专题12 投影与视图（热考题型）-【一题三变系列】最新九年级数学下册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题12  投影与视图

【思维导图】

◎考点题型1  平行投影概念及特点

平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．

判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．

例．（2022·全国·九年级单元测试）房间窗户的边框的形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（　　）

A．三角形 B．平行四边形

C．圆 D．梯形

【答案】B

【分析】由于矩形边框的对边平行，则在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影的对边也平行或重合，所以她的投影不可能为三角形、圆、梯形．

【详解】解：在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形．

故选：B．

【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．

变式1．（2022·湖北湖北·一模）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受广大人们的喜爱，体现了“瑞雪兆丰年”的寓意及包容交流拼搏的理念．一名艺术爱好者雕刻制作了“冰墩墩”“雪容融”，并在中午12点观测到高为165cm的“冰墩墩”的影长为55cm，此时在同一地点的“雪容融”的影长为60cm，那么“雪容融”的高为（       ）

A．160cm B．170cm C．180cm D．185cm

【答案】C

【分析】在同一时刻物体的身高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，以及经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，通过相似比即可解决本题．

【详解】解：∵，

∴（cm），

故选：C．

【点睛】本题考查相似三角形的性质，能够根据对应边成比例列出方程，建立起适当的数学模型是解决本题的关键．

变式2．（2022·河北·模拟预测）媛媛拿一个等边三角形木框在阳光下玩（木框宽度忽略不计），等边三角形木框在地面上形成的投影不可能是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．

【详解】解：当等边三角形木框与阳光平行时，投影是A；

当等边三角形木框与阳光垂直时，投影是C；

当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影是D；

投影不可能是B．

故选：B．

【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同．

变式3．（2022·全国·九年级课时练习）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案．

【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上可知，选项B中的图形比较符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提．

◎考点题型2  平行投影与相似

解决此类问题的关键是掌握平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．通过构造三角形利用相似三角形的性质去解题即可．

例．（2022·四川达州·九年级期末）如图，身高1.5米的小明（AB）在太阳光下的影子AG长1.8米，此时，立柱CD的影子一部分是落在地面的CE，一部分是落在墙EF上的EH．若量得米，米，则立柱CD的高为（       ）．

A．2.5m B．2.7m C．3m D．3.6m

【答案】A

【分析】将太阳光视为平行光源，可得，MD=HE，即可得CM的值，故计算CD=CM+DM即可．

【详解】如图所示，过D点作BG平行线交FE于点H，过E点作BG平行线交CD于点M

∵BG//ME//DH

∴∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90°

∴，MD=HE

∴

∴

∴CD=CM+DM=1+1.5=2.5

故答案选：A．

【点睛】本题考查了相似三角形的判断即性质，由太阳光投影判断出平行关系进而求得相似是解题的关键．

变式1．（2021·山东师范大学第二附属中学九年级阶段练习）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度（　　）

A．12米 B．14米 C．16米 D．18米

【答案】C

【分析】同一时刻下，不同物体的高度比与影长比相等，画出示意图，找见相似，代入计算即可．

【详解】解：如下图：

过点C作CE⊥AB于点E，某一时刻竹竿和影长构成的三角形为△FGH，此时FG=1米，GH=1.5米，BD=EC=21米，CD=EB=2米．

据题意，同一时刻，

∴

∴

∴AE=14

∴AB=AE+BE=14+2=16米

故选：C

【点睛】本题考查平行投影，牢记知识点是解题关键．

变式2．（2021·全国·九年级专题练习）某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m.同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是 （ ）

A．1.25m B．10m C．20m D．8m

【答案】C

【详解】设该旗杆的高度为xm，

根据题意得，1.6：0.4=x：5，

解得：x=20（m）．

即该旗杆的高度是20m．

故选：C．

变式3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗框AB在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，，那么窗户的高AB为（       ）

A．1.5m B．1.6m C．1.8m D．2.5m

【答案】A

【分析】由于光线是平行的，因此BE和AD平行，可得两个三角形相似，根据相似三角形的性质，对应线段成比例，列出等式求解即可得出AB．

【详解】解：∵BE∥AD，

∴△BCE∽△ACD，

∴，即，

∵BC＝1，DE＝1.8，EC＝1.2，

∴，

解得：AB＝1.5．

故选：A．

【点睛】本题主要考查平行投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出窗户的高．

◎考点题型3  中心投影概念及特点

中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．

例．（2022·河南平顶山·九年级期末）下列结论正确的有（       ）

①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的

②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的

③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关

④物体在点光源照射下，影子的长短仅与物体的长短有关

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】利用平行投影和中心投影的特点进行逐项分析即可．

【详解】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；

②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；

③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；

④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．

所以正确的只有2个．

故选：B．

【点睛】本题考查了平行投影和中心投影的特点，解题关键是理解：平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．

变式1．（2022·江苏·东海实验中学三模）三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其俯视图如图所示，图中画出了其中一根木杆在灯光下的影子．下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯光下的影子的是（       ）

