河南省郑州市外国语中学2022-2023学年九年级下学期入学测试数学试题

这是一份河南省郑州市外国语中学2022-2023学年九年级下学期入学测试数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省郑州市外国语中学2022-2023学年九年级下学期入学测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（    ）
A． B．
C． D．
2．如图，该几何体的主视图是（    ）

A． B． C． D．
3．如图，两条直线被三条平行线所截，，，，长为（    ）

A． B．6 C． D．7
4．一曲高歌千古意！在河南博物院，随着华夏古乐团演出的场场爆满，需要将乐团进行壮大．原乐团彩排队伍有4行5列，现又增加了14人，若队伍增加的行、列数相同，设增加的行、列数为，下列方程符合题意的是（    ）
A． B．
C． D．
5．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（    ）

A． B． C． D．
6．顺次连接菱形中点得到的四边形具备，而平行四边形不具备的性质是（    ）
A．对角线相互平分 B．对角线相等
C．两组对角分别相等 D．两组对边分别平行
7．如图，是郑州的标志性建筑——“黑川章纪念馆”，以独特的飞碟造型吸引着人们前去打卡．若在圆形展厅边缘A处安装一台拍摄角度为60°的摄像头，想观察到其内部每一个位置，至少需在圆形边缘安装这样的摄像头（    ）

A．5台 B．4台 C．3台 D．2台
8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）
A． B．且 C．且 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，顶点的坐标为，将矩形绕点顺时针旋转，使得顶点的对应点落在原矩形对角线上，则点的对应点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，等腰，，，正方形中，、、在同一直线上，正方形沿射线方向平移，直到点与重合，若点的平移距离为，平移过程中两个图形重叠部分的面积为，则与的关系的函数图象表示正确的是（    ）

A． B．
C． D．

二、填空题
11．______．
12．已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、大小关系是______（用“<”连接）．
13．在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和6个白球，小明将其摇匀并随机摸出一个小球记录颜色后放回口袋，不断重复，共摸球400次，其中60次摸到白球，则盒中大约有黑球______个．
14．如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为：，则小明此次实心球训练的成绩为______米．

15．如图，四边形为矩形，、，点、分别为边、上动点，且，连接、，分别将和沿、翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，当平行于矩形一边时，长为______．


三、解答题
16．先化简，再求值：，其中是方程的解．
17．2022年10月12日15:45，“天宫课堂”第三课开讲了，神舟十四号乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲面向广大青少年进行太空授课．在约45分钟的授课中，神舟十四号飞行乘组生动演示了微重力环境下“毛细效应”实验、“水球变懒”实验、“太空趣味饮水”实验和“会调头的扳手”实验．某校组织全校学生观看了本次授课活动，并让同学们选出自己已最感兴趣的实验．学校随机抽取了部分学生对授课活动最感兴趣的实验进行了问卷调查：
调查问卷
请在表中选择一项你最感兴趣的实验（单选），在括号内打“√”，非常感谢你的合作．
．“毛细效应”实验（    ）          ．“水球变懒”实验（    ）
．“太空趣味饮水”实验（    ）      ．“会调头的扳手”实验（    ）

将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）
请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：

(1)参与本次问卷调查的总人数为______人；
扇形统计图中，“会调头的扳手”实验的圆心角是______度；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)若该校有3600名学生，请你估计选择“毛细效应”实验的有多少人；
(4)为弘扬科学精神，传播航天知识、感悟榜样精神与力量，学校决定开展“天地共播一粒种，种下小小科学梦”的主题活动，包含以下四个内容：①书写观后感；②演示科学实验；③绘制手抄报；④开展主题班会．刘老师在四张完全相同的卡片上分别写了①，②，③，④，然后背面朝上放置，搅匀后要求先由七年级代表从中随机抽取一张，记下标号后放回，再由八年级代表从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两个年级代表抽到的主题卡片中有②演示科学实验的概率．
18．如图，平面直角坐标系中，一次函数：与反比例函数：交于，两点．

