_陕西省西安市临潼区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份_陕西省西安市临潼区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年陕西省西安市临潼区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．y＝3x2﹣1 B．（a+2）（x+3）＝x2﹣1
C．x2﹣＝3 D．x2﹣2x＝0
2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
3．将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣2）2+6 C．y＝x2+6 D．y＝x2
4．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5 B．k＞5 C．k≤5，且k≠1 D．k＜5，且k≠1
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（　　）

A．12 B．6 C． D．
7．已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝﹣3，则原方程可化为（　　）
A．（x+2）（x+3）＝0 B．（x+2）（x﹣3）＝0
C．（x﹣2）（x﹣3）＝0 D．（x﹣2）（x+3）＝0
8．已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m，当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣1 B．m＜3 C．﹣1＜m≤3 D．3＜m≤4
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．方程x2﹣2x＝0的根为　 　．
10．已知点A（a，﹣3）与点B（4，b）关于原点对称，则（a+b）2022的值是 　 　．
11．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 　 　．

12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加 　 　m．

13．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是 　 　（填序号）．
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；
②抛物线的对称轴是直线x＝；
③函数y＝ax2+bx+c的最大值是6；
④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．用配方法解方程：x2﹣6x﹣4＝0．
15．解方程：2x2﹣7x+3＝0．
16．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
17．已知二次函数的图象经过点（0，3），且顶点坐标为（﹣1，4）．求这个函数的表达式．
18．已知关于x的方程（m+2）x|m|+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．
19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，其中B（﹣2，﹣2）．请在所给的平面直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）请作出△ABC关于坐标原点O对称的△A1B1C1；
（2）分别写出点A1，B1，C1的坐标．

20．有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m2）．
（1）用含有x的代数式表示y；
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？

21．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．求证：方程总有两个实数根．
22．如图，已知四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，连接BE和DG，请问BE与DG有怎样的数量关系？并用“旋转的性质”证明所得的结论．

23．如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

24．我们常常通过描点、平移或翻折的方法画函数图象．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．
（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是 　 　；
（2）化简：当x≥0时，函数y＝　 　；当x＜0时，函数y＝　 　；
（3）根据上题，在平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：　 　；
（4）若直线y＝n与该函数只有两个公共点，根据图象判断n的取值范围为 　 　．

25．商场销售某种商品，已知商品的进价为每件20元，售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，在经过两次降价后，该商品的现价为每件32.4元．若该商品两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价为40元时，每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品应定价为多少元？
26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且OB＝1，OC＝3，将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OEA，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F．
（1）若抛物线过点A，B，C，求此抛物线的函数表达式；
（2）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时可使△AMC的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．



参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．y＝3x2﹣1 B．（a+2）（x+3）＝x2﹣1
C．x2﹣＝3 D．x2﹣2x＝0
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
解：A．y＝3x2﹣1为二元二次方程，所以A选项不符合题意；
B．（a+2）（x+3）＝x2﹣1为二元二次方程，所以B选项不符合题意；
C．x2﹣＝3＝0为分式方程，所以C选项不符合题意；
D．x2﹣2x＝0为一元二次方程，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3．将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣2）2+6 C．y＝x2+6 D．y＝x2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝（x﹣1+1）2+3，即y＝x2+3；
再向下平移3个单位为：y＝x2+3﹣3，即y＝x2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0，x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5 B．k＞5 C．k≤5，且k≠1 D．k＜5，且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝42﹣4（k﹣1）×1＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝42﹣4（k﹣1）×1＞0，
解得：k＜5，且k≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（　　）

