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65， 陕西省西安市临潼区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷
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这是一份65， 陕西省西安市临潼区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+y＝xB．ax2+bx+c＝0
C．x2＝0D．
2．（3分）下列符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
5．（3分）掷一枚质地均匀的骰子，落地后向上一面的点数不小于四的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）已知反比例函数，且A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）三点均在函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OC⊥AB并交⊙O于点C，D为弦AB所对优弧上一点，连接AD，CD，若∠ADC＝35°，则∠ACB的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
8．（3分）若二次函数y＝2x2﹣3x+c的图象与坐标轴只有一个交点，则c的值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
10．（3分）某篮球队员站在罚球线上练习定点投篮，他对自己每次训练的投篮总次数以及对应投进篮环的次数分别做了统计，列表如下：
由表格数据可知，该队员投篮投进的概率为 .（结果保留至小数点后两位）
11．（3分）如图，在平行四边形ABCD内，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，交AD于点F，若EC＝6，FD＝2，则S△EDF：S△ABF＝ ．
12．（3分）已知反比例函数与正比例函数y＝k2x（k2≠0）图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若k1+k2＝3，则的值为 ．
13．（3分）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E是AB边上一点，且BE＝3，D为BC边上一动点，作∠EDF交AC边于点F，若∠EDF＝60°，则AF的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣4＝0．
15．（5分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转80°到△BDE处，连接CE，已知∠ACB＝40°，求证：∠ACE＝90°．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，请用尺规作图法，在AB边确定一点D，使△ABC∽△CBD．（不写作法，保留作图痕迹）
17．（5分）某商场销售一种服装，原价卖时，该服装每日销售额为4500元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价促销．经过两轮的促销活动后，该服装每日的销售额增长至6480元，求该种服装日销售额的每轮平均增长率．
18．（5分）小雨和小晴玩转盘游戏，小雨转动转盘A，小晴转动转盘B，转动转盘过程中，若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止．
（1）请问小雨转动转盘A一次，指针指到数字2的概率为 ；
（2）小雨小晴两人利用转盘进行游戏，游戏规定：若小晴转到的数字比小雨的数字大，则小晴赢；若小晴转到的数字比小雨的数字小，则小雨赢．若两人转到的数字相同，则重新转动各自的转盘一次，直到两人转到的数字不一样为止．请你判断该游戏公平吗？为什么？
19．（5分）某反比例函数图象如图所示，已知点A在该图象上，过点A作AC⊥y轴于与点C，B为x轴上一点，连接AB和CB，若S△ABC＝2，求该反比例函数的表达式．
20．（5分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC．求证：AB•EC＝AE•BC．
21．（6分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD∥AB，，连接CB，DB，求阴影部分的面积．
22．（7分）制作一种工艺品时，需先将材料加热到50℃，再进行后续操作．设整个过程所用时间为x（分钟），材料的温度为y（℃），材料加热过程中，温度y是时间x的一次函数，工艺品制作过程中，y是x的反比例函数，材料加热与工艺品制作过程中，y与x的函数图象如图所示．
（1）求工艺品制作过程中y与x的函数关系式；
（2）若此工艺品在制作过程中温度不能低于15℃，那么只加热一次后，最多几分钟后就得停止工艺品的制作？
23．（7分）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面和墙上，如图1所示．其中，BC段为地上的影子，AC段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度13.5cm，长度65cm的砖块，小明数了一下，BC段刚好是4块地砖的长度，而AC段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中MN为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE交AE的延长线于D点，延长DC与AB的延长线交于P点．
（1）求证：DP为⊙O的切线；