(1)填空：______，______，______，______；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集：______；
(3)连接并延长交双曲线于点，连接、，求的面积．
19．如图，四边形中，，，于点．

(1)用尺规作的角平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，四边形是什么特殊的四边形？请加以证明；
(3)连接，若，，求长．
20．“麻、辣、鲜、香”，作为河南饮食的代表，逍遥镇胡辣汤不仅受到河南人民的喜爱，也深深吸引着全国各地的“辣友”！伴随其入选国家非物质文化遗产，它在“辣友”心中的地位又高了一大截．随着物价上升，其官方旗舰店现打算将袋装速食胡辣汤涨价销售，经过连续两次价格上调，每袋胡辣汤售价由每袋元涨到了每袋元，已知每袋胡辣汤的成本价为8元．
(1)求出这两次价格上调的平均增长率；
(2)经过市场调查发现，按每袋元出售时，平均每天售出袋，单价每上涨元，则平均每天的销售会减少袋，当日销售利润为元时，且让顾客获得更大的优惠，应将定价定为多少元？
(3)在（2）问条件下求函数最大值，若该网店销售速食胡辣汤每天的利润为元，售价为元，请求出与的函数解析式，当是多少时，最大，最大是多少？
21．泱泱华夏，择中建都！曾作为中原唯一的智能写字楼的裕达国贸酒店总高45层，它屹立于河南省会郑州市文化经济大动脉——中原中路南侧，交通网络直接与火车站和国际机场连接，四通八达、快捷便利，毗邻市政府、市直机关、电视台等城市功能中枢，曾被称之为郑州最高的建筑物．我校数学社团决定利用周末时间开展一次测量“裕达国贸高度”的课题活动，他们分为两个小组，设计了如下方案：（结果精确到0.01米）

课题：测量裕达国贸高度

甲组的测量报告
乙组的测量报告
测量工具
卷尺，测角仪
卷尺，平面镜
测量示意图


测量方案与测量数据
先在点处用距离底面0．5m的测角仪测出酒店顶端的仰角，再沿水平方向前进57米后到达处，测得酒店顶端的仰角；
在处放一面镜子，小明在处通过镜子反射刚好看到酒店的顶端，测得身高175cm的小明到平面镜的距离；
参考数据
，，．


(1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为______（填“甲组”或“乙组”）的测量报告存在问题；
(2)请根据正确的测量报告计算出裕达国贸酒店的高度；
(3)“官方”显示，裕达国贸高度为202.10m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
22．已知抛物线与轴负半轴、轴的负半轴分别交于点、，与轴正半轴交于点，且满足．

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)过轴上一动点作平行于轴的水平直线交抛物线于，两点，若线段长为5，求的值；
(3)已知点，，且线段与抛物线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
23．【问题背景】：
如图1，在中，，，，点是斜边的中点，过点作交于点．
【实验探究】：
（1）数学活动课中，小明同学将图1中的绕点按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①______；②直线与所夹锐角的度数为______；
（2）若我们继续将绕点按顺时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【拓展延伸】：
（3）在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．


参考答案：
1．D
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．A
【分析】从正面看，所得到的图形即为主视图，据此求解即可．
【详解】解：从正面看看到的是一个长方形，中间有两条竖着的实线，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．
3．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．B
【分析】根据增加了14人，队伍增加的行、列数相同，列出方程即可．
【详解】解：设增加的行、列数为，由题意，得：；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．正确的理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
5．A
【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可．
【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，，
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．
6．B
【分析】顺次连接菱形中点得到的四边形是矩形，根据矩形的特有性质解题即可．
【详解】解：顺次连接菱形中点得到的四边形是矩形，矩形具有而平行四边形不具有的性质为：对角线相等．
故选：B．
【点睛】本题考查中点四边形和矩形的性质，熟练掌握举行的性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据拍摄角度求出该角对应的弧的度数，根据圆的度数是，即可求出至少需要几台这样的摄像头．
【详解】解：由题意，可知：一台摄像头所对应的弧的度数为：，
∵，
∴至少需在圆形边缘安装这样的摄像头3台；
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理，利用摄像头角度得到该弧所对的角是解题的关键．
8．C
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：且．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
9．A
【分析】勾股定理求出的长，过点作轴于点，求出，利用含的直角三角形的性质，求出的长，即可得出结果．
【详解】解：∵的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∵将矩形绕点顺时针旋转，使得顶点的对应点落在原矩形对角线上，
∴，
∴，
过点作轴于点，

