高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用优质课ppt课件

课题名

正、余弦定理综合解三角形

教学目标

1.知识与技能:掌握正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用

2.过程与方法:灵活的应用正、余弦定理解答三角形问题。

3.情感态度和价值观:培养学生综合应用能力和逻辑推理能力 。

教学重点

利用正、余弦定理综合解三角形的相关题型。

教学难点

灵活应用正、余弦定理综合解决三角形中的相关问题。

一、 新课导入

（一）   教师活动:

正、余弦定理综合应用解答三角形的问题

学生活动

 回忆正、余弦定理的有关知识，结合三角形的特征，积极思考猜想三角形中边角之间的综合问题应该如何解答。

（二）   设计意图

 正、余弦定理综合解答三角形是高中数学中的重点内容之一，故要加强训练。

二、新知讲授

（一）   教师活动

1.温故知新：

(1)余弦定理的数学表达式：      

(2)公式变形：          

其中

(3)正弦定理的数学表达式： =

   (其中为三角形外接圆的半径.)

(4)公式变形: ①  

   ② 

   ③                

   ④  =2R

(5)余弦定理可以解决的三角形问题：

 ①已知三角形的两边及其夹角，用余弦定理公式直接求解,计算边的长度.

②已知三角形的三条边，用余弦定理的变形公式直接求解，计算角的大小.

(6)正弦定理可以解决的三角形问题：

  ① 已知三角形的两角和一边，用正弦定理公式直接求解,计算其它两边的长度. （其中）

② 已知三角形的两条边和其中一边的对角，用正弦定理公式直接求解，计算边的大小.

(7)在 中，已知,讨论三角形解的情况：

(i)当为钝角或直角时,必需才能有且只有一解，否在无解。

(ii)当A为锐角时，如果 ,则有一解；

    如果 ,则可以分以下三种情况讨论：(a) 若则有两解；

(b)若 则有一解；(c) 若 则无解。

(8)三角形的面积公式: 

学生活动

1. 温故知新：

(1) 余弦定理的数学表达式：      

(2)公式变形：          

其中

(3)正弦定理的数学表达式： =

   (其中为三角形外接圆的半径.)

(4)公式变形: ①  

   ② 

   ③                

   ④  =2R

(5)余弦定理可以解决的三角形问题：

 ①已知三角形的两边及其夹角，用余弦定理公式直接求解,计算边的长度.

②已知三角形的三条边，用余弦定理的变形公式直接求解，计算角的大小.

(6)正弦定理可以解决的三角形问题：

  ① 已知三角形的两角和一边，用正弦定理公式直接求解,计算其它两边的长度. （其中）

② 已知三角形的两条边和其中一边的对角，用正弦定理公式直接求解，计算边的大小.

(7) 问题：在 中，已知,讨论三角形解的情况：

    探究：由=       可得      可求得B        则         从而

(i)当为钝角或直角时,必需才能有且只有一解，否在无解。

(ii)当A为锐角时，如果 ,则有一解；

    如果 ,则可以分以下三种情况讨论：(a) 若则有两解；

(b)若 则有一解；(c) 若 则无解。

(8)三角形的面积公式: 

设计意图

激发学生积极思考的潜意识，检验学生学习和掌握知识的能力。

提出问题，共同回答问题中的要点及疑惑.

二、 知识巩固

1. 跟踪练习：

(1)在 中，若，，且,则的面积等于(    ).

   A.             B.            C. 或          D. 或

解析：      

      或       或

      =  或       故选D.      

答案：D.

(2)在中，设内角所对的边分别为，若，则的形状为(　   ）

     A．锐角三角形          B．直角三角形 

     C．钝角三角形          D．不确定

解析: 

               又      

               是直角三角形    故选B.

答案：B.

(3) 在 中，若(      ).

      A.         B.       C.      D.

法一：       

       即

法二：

答案：C.

课堂互动：

(1)在三角形中， BC边上的高等于，则 cosA=(           ).

                          .

解析: BC边上的高等于    设BC=3h, 则高等于h     又          AB=     AC=         故选B.

答案：B.

(2)在 中，若，为使此三角形只有一个，满足的条件是(                  )

       A.             B.

      C.            D.

解析:  在 中 ,当=b 时  

      为锐角        有一个.

      当=b 时      有一个    由    得 =1             综上可得C正确.

答案：C.

(3)在 中,三个内角所对的边分别是, 且 ，其面积为 ，则=(    )

       A.         B.          C.          D.

解析：             

 又         

答案：B.

(4)已知在 中， 分别是角 所对的边，S是该三角形的面积，若向量,   , 且 . 

① 求角B的大小；     ② 若角B为锐角，,求b的值.

解析: ①   , , 且     

        =          或

 ②  
   

答案：① 或              ②  

3.素养训练：

(1)在 中，角的对边分别为，且，则A=(           )

     A.         B.           C. 或          D. 或

解析:              又        =            

  =          .          故选A.

答案：A.

(2)在 中,三个内角所对的边分别是, 且

，则的周长是(       ).

     A.       B.       C.          D.

解析：       且       

                 故选C.

答案：C.

课堂小结:

1.余弦定理的数学表达式： 

2.公式变形：        

                      其中

3.正弦定理：=

4.公式变形: (1)

   (2)

   (3)             

5.

6.在 中，已知,讨论三角形解的情况：

 (1)当为钝角或直角时,必需才能有且只有一解，否在无解。

 (2)当A为锐角时，如果 ,则有一解；

   如果 ,则可以分以下三种情况讨论：(i) 若则有两解；(ii)若 则有一解； (iii) 若 则无解。

拓展提升:

1．在中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　    　）

     A．锐角三角形       B．直角三角形 

     C．钝角三角形         D．不能确定

解析：因为sin2A+sin2B＜sin2C    所以sinAcosA+sinBcosB<sinCcosC

      所以    

      化简，得    或  

      所以A 或B 为钝角        所以 为钝角三角形    故选C.

布置作业

课本P54.      习题6.4：     12、15、16、22. 

板书设计

1.正、余弦定理的表示形式：                             2.

2.公式变形：                                           3.                                   

跟踪练习：1.                                           4.

          2.                                  素养训练:1.

          3.                                           2.

课堂互动：1.                                 拓展提升：1..

教学反思

利用正、余弦定理求解三角形时注意公式的灵活应用。