（2）若DC＝1，，求⊙O的半径．
25．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，已知OB＝3OA，OC＝OB．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA，若△PDA与△COA相似，请求出满足条件的P点坐标；若没有满足条件的P点，说明理由．
26．（10分）提出问题
如图1，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD．若AC＝8，BC＝6，则CD＝ ；
探究问题
如图2，在四边形ABCD，已知∠A＝∠C＝90°，求证：A，B，C，D四点共圆；
解决问题
某社区有如图3所示的直角三角形空地ABC，其中∠C＝90°，社区工作人员想在AB边上找一点D栽种一棵树，并同时在BC和AC边上各自找一点E和F，修筑DF，FE，ED三条小路，并且要求FD⊥DE，为了美化这片空地，社区人员想用一堆碎瓷片铺设在小路EF上，为了变废为宝，使这些碎瓷片得以全部利用，小路EF的长至少为5m，已知，为满足以上条件，请你帮社区工作人员计算一下，点D应该在AB边上，距A点多少米处？
2023-2024学年陕西省西安市临潼区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+y＝xB．ax2+bx+c＝0
C．x2＝0D．
【解答】解：A．方程2x2+y＝x中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程x2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意．
D．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣1为二次函数的顶点式，
∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
故选：A．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故选：C．
5．（3分）掷一枚质地均匀的骰子，落地后向上一面的点数不小于四的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意知，骰子有六个面，每面的数据不同，有六种可能，向上一面的点数不小于四的结果有3个，
所以向上一面的点数不小于四的概率为．
故选：D．
6．（3分）已知反比例函数，且A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）三点均在函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵k2+1＞0，
∴反比例函数y＝（k是常数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，而C（1，y3）在第一象限，
∴y1＜y2＜0，y3＞0，
∴y3＞y2＞y1．
故选：C．
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OC⊥AB并交⊙O于点C，D为弦AB所对优弧上一点，连接AD，CD，若∠ADC＝35°，则∠ACB的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【解答】解：在⊙O上取一点E，连接AE，BE，
∵OC⊥AB，OC是⊙O的半径，
∴，
∵∠ADC＝35°，
∴∠E＝2∠D＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠E＝110°，
故选：A．
8．（3分）若二次函数y＝2x2﹣3x+c的图象与坐标轴只有一个交点，则c的值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【解答】解：由题知，
因为二次函数y＝2x2﹣3x+c的图象与坐标轴只有一个交点，
所以此二次函数图象与x轴没有交点，
则（﹣3）2﹣4×2×c＜0，
解得c＞．
显然四个选项中只有D选项符合要求．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k＞0，
解得k＜．
故答案为：k＜．
10．（3分）某篮球队员站在罚球线上练习定点投篮，他对自己每次训练的投篮总次数以及对应投进篮环的次数分别做了统计，列表如下：
由表格数据可知，该队员投篮投进的概率为 0.80 .（结果保留至小数点后两位）
【解答】解：计算每次训练投进篮环的次数占投篮总次数的频率为：
7÷10＝0.7，
81÷100＝0.81，
160÷200＝0.8，
243÷300＝0.81，
401÷500＝0.802，
800÷1000＝0.8，
从频率的数据的变化情况可知，
当投篮次数无限大时，投进蓝环的频率越稳定在0.80附近波动，
所以该队员投篮投进的概率为0.80．
故答案为：0.80．
11．（3分）如图，在平行四边形ABCD内，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，交AD于点F，若EC＝6，FD＝2，则S△EDF：S△ABF＝ 1：4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ABE＝∠E，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠E，
∴BC＝BE＝6，
∴AD＝6，
∴AF＝AD﹣DF＝6﹣2＝4，
∵DE∥AB，
∴△EDF∽△BAF，
∴＝（）2＝（）2＝．
故答案为：1：4．
