河南省郑州市第五十七中学2022-2023学年+九年级上学期线上期中测试数学试题（含答案）

这是一份河南省郑州市第五十七中学2022-2023学年+九年级上学期线上期中测试数学试题（含答案），共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州五十七中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C．x2+2x＝ D．x2+y2＝02．（3分）在阳光下，一块正方形木板的投影不会是（　　）A．点 B．正方形 C．菱形 D．线段3．（3分）下列图形，一定相似的是（　　）A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有一个根是1，则m的值为（　　）A．4 B．3 C．2 D．﹣35．（3分）下列说法正确的是（　　）A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形6．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，AC＝9，DE＝2，则EF的值为（　　）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（　　）A． B． C． D．8．（3分）经过两次降价，我省新冠病毒核酸检测标本单采项目价格由80元/人次下调至16元/人次，若设核酸检测标本单采项目价格平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为（　　）A．80（1﹣x）＝16 B．80（1﹣x）2＝16 C．80（1﹣x2）＝16 D．80[（1﹣x）﹣（1﹣x）2]＝169．（3分）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为原点，A（2，0），∠C＝60°，BC交y轴于点D，连接AD，交OB于点E，则点E的坐标为（　　）A．（） B．（） C．（） D．（）10．（3分）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为CD，BC上一点，且DM＝CN，连接AM，DN，交于点P，Q，R分别为AN，AD的中点，连接PQ，PR，若，PR＝2，则MP的长为（　　）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若＝，则＝　   　．12．（3分）一个不透明的袋子中装有12个白球、9个黄球和若干个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现得到白球的频率稳定在0.4，则可判断袋子中黑球的个数为 　   　．13．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　   　．14．（3分）如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若AD＝4，则点G的坐标为 　   　．15．（3分）如图，矩形ABCD中，点M，N为边CD，AB的中点，点P，Q分别为射线DA，BC上一个动点，且DP＝BQ，分别以PM，QN为对称轴折叠△DMP，△BQN，得到△EMP，△FQN，点D，B的对应点分别为E，F，连接MF，EN．若AD＝6，AB＝10，当四边形MENF为菱形时，线段DP的长为 　   　．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）用适当的方法解下列方程：（1）3x2﹣2x＝0；（2）x2﹣x﹣1＝0．17．（9分）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．（1）若K1闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 　   　；（2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）18．（9分）图1是由7个相同的小正方体组成的几何体．（1）请在网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；（2）已知每个小正方体的棱长为1cm，则该几何体的表面积为 　   　cm2．19．（9分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．（1）在AB上求作一点D，使△ABC∽△CBD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求△ACD的周长．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0的两根是一个矩形的两邻边的长．（1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；（2）当矩形的对角线长为5时，求m的值；（3）当m为何值时，矩形为正方形？21．（9分）如图1，MN∥PQ，点A，B分别为MN，PQ上任意一点，连接AB，∠MAB，∠PBA的平分线交于点C，∠NAB，∠QBA的平分线交于点D． （1）求证：四边形ACBD为矩形；（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作EF∥AB分别交MN，PQ于点E，F，过点D作GH∥AB分别交MN，PQ于点G，H，求证：四边形EFHG为菱形．22．（20分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，动点P从点A开始以每秒4个单位长度的速度匀速沿A﹣C﹣A运动，回到A点时停止运动，动点Q同时从点C开始以每秒1个单位长度的速度匀速沿C﹣B运动，到达B点时停止运动，点D为AB的中点，连接PQ，DP，DQ．设运动时间为t秒．（1）当点P沿A﹣C运动时，①BQ＝　   　，PC＝　   　（用含t的式子表示）；②当DP⊥AB时，求t的值；（2）当△CPQ与△ABC相似时，直接写出t的值．