A．12 B．6 C． D．
【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．
解：连接B'B，

∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC＝A'C，AB＝A'B'，∠A＝∠CA'B'＝60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∴∠AA'C＝60°，
∴∠B'A'B＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠ACA'＝∠BCB'＝60°，BC＝B'C，∠CB'A'＝∠CBA＝90°﹣60°＝30°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠CB'B＝60°，
∵∠CB'A'＝30°，
∴∠A'B'B＝30°，
∴∠B'BA'＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，
∴AB＝12，
∴A'B＝AB﹣AA'＝AB﹣AC＝6，
∴B'B＝6，
故选：D．
【点评】此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．
7．已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝﹣3，则原方程可化为（　　）
A．（x+2）（x+3）＝0 B．（x+2）（x﹣3）＝0
C．（x﹣2）（x﹣3）＝0 D．（x﹣2）（x+3）＝0
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝﹣3，
∴2﹣3＝﹣p，2×（﹣3）＝q，
∴p＝﹣1，q＝﹣6，
∴原方程可化为（x﹣2）（x+3）＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
8．已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m，当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣1 B．m＜3 C．﹣1＜m≤3 D．3＜m≤4
【分析】根据“当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小”列出不等式组并解答．
解：依题意得：
解得﹣1＜m≤3．
故选：C．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，解题时，需要熟悉抛物线的对称性和增减性．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．方程x2﹣2x＝0的根为　x1＝0，x2＝2　．
【分析】利用因式分解法求解可得答案．
解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10．已知点A（a，﹣3）与点B（4，b）关于原点对称，则（a+b）2022的值是 　1　．
【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．
解：∵A（a，﹣3）与点B（4，b）关于原点对称，
∴a＝﹣4，b＝3，
（a+b）2022＝（﹣1）2022＝1，
故答案是：1．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
11．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 　（35﹣2x）（20﹣x）＝600（或2x2﹣75x+100＝0）　．

【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米，
∴可列方程为（35﹣2x）（20﹣x）＝600（或2x2﹣75x+100＝0），
故答案为（35﹣2x）（20﹣x）＝600（或2x2﹣75x+100＝0）．
【点评】考查列代数式；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点．
12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加 　　m．

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OB＝AB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣0.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣0.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣0.5代入抛物线解析式得出：
﹣0.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2﹣4）米，
故答案为：（2﹣4）．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
13．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是 　①④　（填序号）．
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；
②抛物线的对称轴是直线x＝；
③函数y＝ax2+bx+c的最大值是6；
④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
【分析】先根据所给的数据求出抛物线的解析式，再进行判断即可．
解：∵抛物线过点（﹣2，0）和（0，6），则，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线与x轴的一个交点为（3，0），故①正确；
函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故②错误；
抛物线的对称是：直线x＝﹣＝，故③错误；
抛物线开口向下，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点问题，是中考压轴题，难度不大．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．用配方法解方程：x2﹣6x﹣4＝0．
【分析】利用配方法求解即可．
解：移项得x2﹣6x＝4，
配方得x2﹣6x+9＝4+9，
即（x﹣3）2＝13，
开方得，
∴．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．解方程：2x2﹣7x+3＝0．
【分析】本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
解：原方程可变形为（2x﹣1）（x﹣3）＝0
∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴．
【点评】根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法．
16．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx，得出关于a、b的二元一次方程组，求得a、b即可；
（2）利用（1）中解析式配方求得对称轴和顶点坐标．
解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx得
，
解得，
因此二次函数的关系式y＝2x2﹣4x；
（2）∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，﹣2）．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．已知二次函数的图象经过点（0，3），且顶点坐标为（﹣1，4）．求这个函数的表达式．
【分析】根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将（0，3）代入计算即可确定出抛物线解析式．
解：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，
把点（0，3）代入得a+4＝3，
解得：a＝﹣1，
∴这个二次函数解析式为y＝﹣（x+1）2+4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18．已知关于x的方程（m+2）x|m|+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．
【分析】根据一元二次方程的定义，即可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出m的值．
解：∵关于x的方程（m+2）x|m|+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程，
∴，
解得：m＝2，
∴m的值为2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及绝对值，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，其中B（﹣2，﹣2）．请在所给的平面直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）请作出△ABC关于坐标原点O对称的△A1B1C1；
（2）分别写出点A1，B1，C1的坐标．

【分析】（1）根据旋转的性质即可作出△ABC关于坐标原点O对称的△A1B1C1；
（2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）A1（1，0），B1（2，2），C1（4，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
20．有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m2）．
（1）用含有x的代数式表示y；
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？

【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出BC的长为（30﹣3x）m，再利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示出y；
（2）根据矩形花圃的面积为63m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：（1）∵篱笆的总长为30m，AB的长为xm，
∴BC的长为（30﹣3x）m，
∴矩形花圃的面积y＝x（30﹣3x）m2，
∴y＝x（30﹣3x）．
（2）根据题意得：x（30﹣3x）＝63，
整理得：x2﹣10x+21＝0，
解得：x1＝3，x2＝7，
当x＝3时，30﹣3x＝30﹣3×3＝21＞10，不符合题意，舍去；
当x＝7时，30﹣3x＝30﹣3×7＝9＜10，符合题意．
答：AB的长为7m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出y；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．求证：方程总有两个实数根．
【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据偶次方的非负性证明．
【解答】证明：Δ＝（m+2）2﹣4•m•2
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
因为（m﹣2）2≥0，
所以Δ≥0
则方程总有两个实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
22．如图，已知四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，连接BE和DG，请问BE与DG有怎样的数量关系？并用“旋转的性质”证明所得的结论．