12．（3分）已知反比例函数与正比例函数y＝k2x（k2≠0）图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若k1+k2＝3，则的值为 0 ．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数y＝k2x（k2≠0）图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴＝﹣x1y1﹣+3＝﹣k1﹣k2+3，
∵k1+k2＝3，
∴＝﹣x1y1﹣+3＝﹣k1﹣k2+3＝﹣（k1+k2）+3＝0，
故答案为：0．
13．（3分）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E是AB边上一点，且BE＝3，D为BC边上一动点，作∠EDF交AC边于点F，若∠EDF＝60°，则AF的最小值为 ．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，
设BD＝x，则CD＝4﹣x，
∵∠EDC＝∠B+∠BED，
即∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，
而∠EDF＝60°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴△CDF∽△BED，
∴CF：BD＝CD：BE，即CF：x＝（4﹣x）：3，
∴CF＝﹣x2+x，
∵CF＝﹣（x﹣2）2+，
∴当x＝2时，CF有最大值，
∴AF有最小值为4﹣＝．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣4＝0．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9+32＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
15．（5分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转80°到△BDE处，连接CE，已知∠ACB＝40°，求证：∠ACE＝90°．
【解答】证明：∵将△ABC绕点B顺时针旋转80°到△BDE处，
∴BC＝BE，∠CBE＝80°，
∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝40°+50°＝90°．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，请用尺规作图法，在AB边确定一点D，使△ABC∽△CBD．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图，点D即为所求．
17．（5分）某商场销售一种服装，原价卖时，该服装每日销售额为4500元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价促销．经过两轮的促销活动后，该服装每日的销售额增长至6480元，求该种服装日销售额的每轮平均增长率．
【解答】解：设该种服装日销售额的每轮平均增长率为x，
由题意得：4500（1+x）2＝6480，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）
答：该种服装日销售额的每轮平均增长率为20%．
18．（5分）小雨和小晴玩转盘游戏，小雨转动转盘A，小晴转动转盘B，转动转盘过程中，若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止．
（1）请问小雨转动转盘A一次，指针指到数字2的概率为 ；
（2）小雨小晴两人利用转盘进行游戏，游戏规定：若小晴转到的数字比小雨的数字大，则小晴赢；若小晴转到的数字比小雨的数字小，则小雨赢．若两人转到的数字相同，则重新转动各自的转盘一次，直到两人转到的数字不一样为止．请你判断该游戏公平吗？为什么？
【解答】解：（1）由题意可知，小雨转动转盘A一次，指针指到数字2的概率为，
故答案为：；
（2）该游戏不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小晴转到的数字比小雨的数字大的结果有6种，小晴转到的数字比小雨的数字小的结果有3种，
∴小晴赢的概率＝＝，小雨赢的概率＝＝，
∵≠，
∴该游戏不公平．
19．（5分）某反比例函数图象如图所示，已知点A在该图象上，过点A作AC⊥y轴于与点C，B为x轴上一点，连接AB和CB，若S△ABC＝2，求该反比例函数的表达式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），A（a，b），
∵函数图象在第二、四象限，
∴k＜0，k＝ab，
∵S△ABC＝2，
∴|a|•b＝2，
∴﹣ab＝4，
∴ab＝﹣4，即k＝﹣4，
∴此函数的解析式为y＝﹣．
20．（5分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC．求证：AB•EC＝AE•BC．
【解答】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠CBE，
而∠BAD＝∠C，
∴∠AEB＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵∠ABF＝∠CBE，∠BAF＝∠C，
∴△ABF∽△CBE，
∴AB：BC＝AF：EC，
∴AB•EC＝AF•BC，
而AF＝AE，
∴AB•EC＝AE•BC．
21．（6分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD∥AB，，连接CB，DB，求阴影部分的面积．
【解答】解：连接OC、OD，
∵CD∥AB，
∴S△BCD＝S△OCD，
则S阴影＝S扇形COD，
∵，直径AB＝10，
∴CD＝5，OC＝OD＝OB＝5，
∵OC2+OD2＝50＝CD2，
∴∠COD＝90°，
则S阴影＝S扇形COD＝＝．