2022-2023学年河南省郑州五十七中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C．x2+2x＝ D．x2+y2＝0【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：A、该选项a可能等于0，所以可能不是一元二次方程，故该选项不符合题意；B、该选项有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意；C、该选项为分式方程，故该选项不符合题意；D、该选项有两个未知数，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．2．（3分）在阳光下，一块正方形木板的投影不会是（　　）A．点 B．正方形 C．菱形 D．线段【分析】平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段，不可能是点．故选：A．【点评】本题考查平行投影，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行．3．（3分）下列图形，一定相似的是（　　）A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．【解答】解：A．两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故A选项不符合题意；B．两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B选项不符合题意；C．两个等边三角形的对应角一定相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故C选项符合题意；D．两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似图形，熟悉各种图形的性质是解题的关键．4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有一个根是1，则m的值为（　　）A．4 B．3 C．2 D．﹣3【分析】把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0得1﹣m+2＝0，然后解关于m的方程．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0得1﹣m+2＝0，解得m＝3．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．（3分）下列说法正确的是（　　）A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解．【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故A选项符合题意；D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形和轴对称图形的性质，解题的关键是逐个判断四个选项即可得出正确答案．6．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，AC＝9，DE＝2，则EF的值为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝3，AC＝9，DE＝2，∴＝，∴EF＝4．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．7．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（　　）A． B． C． D．【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1．据此可作出判断．【解答】解：该几何体的左视图为．故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．8．（3分）经过两次降价，我省新冠病毒核酸检测标本单采项目价格由80元/人次下调至16元/人次，若设核酸检测标本单采项目价格平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为（　　）A．80（1﹣x）＝16 B．80（1﹣x）2＝16 C．80（1﹣x2）＝16 D．80[（1﹣x）﹣（1﹣x）2]＝16【分析】先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）＝16，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格80（1﹣x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为80（1﹣x）•（1﹣x）元，故可列方程为80（1﹣x）2＝16．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：掌握若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b是解决问题的关键．9．（3分）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为原点，A（2，0），∠C＝60°，BC交y轴于点D，连接AD，交OB于点E，则点E的坐标为（　　）A．（） B．（） C．（） D．（）【分析】根据菱形的性质证明△AOB和△BOC都是等边三角形，求出直线OB解析式为yOB＝x，直线AD的解析式为yAD＝﹣x+，联立方程组即可求出点E的坐标．【解答】解：∵菱形OABC的顶点O为原点，A（2，0），∴OA＝OC＝AB＝BC＝2，∵∠C＝60°，∴△AOB和△BOC都是等边三角形，∴OB＝OA＝2，∠BOA＝60°，∴∠DOB＝30°，∴BD＝OB＝1，∴OD＝BD＝，∴B（1，），D（0，），∴直线OB解析式为yOB＝x，直线AD的解析式为yAD＝﹣x+，联立方程组：，解得：，∴点E的坐标为（，）．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，一次函数的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为CD，BC上一点，且DM＝CN，连接AM，DN，交于点P，Q，R分别为AN，AD的中点，连接PQ，PR，若，PR＝2，则MP的长为（　　）A． B． C． D．【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可得AM⊥DN，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可求出AD，AN，再根据勾股定理求出BN，进而求出CN，再求出DN，由相似三角形的判定和性质进行计算即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AD＝CD，∠ADM＝∠DCN＝90°，∠DPM又∵DM＝CN，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∵∠DAM+∠AMD＝90°，∴∠CDN+∠AMD＝90°，∴∠DPM＝90°，即AM⊥DN，∵Q，R分别为AN，AD的中点，∴AD＝2MR＝4，AN＝2PQ＝5，在Rt△ABN中，AN＝5，AB＝AD＝4，∴BN＝＝3，∴CN＝4﹣3＝1＝DM，在Rt△CDN中，DN＝＝，∵∠DPM＝∠DCN＝90°，∠PDM＝∠CDN，∴△PDM∽△CDN，∴＝，即＝，∴PM＝，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若＝，则＝　﹣　．