高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用优秀ppt课件

课题名

平面向量的应用举例(3)—正弦定理

教学目标

1.知识与技能:理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体会向量的工具性。

2.过程与方法:掌握正弦定理，能用正弦定理解三角形。

3.情感态度和价值观:培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。   。

教学重点

利用正弦定理解三角形的相关题型。

教学难点

灵活应用正弦定理解决三角形中的相关问题。

一、 新课导入

（一）   教师活动:

要解决现实生活中的三角形问题,只有余弦定理还有点欠缺？还有什么方法呢？

学生活动

 回忆平面向量的有关知识，结合三角形的特征，积极思考猜想三角形中边角之间还有什么关系。

（二）   设计意图

  向量作为应用工具引入教材，就是要对某些知识的解法简单化，思路清晰化，本节课略举一、二。

二、 新知讲授

（一）   教师活动

1.温故知新：

(1)余弦定理及表示形式：

   三角形中任何一边的平方，等于其它两边平分的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。    即      

(2)公式变形：          

其中

(3) 余弦定理可以解决的三角形问题：

 ①已知三角形的两边及其夹角，用余弦定理公式直接求解,计算边的长度.

②已知三角形的三条边，用余弦定理的变形公式直接求解，计算角的大小.

2.新知探究：

(1)问题：已知三角形，三个内角所对的边分别是,

且怎样用向量法来寻找边、角之间的关系呢？

(2)探究：在 中，过B作单位向量 ,      

0=       

          即

     同理可得，       =   

(3)正弦定理及其表示形式：

   在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=

(4)正弦定理可以解决的三角形问题：

  ①已知三角形的两角和一边，用正弦定理公式直接求解,计算其它两边的长度. （其中）

②已知三角形的两条边和其中一边的对角，用正弦定理公式直接求解，计算边的大小.

(5)正弦定理的适用范围：

  任意三角形都适用。若为直角三角形(设)，

由正弦定理 =        可得 =              

(其中R为外接圆的半径)     

可见正弦定理反映了一个三角形中一边与其对角正弦值的比是定值。

(6)已知两边及其一边的对角解三角形时解的情况讨论：：

 ① 问题：在 中，已知,讨论三角形解的情况：

 ② 探究：由=       可得      可求得B        则         从而

(i)当为钝角或直角时,必需才能有且只有一解，否在无解。

(ii)当A为锐角时，如果 ,则有一解；

    如果 ,则可以分以下三种情况讨论：(a) 若则有两解；

(b)若 则有一解；(c) 若 则无解。

学生活动

1. 新知探究：

(1) 在 中，过B作单位向量 ,      

0=       

         即

     同理可得，       =   

(2)正弦定理： 即=

(3) 问题：在 中，已知,讨论三角形解的情况：

    探究：由=       可得      可求得B        则         从而

(i)当为钝角或直角时,必需才能有且只有一解，否在无解。

(ii)当A为锐角时，如果 ,则有一解；

    如果 ,则可以分以下三种情况讨论：(a) 若则有两解；

(b)若 则有一解；(c) 若 则无解。

设计意图

激发学生积极思考的潜意识，检验学生课前预习的能力。

提出问题，共同解答问题中的要点及疑惑.

三、 知识巩固

1. 跟踪练习：

(1)在 中，若 ,则

解析：      

答案：.

(2)在 中，若 ,则

解析:                                或       故选D.

答案：D.

(3)在 中，若 ,且 则 .

      A.           B.           C.       D.

解析：在 中       

      又   且       

      =           

      或              选C    

答案：C.

课堂互动：

(1)在三角形中，若 ,则(       )

     A.            B.          C.         D.

解析:            又

                         故选B.

答案：B.

(2)在 中，若 ,则的形状为(      ).

      A. 直角             B. 等腰三角形

      C. 等边             D. 等腰直角三角形

解析: 在 中      且为锐角

      又        

  为等边三角形.     故选C

答案：C.

(3)在 中,三个内角所对的边分别是, 且

   , 则 角的大小为(            )

解析：由正弦定理，得

  设

答案：.

(4)在 中,已知.判断 的形状。

解析：       

                                        =            

              或

    或.

答案：是等腰三角形或直角三角形

3.素养训练：

(1) 在 中，角的对边分别为，且，则满足此条件的三角形个数是(　　     )

     A．0        B．1         C．2      D．无数个

解析:       且

            =

       此三角形无解.        故选A.

答案：A.

(2)在 中,三个内角所对的边分别是,且           

    ,则此三角形解的个数是（          ）.

      A.无解        B.有一解        C.有两解         D.不能确定

解析：     且     

      =         此三角形无解。   故选A.

答案：A.

课堂小结

1.正弦定理：=

2.在 中，已知,讨论三角形解的情况：

 (1)当为钝角或直角时,必需才能有且只有一解，否在无解。

 (2)当A为锐角时，如果 ,则有一解；

   如果 ,则可以分以下三种情况讨论：(i) 若则有两解；(ii)若 则有一解； (iii) 若 则无解。

拓展提升:

1．在中，怎样利用边和角的正弦表示三角形的面积呢？

布置作业

课本P48.      练习：    1、2、3.

课本P52.      习题6.4：       7. 

板书设计

1.正弦定理的表示形式：                                 3.

2.已知,讨论三角形解的情况：                       4.                                   

跟踪练习：1.                                 素养训练：1.

          2.                                           2.

          3.                                           3 .

课堂互动：1.                                 拓展提升：1..

          2.

教学反思

利用正弦定理求解三角形时注意解的个数的讨论。