22．（7分）制作一种工艺品时，需先将材料加热到50℃，再进行后续操作．设整个过程所用时间为x（分钟），材料的温度为y（℃），材料加热过程中，温度y是时间x的一次函数，工艺品制作过程中，y是x的反比例函数，材料加热与工艺品制作过程中，y与x的函数图象如图所示．
（1）求工艺品制作过程中y与x的函数关系式；
（2）若此工艺品在制作过程中温度不能低于15℃，那么只加热一次后，最多几分钟后就得停止工艺品的制作？
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（0≤x≤6），
∵点（0，10），（6，50）在一次函数图象上，
，
∴，
∴一次函数解析式为：y＝（0≤x≤6），
设反比例函数解析式为：y＝，
∵点（6，50）在反比例函数图象上，
∴m＝300，
∴反比例函数解析式为：y＝（x≥6）．
（2）当y＝15时，x＝20，
20﹣6＝14（分钟）
答：加热一次后最多14分钟后就得停止工艺品的制作．
23．（7分）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面和墙上，如图1所示．其中，BC段为地上的影子，AC段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度13.5cm，长度65cm的砖块，小明数了一下，BC段刚好是4块地砖的长度，而AC段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中MN为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
【解答】解：如图：过点A作AE⊥BD，垂足为E，
由题意得：AC＝BE＝4×13.5＝54（cm），AE＝BC＝4×65＝260（cm），
∵指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，
∴＝，
∴DE＝AE＝130（cm），
∴BD＝DE+BE＝130+54＝184（cm），
∴爸爸的身高为184cm．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE交AE的延长线于D点，延长DC与AB的延长线交于P点．
（1）求证：DP为⊙O的切线；
（2）若DC＝1，，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，
∵AC是∠EAB的平分线，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCP＝∠D＝90°，
∴半径OC⊥DC，
∴DP为⊙O切线；
（2）解：连接BC，如图2，
∵∠D＝90°，DC＝1，AC＝，
∴AD＝＝2，
∵∠OAC＝∠OCA，∠ACB＝∠D，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，即AC2＝AD•AB，
则AB＝＝，
∴⊙O的半径长为．
25．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，已知OB＝3OA，OC＝OB．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA，若△PDA与△COA相似，请求出满足条件的P点坐标；若没有满足条件的P点，说明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OB＝3OA，OC＝OB，
∴OB＝OC＝3．
∴B（3，0），C（0，3），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点A，B，C，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD⊥x轴，P为第一象限内抛物线上一点，
∴m＞0，OD＝m，PD＝﹣m2+2m+3，
∴AD＝OA+OD＝m+1，
∵△PDA与△COA相似，
∴或，
∴或．
解得：m1＝0，m2＝﹣1或m3＝﹣1，m4＝．
∵m＞0，
∴m＝．
∴△PDA与△COA相似，满足条件的P点坐标为（，）．
26．（10分）提出问题
如图1，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD．若AC＝8，BC＝6，则CD＝ 5 ；
探究问题
如图2，在四边形ABCD，已知∠A＝∠C＝90°，求证：A，B，C，D四点共圆；
解决问题
某社区有如图3所示的直角三角形空地ABC，其中∠C＝90°，社区工作人员想在AB边上找一点D栽种一棵树，并同时在BC和AC边上各自找一点E和F，修筑DF，FE，ED三条小路，并且要求FD⊥DE，为了美化这片空地，社区人员想用一堆碎瓷片铺设在小路EF上，为了变废为宝，使这些碎瓷片得以全部利用，小路EF的长至少为5m，已知，为满足以上条件，请你帮社区工作人员计算一下，点D应该在AB边上，距A点多少米处？
【解答】解：提出问题：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵D为AB边的中点，
∴CD＝AB＝5，
故答案为：5；
探究问题：连接BD，取BD的中点，连接AO，CO，
∵∠A＝∠C＝90°，点O是BD的中点，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴A，B，C，D四点共圆；
解决问题：
当E与C重合时，圆心O在AC上，OD⊙O于D，此时AD最小．
如图：
∵OD＝OC＝EF＝，
∴AO＝AC﹣OC＝，
∴AD2＝AO2﹣OD2＝（）2﹣（）2＝（+）（﹣）＝（﹣5）＝45﹣15，
∴AD＝＝＝＝＝（﹣1）×＝；
当CD⊥AB时，CD最小，故此时AD最大，此时CD⊙O直径．
如图：
∴CD＝EF＝5，
∴AD＝＝＝2；
综上所述，点D距A点为：或2米处．
投篮次数
10
100
200
300
500
1000
投中次数
7
81
160