则：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查坐标系下图形的旋转，含角的直角三角形，解直角三角形．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
10．B
【分析】分三种情况解题计算解析式，在平面直角坐标系中画出函数图象解题即可．
【详解】解：如图，当 时，；

如图，当 时，

如图，当 时，

则画出函数图像符合B选项，
故选B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，分类讨论的数学思想是解题的关键．
11．0
【分析】先算特殊角的三角函数值，再进行减法运算即可．
【详解】解：；
故答案为：0．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
12．
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，
∵、、，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
13．34
【分析】可根据“白球数量÷黑白球总数=白球所占比例”作等量关系式，列出方程求解，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数”，“白球所占比例=随机摸到的白球次数÷总共摸球的次数”．
【详解】解：设盒子里有黑球x个，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴盒中大约有黑球34个．
答：估计盒中大约有黑球34个.
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
14．
【分析】求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标，即为所求．
【详解】解：当时：，
解得：（不合题意，舍去），
∴小明此次实心球训练的成绩为米；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标，是解题的关键．
15．或
【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．
【详解】解：分两种情况：①当时，如图1，过点作于G，过点作于H，延长交于N，延长交于M，

∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由折叠可得：，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵矩形，
易得四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴
∴，
易得四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得
，即，
解得：；
②当时，如图2，过点作于N，过点作于P，延长交于M，

由①知，
∴，
由折叠可得，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
易得四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得
，即，
解得：，
综上，长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关判定与性质定理是解题的关键，注意事项分类讨论思想的应用．
16．，
【分析】按照分式的运算法则，进行化简，因式分解法解一元二次方程，再选择合适的解代入求值即可．
【详解】解：原式


；
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程．熟练掌握分式的运算法则，以及因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．
17．(1)，
(2)补图见解析
(3)人
(4)

【分析】（1）利用“水球变懒”实验的人数除以百分比求出调查的总人数，利用“会调头的扳手”实验的百分比求圆心角度数即可；
（2）计算出“太空趣味饮水”实验的人数补图即可；
（3）用样本数据估计总体中“毛细效应”实验的人数即可；
（4）利用树状图求概率即可．
【详解】（1）解：(人)，
“会调头的扳手”实验的圆心角是
故答案为：，
（2）解：(人)

补图为：

（3）解：(人)
答：选择“毛细效应”实验的有人
（4）解：画树状图为：

由树状图可知，抽取到的结果共有16种等可能性，两个年级代表抽到的主题卡片中有②演示科学实验有7种，所以概率为．
【点睛】本题考查抽样调查和运用树状图求概率，能分析图表找出相关信息进行计算是解题的关键．
18．(1)，，，
(2)或
(3)

【分析】（1）把代入，可求得，从而有，再把代入，求得，从而得，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）利用图象法，直接由图象得出不等式解集即可；
（3）过点C作于D，过点B作于E，先利用反比例函数的对称性求出，再根据求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得
，解得：，
∴，
把代入，得，
∴
把，分别代入，得
，解得：；
（2）解：由图象可得，不等式的解集为或；
（3）解：过点C作于D，过点B作于E，如图，

∵并延长交双曲线于点，
∴点A与点C减地原点O对称，
∵
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查求一次函数与反比例函数解析式，利用图象法求不等式的解集，反比例函数性质，此题目属反比例函数与一次函数综合题目，难度一般，是中考常考题目，需要熟练掌握．
19．(1)见解析
(2)是是菱形，证明见解析
(3)