【分析】设＝＝k，根据比例的性质得出a＝2k，b＝3k，再把a＝2k，b＝3k代入求出即可．【解答】解：设＝＝k，则a＝2k，b＝3k，所以＝＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．12．（3分）一个不透明的袋子中装有12个白球、9个黄球和若干个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现得到白球的频率稳定在0.4，则可判断袋子中黑球的个数为 　9　．【分析】由摸到白球的频率稳定在0.4附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．【解答】解：设黑球个数有x个，∵摸到白色球的频率稳定在0.4左右，∴解得：x＝9，故黑球的个数为9．故答案为：9．【点评】本题考查概率，正确理解概率的含义是解题关键．13．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＞﹣1　．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4+4m＞0，解得：m＞﹣1．故答案为：m＞﹣1．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．14．（3分）如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若AD＝4，则点G的坐标为 　（4，2）　．【分析】根据位似图形的概念得到BG∥CD，证明△OBG∽△OCD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∴BG∥CD，＝，∴△OBG∽△OCD，∴＝＝，即＝＝，解得：OB＝4，BG＝2，∴点G的坐标为（4，2），故答案为：（4，2）．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念得到BG∥CD是解题的关键．15．（3分）如图，矩形ABCD中，点M，N为边CD，AB的中点，点P，Q分别为射线DA，BC上一个动点，且DP＝BQ，分别以PM，QN为对称轴折叠△DMP，△BQN，得到△EMP，△FQN，点D，B的对应点分别为E，F，连接MF，EN．若AD＝6，AB＝10，当四边形MENF为菱形时，线段DP的长为 　或15　．【分析】分两种情况，当P，Q在点P，Q在边DA，BC上时，连接MN，EF交于点O，延长EF交BC于H，延长FE交AD于点G，根据勾股定理列方程可求出DP的长，当P，Q在点P，Q在边DA，BC的延长线上时，连接MN，EF交于点O，延长FE交BC于H，延长EF交AD于点G，同理可求出DP的长．【解答】解：当P，Q在点P，Q在边DA，BC上时，连接MN，EF交于点O，延长EF交BC于H，延长FE交AD于点G，如图：∵四边形MENF是菱形，∴MN⊥EF，OM＝ON，∵M，N分别是CD，AB的中点，∴DM＝AN，∵∠D＝90°，DM∥AN∴四边形DMNA是矩形，∴∠DMN＝90°，∴EF∥CD∥AB，四边形DMOG是矩形，∴DG＝CH＝OM＝AD＝3，∵M为CD的中点，∴DM＝CD＝5，由折叠的性质可知EM＝DM＝5，∴OE＝＝＝4，∴GE＝OG﹣OE＝1，设DP＝x＝EP，则PG＝3﹣x，∵EG2+PG2＝EP2，∴12+（3﹣x）2＝x2，解得x＝，∴DP＝，当P，Q在点P，Q在边DA，BC的延长线上时，连接MN，EF交于点O，延长FE交BC于H，延长EF交AD于点G，如图：同理可得DM＝EM＝5，OM＝3，∴OE＝4，∴EG＝OE+OG＝4+5＝9，设DP＝x＝EP，则PG＝DP﹣DG＝x﹣3，∵EG2+PG2＝EP2，∴92+（x﹣3）2＝x2，解得x＝15，∴DP＝15，综上所述，线段DP的长为或15．【点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能灵活运用勾股定理列方程解决问题及分类讨论思想的应用．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）用适当的方法解下列方程：（1）3x2﹣2x＝0；（2）x2﹣x﹣1＝0．【分析】（1）直接利用提取公因式法分解因式，再利用因式分解法解方程即可；（2）求出Δ＝b2﹣4ac的值，利用公式法解方程即可．【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0，x（3x﹣2）＝0，则x＝0或3x﹣2＝0，解得：x1＝0，x2＝； （2）x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，则此方程有两个不相等的实数根，x＝，故x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查了因式分解法以及公式法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．17．（9分）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．（1）若K1闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 　　；（2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）【分析】（1）利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）在K1闭合的情况下，任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为．故答案为：； （2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为6，所以小灯泡发光的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．18．（9分）图1是由7个相同的小正方体组成的几何体．（1）请在网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；（2）已知每个小正方体的棱长为1cm，则该几何体的表面积为 　28　cm2．【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可．（2）根据表面积的定义求解即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）这个组合几何体的表面积为（6×2+4×4）×1＝28（cm）2，故答案为：28．