243
401
800
投篮次数
10
100
200
300
500
1000
投中次数
7
81
160
243
401
800
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+y＝xB．ax2+bx+c＝0
C．x2＝0D．
2．（3分）下列符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
5．（3分）掷一枚质地均匀的骰子，落地后向上一面的点数不小于四的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）已知反比例函数，且A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）三点均在函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OC⊥AB并交⊙O于点C，D为弦AB所对优弧上一点，连接AD，CD，若∠ADC＝35°，则∠ACB的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
8．（3分）若二次函数y＝2x2﹣3x+c的图象与坐标轴只有一个交点，则c的值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
10．（3分）某篮球队员站在罚球线上练习定点投篮，他对自己每次训练的投篮总次数以及对应投进篮环的次数分别做了统计，列表如下：
由表格数据可知，该队员投篮投进的概率为 .（结果保留至小数点后两位）
11．（3分）如图，在平行四边形ABCD内，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，交AD于点F，若EC＝6，FD＝2，则S△EDF：S△ABF＝ ．
12．（3分）已知反比例函数与正比例函数y＝k2x（k2≠0）图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若k1+k2＝3，则的值为 ．
13．（3分）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E是AB边上一点，且BE＝3，D为BC边上一动点，作∠EDF交AC边于点F，若∠EDF＝60°，则AF的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣4＝0．
15．（5分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转80°到△BDE处，连接CE，已知∠ACB＝40°，求证：∠ACE＝90°．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，请用尺规作图法，在AB边确定一点D，使△ABC∽△CBD．（不写作法，保留作图痕迹）
17．（5分）某商场销售一种服装，原价卖时，该服装每日销售额为4500元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价促销．经过两轮的促销活动后，该服装每日的销售额增长至6480元，求该种服装日销售额的每轮平均增长率．
18．（5分）小雨和小晴玩转盘游戏，小雨转动转盘A，小晴转动转盘B，转动转盘过程中，若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止．
（1）请问小雨转动转盘A一次，指针指到数字2的概率为 ；
（2）小雨小晴两人利用转盘进行游戏，游戏规定：若小晴转到的数字比小雨的数字大，则小晴赢；若小晴转到的数字比小雨的数字小，则小雨赢．若两人转到的数字相同，则重新转动各自的转盘一次，直到两人转到的数字不一样为止．请你判断该游戏公平吗？为什么？
19．（5分）某反比例函数图象如图所示，已知点A在该图象上，过点A作AC⊥y轴于与点C，B为x轴上一点，连接AB和CB，若S△ABC＝2，求该反比例函数的表达式．
20．（5分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC．求证：AB•EC＝AE•BC．
21．（6分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD∥AB，，连接CB，DB，求阴影部分的面积．
22．（7分）制作一种工艺品时，需先将材料加热到50℃，再进行后续操作．设整个过程所用时间为x（分钟），材料的温度为y（℃），材料加热过程中，温度y是时间x的一次函数，工艺品制作过程中，y是x的反比例函数，材料加热与工艺品制作过程中，y与x的函数图象如图所示．
（1）求工艺品制作过程中y与x的函数关系式；
（2）若此工艺品在制作过程中温度不能低于15℃，那么只加热一次后，最多几分钟后就得停止工艺品的制作？
23．（7分）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面和墙上，如图1所示．其中，BC段为地上的影子，AC段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度13.5cm，长度65cm的砖块，小明数了一下，BC段刚好是4块地砖的长度，而AC段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中MN为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE交AE的延长线于D点，延长DC与AB的延长线交于P点．
（1）求证：DP为⊙O的切线；
（2）若DC＝1，，求⊙O的半径．
25．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，已知OB＝3OA，OC＝OB．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA，若△PDA与△COA相似，请求出满足条件的P点坐标；若没有满足条件的P点，说明理由．