【分析】（1）利用基本作图作角平分线即可；
（2）先推导，然后利用菱形的判定方法证明即可；
（3）根据菱形的性质和勾股定理求出长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可．
【详解】（1）解：如图，的角平分线即为

（2）解：∵平分
∴

∵
∴
∴
∵
∴
∴是菱形
（3）解：∵是菱形
∴
∴
∵
∴

【点睛】本题考查基本作图—作角平分线，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
20．(1)这两次价格上调的平均增长率为
(2)应将定价定为元
(3)，当时，最大，最大为

【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为a，根据两次上调后由每袋元涨到了每袋元列出方程求解即可；
（2）设应将定价定为m元，则每天售出袋，然后根据利润（售价成本）数量列出方程求解即可；
（3）根据利润（售价成本）数量列出y关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设这两次价格上调的平均增长率为a，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴这两次价格上调的平均增长率为；
（2）解：设应将定价定为m元，则每天售出袋，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵让顾客获得更大的优惠，
∴，
∴应将定价定为元，
答：应将定价定为元；
（3）解：由题意得，，
∵，
∴当时，最大，最大为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和关系式是解题的关键．
21．(1)乙组
(2)
(3)误差为，建议多次测量求平均值

【分析】（1）乙组只有两个数据，无法完成测量，故乙组的测量报告存在问题；
（2）延长交于点，设，易得：，利用，求出的值，利用，即可得解；
（3）建议多次测量，求平均值．
【详解】（1）解：乙组的测量报告存在问题；
因为乙组只有两个数据，根据这两个数据可以求出光线与镜面的夹角，故在直角三角形中只能知道一个锐角，一个元素，无法求出直角三角形的其他元素，故乙组的测量报告存在问题；
故答案为：乙组；
（2）解：如图，延长交于点，则：，

由题意，得：，，，
设，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
解得：m，
∴，
∴m；
（3）解：误差为；
建议：多次测量求平均值．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．通过添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
22．(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）用表示出点坐标，进而求出点坐标，将点坐标，代入解析式，求出的值，即可得到抛物线的解析式，进而求出顶点坐标即可；
（2）根据题意，可知两点关于对称轴对称，进而求出的横坐标，代入解析式，即可求出的值；
（3）由题意，可知点不在抛物线上，点在直线上，根据二次函数的性质，当点的纵坐标小于等于时的函数值，线段与抛物线有且只有一个公共点，即可得解．
【详解】（1）解：与轴负半轴、轴的负半轴分别交于点、，
当时，，
∴，，
∵，
∴，
∴，解得：或（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为：；
∵，
∴抛物线的顶点坐标：；
（2）解：∵轴，
∴点三点的纵坐标相同，均为
∴点关于对称轴对称，
由（1）可知：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴两点的横坐标分别为：，
当时，，即：；
（3）解：由（1）可知：，
∴点不在抛物线上，
∵，
∴点在直线上，
∵，
当时，，
∴当时，即：时，线段与线段与抛物线有且只有一个公共点．

【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
23．（1）①②（2）成立，理由见解析（3）或
【分析】（1）①解直角三角形，分别求出的长，证明，得到；②根据，得到，利用字型图，得到即可；
（2）证明，得到，，利用字型图，求出直线与所夹锐角的度数即可；
（3）分点在之间，以及点在之间，两种情况，分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）①∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵点是斜边的中点，，
∴，，
∴，，
将绕点按顺时针方向旋转，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点，交于点，

则：，
∴（8字型图），即：直线与所夹锐角的度数为；
故答案为：；
（2）成立；理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设交于点，交于点，

则：，
∴（8字型图），即：直线与所夹锐角的度数为；
（3）①如图，当点在之间时，

∵、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）知：，，
∴，
∴，
∴



；
②如图，当点在之间时，

同①可得：，，
∴，
，，
∴，
∴，
∴



；
综上：的面积为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查含的直角三角形，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形的相似，是解题的关键．注意，分类讨论．