【点评】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．19．（9分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．（1）在AB上求作一点D，使△ABC∽△CBD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求△ACD的周长．【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，点D即为所求；（2）利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）如图，点D即为所求；（2）∵∠ACB＝90°，AC＝4，CB＝4，∴AB＝＝＝5，∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，∵△ABC∽△CBD，∴＝＝．∴△CBD的周长＝．【点评】本题考查作图﹣相似变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0的两根是一个矩形的两邻边的长．（1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；（2）当矩形的对角线长为5时，求m的值；（3）当m为何值时，矩形为正方形？【分析】（1）先求出判别式Δ的值，再根据“Δ”的意义证明即可；（2）设矩形的两边长分别为a，b，根据根与系数的关系a+b＝m+5，ab＝3m+6，再根据勾股定理建立方程就可以求出结论；（3）当Δ＝0时，由根的判别式就可以求出结论．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4×1×（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，因为不论m为何值，（m﹣1）2≥0，所以△≥0，所以无论m取什么实数值，该方程总有实数根；（2）解：设矩形的两边长分别为a，b，∴a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0的两根，∴a+b＝m+5，ab＝3m+6，∴（a+b）2＝（m+5）2，∴a2+b2+2ab＝m2+10m+25，∴a2+b2＝m2+10m+25﹣2（3m+6）＝m2+4m+13．∵a2+b2＝52，∴m2+4m+13＝25，解得：m1＝﹣6，m2＝2，∵a+b＝m+5＞0，∴m的值为2．（3）解：由题意，得Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4×1×（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2＝0，解得：m＝1．【点评】本题是一道一元二次方程的综合试题，考查了根的判别式的运用，根与系数的关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时灵活运用根的判别式是解答本题的关键．21．（9分）如图1，MN∥PQ，点A，B分别为MN，PQ上任意一点，连接AB，∠MAB，∠PBA的平分线交于点C，∠NAB，∠QBA的平分线交于点D． （1）求证：四边形ACBD为矩形；（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作EF∥AB分别交MN，PQ于点E，F，过点D作GH∥AB分别交MN，PQ于点G，H，求证：四边形EFHG为菱形．【分析】（1）由MN∥PQ，得∠MAB＝∠QBA，而∠BAC＝∠MAB，∠ABD＝∠QAB，则∠BAC＝∠ABD，所以AC∥BD，同理可证明∠AD∥BC，则四边形ACBD是平行四边形，再证明∠CAD＝90°，则四边形ACBD是矩形；（2）连接CD，由矩形的性质得AB＝CD，可证明四边形EFHG、四边形EFBA、四边形ABHG都是平行四边形，则EF＝AB，再证明四边形CDGE是平行四边形，则EG＝CD，所以EF＝EG，则四边形EFHG是菱形．【解答】证明：（1）如图1，∵MN∥PQ，∴∠MAB＝∠QBA，∴∠BAC＝∠MAB，∠ABD＝∠QAB，∴∠BAC＝∠ABD，∴AC∥BD，同理∠ABC＝∠BAD，∴∠AD∥BC，∴四边形ACBD是平行四边形，∵∠BAC＝∠MAB，∠BAD＝∠NAB，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝（∠MAB+∠NAB）＝×180°＝90°，∴四边形ACBD是矩形．（2）如图2，连接CD，∵EF∥AB，GH∥AB，∴EF∥GH，∵EG∥FH，∴四边形EFHG、四边形EFBA、四边形ABHG都是平行四边形，∴EF＝AB＝GH，AE＝BF，AG＝GH，∵∠EAC＝∠CAB＝∠ECA，∠FBC＝∠ABC＝∠FCB，∴CE＝AE，DF＝BF，∴CE＝CF＝EF，同理DG＝DH＝GH，∴CE＝DG，∵CE∥DG，∴四边形CDGE是平行四边形，∴EG＝CD，∵四边形ACBD是矩形，∴AB＝CD，∴EF＝EG，∴四边形EFHG是菱形．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、平行线的性质等知识，证明四边形EFHG、四边形EFBA、四边形ABHG都是平行四边形是解题的关键．22．（20分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，动点P从点A开始以每秒4个单位长度的速度匀速沿A﹣C﹣A运动，回到A点时停止运动，动点Q同时从点C开始以每秒1个单位长度的速度匀速沿C﹣B运动，到达B点时停止运动，点D为AB的中点，连接PQ，DP，DQ．设运动时间为t秒．（1）当点P沿A﹣C运动时，①BQ＝　5﹣t　，PC＝　12﹣4t　（用含t的式子表示）；②当DP⊥AB时，求t的值；（2）当△CPQ与△ABC相似时，直接写出t的值．【分析】（1）①根据BQ＝BC﹣CQ得出结果；②可根据cosA＝列出方程求得结果；（2）分为0＜t≤3和3＜t≤6两种情形：因为∠C＝∠C，所以△CPQ∽△CAB或△CPD∽△CBA，从而或，进一步得出结果．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝12，①BQ＝BC﹣CQ＝5﹣t，PC＝AC﹣AP＝12﹣4t，故答案为：5﹣t，12﹣4t；②如图1，∵∠C＝∠ADP＝90°，∴cosA＝，∴，∴t＝，∴当t＝时，PD⊥AB；（2）∵∠C＝∠C，∴△CPQ∽△CAB或△CPD∽△CBA，∴或，当0＜t≤3时，＝或，∴t＝或t＝，当3＜t≤6时，或，∴t＝（舍去）或t＝，综上所述：t＝或或．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，正确分类．