行四边形中，，

由（1）得，

，

，

，

．

六、综合题（每小题10分，共20分）

25．【解答】解：（1）将的坐标代入反比例函数得，

，

反比例函数的关系式为，

将，的坐标代入一次函数得，

，

解得，

一次函数的关系式为，

（2）由于方程组的解为，，

一次函数与反比例的交点坐标为和，

又，

，

当时，自变量的取值范围是或，

故答案为：或；

（3）

，

设点，则，

由，

，

解得或，

点或．

26．【解答】（1）证明：平分，

，

，

，

，

．

（2）证明：，为的中点，

，

，

，

，

．

（3）解：，，

．

，

，

，为的中点，

，

，

，

，

，

，

，

，

．