26．（10分）提出问题
如图1，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD．若AC＝8，BC＝6，则CD＝ ；
探究问题
如图2，在四边形ABCD，已知∠A＝∠C＝90°，求证：A，B，C，D四点共圆；
解决问题
某社区有如图3所示的直角三角形空地ABC，其中∠C＝90°，社区工作人员想在AB边上找一点D栽种一棵树，并同时在BC和AC边上各自找一点E和F，修筑DF，FE，ED三条小路，并且要求FD⊥DE，为了美化这片空地，社区人员想用一堆碎瓷片铺设在小路EF上，为了变废为宝，使这些碎瓷片得以全部利用，小路EF的长至少为5m，已知，为满足以上条件，请你帮社区工作人员计算一下，点D应该在AB边上，距A点多少米处？
2023-2024学年陕西省西安市临潼区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+y＝xB．ax2+bx+c＝0
C．x2＝0D．
【解答】解：A．方程2x2+y＝x中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程x2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意．
D．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）下列符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣1为二次函数的顶点式，
∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
故选：A．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故选：C．
5．（3分）掷一枚质地均匀的骰子，落地后向上一面的点数不小于四的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意知，骰子有六个面，每面的数据不同，有六种可能，向上一面的点数不小于四的结果有3个，
所以向上一面的点数不小于四的概率为．
故选：D．
6．（3分）已知反比例函数，且A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）三点均在函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵k2+1＞0，
∴反比例函数y＝（k是常数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，而C（1，y3）在第一象限，
∴y1＜y2＜0，y3＞0，
∴y3＞y2＞y1．
故选：C．
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OC⊥AB并交⊙O于点C，D为弦AB所对优弧上一点，连接AD，CD，若∠ADC＝35°，则∠ACB的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【解答】解：在⊙O上取一点E，连接AE，BE，
∵OC⊥AB，OC是⊙O的半径，
∴，
∵∠ADC＝35°，
∴∠E＝2∠D＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠E＝110°，
故选：A．
8．（3分）若二次函数y＝2x2﹣3x+c的图象与坐标轴只有一个交点，则c的值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【解答】解：由题知，
因为二次函数y＝2x2﹣3x+c的图象与坐标轴只有一个交点，
所以此二次函数图象与x轴没有交点，
则（﹣3）2﹣4×2×c＜0，
解得c＞．
显然四个选项中只有D选项符合要求．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k＞0，
解得k＜．
故答案为：k＜．
10．（3分）某篮球队员站在罚球线上练习定点投篮，他对自己每次训练的投篮总次数以及对应投进篮环的次数分别做了统计，列表如下：
由表格数据可知，该队员投篮投进的概率为 0.80 .（结果保留至小数点后两位）
【解答】解：计算每次训练投进篮环的次数占投篮总次数的频率为：
7÷10＝0.7，
81÷100＝0.81，
160÷200＝0.8，
243÷300＝0.81，
401÷500＝0.802，
800÷1000＝0.8，
从频率的数据的变化情况可知，
当投篮次数无限大时，投进蓝环的频率越稳定在0.80附近波动，
所以该队员投篮投进的概率为0.80．
故答案为：0.80．
11．（3分）如图，在平行四边形ABCD内，BE平分∠ABC交CD延长线于点E，交AD于点F，若EC＝6，FD＝2，则S△EDF：S△ABF＝ 1：4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ABE＝∠E，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠E，
∴BC＝BE＝6，
∴AD＝6，
∴AF＝AD﹣DF＝6﹣2＝4，
∵DE∥AB，
∴△EDF∽△BAF，
∴＝（）2＝（）2＝．
故答案为：1：4．
12．（3分）已知反比例函数与正比例函数y＝k2x（k2≠0）图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若k1+k2＝3，则的值为 0 ．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数y＝k2x（k2≠0）图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴＝﹣x1y1﹣+3＝﹣k1﹣k2+3，
