河南省郑州市二七区第四初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

这是一份河南省郑州市二七区第四初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级上期第三次课后练习活动数学
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 下列实数中，最小的是（ ）
A. －π B. －（－1） C. －|－2| D. －3
【答案】A
【解析】
【分析】先化简各数，进而根据实数的大小比较判断最小的值即可
详解】解：

最小的数是－π
故选A
【点睛】本题考查了实数大小比较，掌握实数的性质是解题的关键．
2. 如图是中5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【详解】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
【点睛】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
3. 2021年5月22日，中国工程院院士袁隆平在长沙不幸逝世．这位“共和国勋章获得者”的最大贡献是杂交水稻技术．2020年我国水稻种植面积4.5亿亩，其中50%左右是杂交水稻，则杂交水稻种植面积用科学记数法表示约为（ ）
A. 4.5×108亩 B. 2.25×108亩 C. 4.5×109亩 D. 2.25×109亩
【答案】B
【解析】
【分析】先计算杂交水稻种植面积，而科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到的后面，所以
【详解】解：亿亩
亩
故选：
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4. 将抛物线 向右移动 1 个单位，再向下移动 7 个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据在平面直角坐标系中函数图像平移的规律：左加右减，上加下减；即可得出答案．
【详解】解：抛物线 向右移动 1 个单位，再向下移动 7 个单位，
平移后的抛物线的解析式为：，
；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握在平面直角坐标系中函数图像平移的规律是解答此题的关键．
5. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图形利用正切函数求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴，
故选C．
【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．
6. 若关于x的一元二次方程ax2﹣4x＋2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a≤2 B. a≤2且a≠0 C. a＜2 D. a＜2且a≠0
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程有两个实数根，可得根的判别式的值不小于0，由此可得关于a的不等式，解不等式再结合一元二次方程的定义即可得答案
【详解】解：根据题意得a≠0且Δ＝（−4）2−4•a•2≥0，
解得a≤2且a≠0．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7. 已知（﹣1，y1），B（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝2x2+8x﹣1上的点，则下列结论正确的是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y3＜y1＜y2 D. y2＜y1＜y3
【答案】D
【解析】
【分析】把点，，的横坐标代入抛物线解析式，分别求出对应的函数值，即可求解
【详解】时，
时，
时，


故选：
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题关键．
8. 在平面直角坐标系中，二次函数（的图像如图所示，下列结论：①；② ；③；④；⑤若m为任意实数，则．其中正确的是（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①抛物线开口方向向下，则，
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即，
抛物线与y轴交于正半轴，则，
所以，
故①错误；
②∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，
∴当时，，
∴，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线，
∴,即，
故③错误；
④∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴,
故④正确；
⑤∵抛物线对称轴为直线，
∴函数的最大值为：,
∴,即,
故⑤正确；
故正确的结论有：②④⑤，共个，
故选：C．
【点睛】主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BF于点F，连接AF，若，则AF的长为（ ）

A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形的性质和垂直平分线的性质可证得是等边三角形，可得，由勾股定理可求出BC的长，由直角三角形的性质可求出，由勾股定理可求出AF的长.
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵DF垂直平分OC
∴
∴
∴是等边三角形，
在中，由勾股定理可得，
∵
∴
∴
∵是等边三角形，，
∴
在中，，由勾股定理可得
∴
∴
∴
∴
故选B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理，求出BF的长是本题的解题关键.
10. 如图，中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为 x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】当时，即点P在点B时，；再根据题意得，然后根据勾股定理求出的值，从而得解．
【详解】解：由函数图像知，当时，即点P在点B时，，
根据三角形两边之差小于第三边，得，
当点P在点E时，取最大值，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
，即，
，
或（不符合题意，舍去）
，
；
故选：D．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正确读懂函数图象、熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理是解答此题的关键．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11. 要使式子有意义，则实数取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据式子有意义，则≥0，≠0，解出x的范围即可．
【详解】∵式子有意义，
∴≥0，≠0，
解得：，，
故答案为：且．
【点睛】此题考查二次根式及分式有意义，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，及解不等式是解决本题的关键．
12. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：

由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，
所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为，
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
13. 如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是_________．

【答案】x4．
【解析】
【分析】数形结合，将不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集转化为直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方时对应的x的范围即可．
【详解】由图像可得，当x4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是：x4．
故答案为：x4．
【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数与不等式的关系，数形结合思想的运用是解题关键．
14. 如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为_________．

【答案】
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得FH＝AO＝，FHAO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，取OD的中点H，连接FH，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝AB＝1，BO＝＝DO，
∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，
∴FH＝AO＝，FHAO，
∴FH⊥BD，
∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，
∴OE＝，OH＝，
∴EH＝，
∴EF＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，点是的中点，点为射线上的一个动点，沿着折叠得到，连接，分别交和于点和，已知，，若与相似，则的长是______．

【答案】1或3
【解析】
【分析】分两种情形①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF．②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，分别求解．
【详解】解：①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴tan∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°，
∴∠AEM＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝AE•tan30°＝＝1，
②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，