A．B． C． D．

【答案】A

【分析】根据中心投影的定义，结合中心投影下物体的影子的位置、长短进行判断即可．

【详解】解：A．根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项A符合题意；

B．由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B不符合题意；

C．根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项C不符合题意；

D．利用中心投影下影子位置可得，选项D中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题主要考查了中心投影，理解中心投影的意义，掌握中心投影下物体的影子的位置、长短关系是正确判断的前提．

变式2．（2022·内蒙古包头·九年级期末）如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（　　）

A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m

【答案】D

【分析】由题意过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，证△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，得，解得BC=1.2（m），DE=2.4（m），即可解决问题．

【详解】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，

则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH，

∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，

∴，

即，

解得：BC=1.2，DE=2.4，

∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），

即此时小明影子的长度缩短了1.2m.

故选：D．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及中心投影等知识；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．

变式3．（2021·江西景德镇·九年级期末）在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上他行走在这条路上如图，当他从点走到点的过程，他在灯光照射下的影长与所走路程的变化关系图象大致是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据中心投影的特点，当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，影长l逐渐变长，从而可对四个选项进行判断．

【详解】解：当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，影长l逐渐变长, 即随S的逐渐增大，l先由大变小，再由小变大，

故选：A．

【点睛】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键．

◎考点题型4 中心投影与相似

解答此类题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．

例．（2022·贵州毕节·九年级期末）如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（       ）

A．8 B．9 C．10 D．12

【答案】B

【分析】延长PA、PB交x轴于E、C，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于F，由A、B、P的坐标求出AB，PD，PF的长，证明△PEC∽△PAB，得到，代入数值求出结果．

【详解】解：延长PA、PB交x轴于E、C，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于F，

∵ 的坐标分别为．

∴AB=6-0=6，轴，

∵ ，

∴PD=6，PF=6-2=4，

∵轴，

∴△PEC∽△PAB，

∴

∴，

∴EC=9，

故选：B．

．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质，正确构造相似三角形进行证明是解题的关键．

变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．

【详解】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，

∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．

∴PD=1，PE=2，AB=3，

∵AB//A′B′，

∴△PAB∽△PA′B′，

∴，即，

∴A′B′=6，

故选：D．

【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．

变式2．（2021·河北·保定市莲池区冀英初级中学九年级期中）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，小方行走的路程AC＝（　　）

A．7.2 B．6.6 C．5.7 D．7.5

【答案】D

【分析】设出影长AB的长，利用相似三角形可以求得AB的长，然后在利用相似三角形求得AC的长即可．

【详解】解：∵AE⊥OD，OG⊥OD，

∴AE//OG，

∴∠AEB=∠OGB，∠EAB=∠GOB，

∴△AEB∽△OGB，

∴，即 ，

解得：AB＝2m；

∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，

∴DC＝AB+3=5m，OD=OA+AC+CD=AC+10，

∵FC∥GO，

∴∠CFD=∠OGD，∠FCD=∠GOD，

△DFC∽△DGO，

∴，

即，

解得：AC＝7.5m．

所以小方行走的路程为7.5m．

故选择：D．

【点睛】本题主要考查的是相似三角形在实际中的中心投影的应用，掌握相似三角形判断与性质，利用对应边成比例是解答本题的关键．

变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子的长为2m，已知王华的身高是1.5m，那么路灯A的高度等于（       ）

A．4.5m B．6m C．7.5m D．8m

【答案】B

【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．

【详解】解：如图，，，

∴，

∴（两个角对应相等的两个三角形相似），

∴，

设，则，

同理，得，

∴，

∴

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．

◎考点题型5 几何体的三视图

几何体的三视图，画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．

例．（2022·全国·九年级课时练习）下列几何体中，从左面看和从上面看得到的图形相同的是（       ）

A．B． C． D．

【答案】D

【分析】从左面看到的图形即为左视图，从上面看到的图形即为俯视图，结合图形找出各图形的俯视图以及左视图，然后进行判断即可．

【详解】解：A、左视图为一行两个相邻的小正方形，俯视图有两层，底层左边是一个小正方形，上层右边是一个小正方形，故此选项不符合题意；

B、左视图为矩形，俯视图为圆，故此选项不符合题意；

C、左视图为三角形，俯视图为中间有点的圆，故此选项不符合题意；

D、左视图为圆形，俯视图为圆形，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是明确从左面看到的图形即为左视图，从上面看到的图形即为俯视图．

变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图是由一个正方体，在底部截去了一个半圆柱的得到的几何体，则其是左视图是（       ）

A．B．C． D．

【答案】B

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【详解】解：从左边看外边是一个矩形，里边是一个矩形，里面矩形的宽用虚线表示，

故选：B．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．

变式2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．

【详解】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层有2个正方形．

故选：D

【点睛】本题考查的知识点是简单组合体的三视图，解本题的关键是读清题意，知道题目是需要哪个方向的视图再进行作答．

变式3．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）图中几何体的三视图是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．

【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为

故选C

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．