∵k1+k2＝3，
∴＝﹣x1y1﹣+3＝﹣k1﹣k2+3＝﹣（k1+k2）+3＝0，
故答案为：0．
13．（3分）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E是AB边上一点，且BE＝3，D为BC边上一动点，作∠EDF交AC边于点F，若∠EDF＝60°，则AF的最小值为 ．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，
设BD＝x，则CD＝4﹣x，
∵∠EDC＝∠B+∠BED，
即∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，
而∠EDF＝60°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴△CDF∽△BED，
∴CF：BD＝CD：BE，即CF：x＝（4﹣x）：3，
∴CF＝﹣x2+x，
∵CF＝﹣（x﹣2）2+，
∴当x＝2时，CF有最大值，
∴AF有最小值为4﹣＝．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣4＝0．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9+32＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
15．（5分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转80°到△BDE处，连接CE，已知∠ACB＝40°，求证：∠ACE＝90°．
【解答】证明：∵将△ABC绕点B顺时针旋转80°到△BDE处，
∴BC＝BE，∠CBE＝80°，
∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝40°+50°＝90°．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，请用尺规作图法，在AB边确定一点D，使△ABC∽△CBD．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图，点D即为所求．
17．（5分）某商场销售一种服装，原价卖时，该服装每日销售额为4500元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价促销．经过两轮的促销活动后，该服装每日的销售额增长至6480元，求该种服装日销售额的每轮平均增长率．
【解答】解：设该种服装日销售额的每轮平均增长率为x，
由题意得：4500（1+x）2＝6480，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）
答：该种服装日销售额的每轮平均增长率为20%．
18．（5分）小雨和小晴玩转盘游戏，小雨转动转盘A，小晴转动转盘B，转动转盘过程中，若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止．
（1）请问小雨转动转盘A一次，指针指到数字2的概率为 ；
（2）小雨小晴两人利用转盘进行游戏，游戏规定：若小晴转到的数字比小雨的数字大，则小晴赢；若小晴转到的数字比小雨的数字小，则小雨赢．若两人转到的数字相同，则重新转动各自的转盘一次，直到两人转到的数字不一样为止．请你判断该游戏公平吗？为什么？
【解答】解：（1）由题意可知，小雨转动转盘A一次，指针指到数字2的概率为，
故答案为：；
（2）该游戏不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小晴转到的数字比小雨的数字大的结果有6种，小晴转到的数字比小雨的数字小的结果有3种，
∴小晴赢的概率＝＝，小雨赢的概率＝＝，
∵≠，
∴该游戏不公平．
19．（5分）某反比例函数图象如图所示，已知点A在该图象上，过点A作AC⊥y轴于与点C，B为x轴上一点，连接AB和CB，若S△ABC＝2，求该反比例函数的表达式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），A（a，b），
∵函数图象在第二、四象限，
∴k＜0，k＝ab，
∵S△ABC＝2，
∴|a|•b＝2，
∴﹣ab＝4，
∴ab＝﹣4，即k＝﹣4，
∴此函数的解析式为y＝﹣．
20．（5分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC．求证：AB•EC＝AE•BC．
【解答】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠CBE，
而∠BAD＝∠C，
∴∠AEB＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵∠ABF＝∠CBE，∠BAF＝∠C，
∴△ABF∽△CBE，
∴AB：BC＝AF：EC，
∴AB•EC＝AF•BC，
而AF＝AE，
∴AB•EC＝AE•BC．
21．（6分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD∥AB，，连接CB，DB，求阴影部分的面积．
【解答】解：连接OC、OD，
∵CD∥AB，
∴S△BCD＝S△OCD，
则S阴影＝S扇形COD，
∵，直径AB＝10，
∴CD＝5，OC＝OD＝OB＝5，
∵OC2+OD2＝50＝CD2，
∴∠COD＝90°，
则S阴影＝S扇形COD＝＝．
22．（7分）制作一种工艺品时，需先将材料加热到50℃，再进行后续操作．设整个过程所用时间为x（分钟），材料的温度为y（℃），材料加热过程中，温度y是时间x的一次函数，工艺品制作过程中，y是x的反比例函数，材料加热与工艺品制作过程中，y与x的函数图象如图所示．