由（1）可知，∠CAB＝30°，EN⊥AC
∴∠AEN=∠MEN=60°，
∵，
∴，
∴，
∴AF＝3，
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（共 8 小题，共 75 分）
16. 先化简，再求值：÷（x－），其中x为方程的实数根．
【答案】，1或
【解析】
【分析】先根据分式的性质，将式子化简，再求出的解，将方程的解代入化简后的式子算出结果即可．
【详解】解：原式=
=
=．
∵x是方程的实数根，
∴x＝3或x＝6；
当x＝3时，代入上式，结果＝=1；
当x＝6时，代入上式，结果=＝．
因此，结果为1或．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、解一元二次方程，根据分式的性质进行化简，熟练掌握解一元二次方程是方法是解题的关键．
17. 如图，在直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．

（1）请画出与关于x轴对称的．
（2）以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴的右侧画出．
（3）在y轴上存在点P，使得的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）P（0，4）或（0，-4）
【解析】
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）直接利用关于位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（3）直接利用三角形面积公式求出OP的长，故可得出答案．
【小问1详解】
如图，为所求；
【小问2详解】
如图，为所求；
【小问3详解】
如图，∵y轴上存在点P，使得的面积为6，
∴
∴
解得
∴P（0，4）或（0，-4）．

【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18. 某中学利用班会课对全校学生进行了一次防疫知识测试活动，现从初二、初三两个年级各随机抽取了15名学生测试成绩，得分用x表示（采取百分制，x为整数），共分成4组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息：
初二的测试成绩在C组中的数据为：80，86，88．
初三的测试成绩：76，83，100，88，81，100，82，71，95，90，100，93，89，86，86．
年级
平均数
中位数
最高分
众数
初二
88
a
98
98
初三
88
88
100
b

（1）a＝ ，b＝ ；
（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级学生对防疫知识的掌握更好？请写出一条理由；
（3）若初二、初三共有3000名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
【答案】（1）86，100；
（2）初三；理由见解析；
（3）1200人.
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的定义，可以得到a、b的值；
（2）根据题目中的数据，可以从中位数、最高分、众数来说明理由；
（3）利用样本估计总体，用3000乘以样本中测试成绩达到90分及以上的所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：由直方图可知，初二的测试成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在C组的第二个，
∵初二的测试成绩在C组中的数据为：80，86，88，
∴中位数a＝86，
∵初三的测试成绩：76，83，71，100，81，100，82，88，95，90，100，86，89，93，86．
∴按从小到大排列是：71，76，81，82，83，86，86，88，89，90，93，95，100，100，100，
∴众数b＝100；
故答案为：85，100；
【小问2详解】
解：我认为初三对防疫知识的掌握更好．
理由：两个年级的平均成绩一样，而初三的中位数、最高分、众数均高于初二，说明初三掌握的较好．
【小问3详解】
解：3000×＝1200（人），
答：此次测试成绩达到90分及以上的约有1200人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，直线与反比例函数的图像交于点，已知平行四边形的面积为6．

（1）求反比例函数的表达式及；
（2）若，求直线的表达式．
【答案】（1）；-2；
（2）
【解析】
【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，根据题意可得，矩形BCEO的面积等于平行四边形ABCD的面积，从而根据反比例函数k的意义得出k值，得到反比例函数的关系式，把点M的坐标代入反比例函数关系式，得出m的值即可；
（2）根据平行四边形的面积和AD的值，得出点B的坐标，用待定系数法求出直线AB的关系式即可．
【小问1详解】
过点C作CE⊥x轴于点E，如图所示：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∵∠BOA=∠CED=90°，
∴，
∴四边形BOEC为平行四边形，
∵∠CED=90°，
∴四边形BCEO为矩形，
∵矩形BCEO与平行四边形ABCD同底等高，
∴矩形BCEO的面积等于平行四边形ABCD的面积，
∴k=6，
∴反比例函数的表达式为；
把x=-3带入得：，即；
【小问2详解】
∵平行四边形ABCD的面积为6，AD=4，
∴，即点B的坐标为，
设直线AB的关系式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线AB的关系式为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中意义，用待定系数法求一次函数关系式，作出正确的辅助线是解题的关键．
20. 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：）

【答案】主塔的高度约为78m．
【解析】
【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题．
【详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∴，
∴m，
∴AB＝BC＝m，
答：主塔的高度约为78m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
21. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉样物．某商家开始古样物“冰墩墩”纪含品的销售．每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元．且不高于52元．销售期间发现．当销售单价定为44元时．每天可出售300个．销售单价每上涨1元．每天销量减少10个．现商家决定提价销售．设每天销售量为y个．销售单价为x元．
（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时．商家每天获利2400元：
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时．商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元
（2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大，最大利润是2640元
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出y与x的关系式．再根据总利润=单件利润×销售量，可列出关于x的一元二次方程，解出x，再舍去不合题意的值即可；
（2）根据题意可求出w与x的函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
由题意得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
当获利2400元时，即得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；
【小问2详解】
根据题意得：，
∵-10