【分析】由旋转的性质可得△ABE≌△ADG，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，可得结论
解：BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：延长BE交DG为H，交AD于N，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AG＝AE，AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，
∴将AE绕点A逆时针旋转90°可得AG，将AB绕点A逆时针旋转90°可得AD，
∴将△ABE绕点A逆时针旋转90°可得△ADG，
∴△ABE≌△ADG，
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，
∵∠ABE+∠ANB＝90°，
∴∠ADG+∠DNH＝90°，
∴∠DHN＝90°，
∴BE⊥DG．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

【分析】（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA＝P′A，旋转角∠P′AP＝∠BAC＝60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′；
（2）由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB＝90°，可求∠APB的度数．
解：（1）连接PP′
由题意可知AP′＝PC＝10，BP′＝BP，
∠PBC＝∠P′BA，而∠PBC+∠ABP＝60°，
所以∠PBP′＝60度．故△BPP′为等边三角形，
所以PP′＝BP＝BP′＝6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+AP2＝AP′2，所以△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，
可求∠APB＝90°+60°＝150°．
【点评】本题考查旋转的性质，掌握旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变是解题关键．
24．我们常常通过描点、平移或翻折的方法画函数图象．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．
（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是 　全体实数　；
（2）化简：当x≥0时，函数y＝　y＝x2﹣2x　；当x＜0时，函数y＝　y＝x2+2x　；
（3）根据上题，在平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：　函数的最小值为﹣1　；
（4）若直线y＝n与该函数只有两个公共点，根据图象判断n的取值范围为 　n＝﹣1或n＞0　．

【分析】（1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数；
（2）根据绝对值的意义化简即可；
（3）列表，描点即可画出函数图象；任意指出函数的一条性质即可，如函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大，答案不唯一；
（4）根据图象即可求解．
解：（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数；
（2）当x≥0时函数y＝x2﹣2x，当x＜0时函数y＝x2+2x，
故答案为：y＝x2﹣2x，y＝x2+2x；
（3）列表：
x
…
﹣3
﹣2.5
﹣2
﹣1
0
1
2
2.5
3
…
y
…
3
1.25
0
﹣1
0
﹣1
0
1.25
3
…
描点画出如下函数图象：

由图象可知：函数的最小值为﹣1，
故答案为：函数的最小值为﹣1；
（4）直线y＝n与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为k＝﹣1或k＞0．
故答案为：n＝﹣1或n＞0．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
25．商场销售某种商品，已知商品的进价为每件20元，售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，在经过两次降价后，该商品的现价为每件32.4元．若该商品两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价为40元时，每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品应定价为多少元？
【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．
（2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利10800元列出方程，求解即可．
解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；
答：每次降价率为10%；
（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y（件），
根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10800，
解得：y＝2（舍去）或y＝8，
所以40﹣8＝32（元）．
答：该商品在应定价为32元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用．掌握求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且OB＝1，OC＝3，将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OEA，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F．
（1）若抛物线过点A，B，C，求此抛物线的函数表达式；
（2）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时可使△AMC的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．

【分析】（1）由题意易得点A、点B、点C的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）连接OM，设M点的坐标为（m，n），继而表示出△AMC的面积，利用配方法确定最值，并得出点M的坐标．
解：（1）∵OB＝1，OC＝3，
∴C（0，﹣3），B（1，0）
∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，
∴A（﹣3，0），
所以抛物线过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），可得，
解得，
故过点A，B，C的抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）

∵点M在抛物线上，
∴n＝m2+2m﹣3，
∴S△AMC＝S△AMO+S△OMC﹣S△AOC＝OA•|m|+OC•|n|﹣OA•OC
＝﹣（m+n）﹣
＝﹣（m+n+3）
＝﹣（m2+3m）
＝﹣（m+）2+，
∵﹣3＜m＜0，
∴当m＝﹣时，n＝﹣，△AMC的面积有最大值，最大值为，
即当点M的坐标为（）时，△AMC的面积有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、不规则图形的面积、两直线的交点及配方法求二次函数最值得知识，综合性较强，难点在第三问，关键是设处点M的坐标，用含m的式子表示出三角形的面积．