（1）求工艺品制作过程中y与x的函数关系式；
（2）若此工艺品在制作过程中温度不能低于15℃，那么只加热一次后，最多几分钟后就得停止工艺品的制作？
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（0≤x≤6），
∵点（0，10），（6，50）在一次函数图象上，
，
∴，
∴一次函数解析式为：y＝（0≤x≤6），
设反比例函数解析式为：y＝，
∵点（6，50）在反比例函数图象上，
∴m＝300，
∴反比例函数解析式为：y＝（x≥6）．
（2）当y＝15时，x＝20，
20﹣6＝14（分钟）
答：加热一次后最多14分钟后就得停止工艺品的制作．
23．（7分）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面和墙上，如图1所示．其中，BC段为地上的影子，AC段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度13.5cm，长度65cm的砖块，小明数了一下，BC段刚好是4块地砖的长度，而AC段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中MN为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
【解答】解：如图：过点A作AE⊥BD，垂足为E，
由题意得：AC＝BE＝4×13.5＝54（cm），AE＝BC＝4×65＝260（cm），
∵指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，
∴＝，
∴DE＝AE＝130（cm），
∴BD＝DE+BE＝130+54＝184（cm），
∴爸爸的身高为184cm．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE交AE的延长线于D点，延长DC与AB的延长线交于P点．
（1）求证：DP为⊙O的切线；
（2）若DC＝1，，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，
∵AC是∠EAB的平分线，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCP＝∠D＝90°，
∴半径OC⊥DC，
∴DP为⊙O切线；
（2）解：连接BC，如图2，
∵∠D＝90°，DC＝1，AC＝，
∴AD＝＝2，
∵∠OAC＝∠OCA，∠ACB＝∠D，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，即AC2＝AD•AB，
则AB＝＝，
∴⊙O的半径长为．
25．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，已知OB＝3OA，OC＝OB．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA，若△PDA与△COA相似，请求出满足条件的P点坐标；若没有满足条件的P点，说明理由．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OB＝3OA，OC＝OB，
∴OB＝OC＝3．
∴B（3，0），C（0，3），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点A，B，C，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD⊥x轴，P为第一象限内抛物线上一点，
∴m＞0，OD＝m，PD＝﹣m2+2m+3，
∴AD＝OA+OD＝m+1，
∵△PDA与△COA相似，
∴或，
∴或．
解得：m1＝0，m2＝﹣1或m3＝﹣1，m4＝．
∵m＞0，
∴m＝．
∴△PDA与△COA相似，满足条件的P点坐标为（，）．
26．（10分）提出问题
如图1，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD．若AC＝8，BC＝6，则CD＝ 5 ；
探究问题
如图2，在四边形ABCD，已知∠A＝∠C＝90°，求证：A，B，C，D四点共圆；
解决问题
某社区有如图3所示的直角三角形空地ABC，其中∠C＝90°，社区工作人员想在AB边上找一点D栽种一棵树，并同时在BC和AC边上各自找一点E和F，修筑DF，FE，ED三条小路，并且要求FD⊥DE，为了美化这片空地，社区人员想用一堆碎瓷片铺设在小路EF上，为了变废为宝，使这些碎瓷片得以全部利用，小路EF的长至少为5m，已知，为满足以上条件，请你帮社区工作人员计算一下，点D应该在AB边上，距A点多少米处？
【解答】解：提出问题：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵D为AB边的中点，
∴CD＝AB＝5，
故答案为：5；
探究问题：连接BD，取BD的中点，连接AO，CO，
∵∠A＝∠C＝90°，点O是BD的中点，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴A，B，C，D四点共圆；
解决问题：
当E与C重合时，圆心O在AC上，OD⊙O于D，此时AD最小．
如图：
∵OD＝OC＝EF＝，
∴AO＝AC﹣OC＝，
∴AD2＝AO2﹣OD2＝（）2﹣（）2＝（+）（﹣）＝（﹣5）＝45﹣15，
∴AD＝＝＝＝＝（﹣1）×＝；
当CD⊥AB时，CD最小，故此时AD最大，此时CD⊙O直径．
如图：
∴CD＝EF＝5，
∴AD＝＝＝2；
综上所述，点D距A点为：或2米处．
投篮次数
10
100
200
300
500
1000
投中次数
7
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投篮次数
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