陕西省西安市莲湖区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份陕西省西安市莲湖区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷，共26页。

A．﹣2B．﹣1C．0D．1
2．（3分）如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（ ）
A．k＞lB．k＝﹣1C．k≥﹣1D．k＜﹣1
3．（3分）在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则∠A的正切值（ ）
A．扩大3倍B．缩小为原来的
C．不变D．不能确定
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．1B．C．D．
5．（3分）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（ ）
A．2023B．﹣2021C．2021D．﹣2023
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有一正实数根和一负实数根的条件是（ ）
A．m＞5B．m≥0C．m≥﹣4D．m≥6
7．（3分）如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣3，1）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
8．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且k≠2B．k≥0且k≠2C．D．k≥0
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列4个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）最简二次根式与是同类二次根式，则m＝ ．
12．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是 个．
13．（3分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．若在抛物线上存在一点P（与点C不重合），使S△ABP：S△ABC＝5：3，则点P的坐标为 ．
14．（3分）如图，将扇形纸片AOB折叠，使点A与点O重合，折痕为CD．若∠AOB＝120°，OA＝6，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为 ．
15．（3分）已知：如图，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，点P在以A点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，Q点是BP的中点，连接OQ，则OQ的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣4sin30°++（）﹣1；
（2）计算：2tan60°+|﹣2|+（）﹣1﹣．
17．（8分）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．
（1）在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．
18．（8分）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2＝GF•EF．
19．（8分）哈美佳外校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋供兴趣小组活动使用，若购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元．
（1）求每副围棋和每副象棋各多少元？
（2）学校决定购买围棋和象棋共40副，总费用不超过550元，那么哈美佳外校最多可以购买多少副围棋？
20．（9分）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）如图1，求证：AE＝CF；
（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．
21．（10分）⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，过点B作BD⊥AC，垂足为点H，交⊙O于点D，连接AD．
（1）如图1，求证：∠CAB＝2∠CAD；
（2）如图2，若弧AD＝弧AE，连接CE交BD于点F，交AB于点G，求证：点G为线段EF的中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，过圆心O作OM⊥AB于点M，若OM：DH＝5：6，AH＝15，求线段AD的长．
22．（11分）阅读与思考
如图1所示的是一座钢铁桥梁，为了计算其中一个三角形钢架的面积，小明想办法测量出三边的长度AB＝c＝24米，BC＝a＝26米，AC＝b＝28米，如何求三角形ABC钢架的面积？下面是甲，乙两位同学的解题思路，分别根据甲、乙两位同学的解题思路求△ABC的面积．
（1）甲同学：我们知道，已知△ABC的三边长a，b，c，设，即p为△ABC周长的一半，那么利用海伦公式就可求出△ABC的面积．
（2）乙同学：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x米，然后用含x的代数式表示出CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积．
23．（13分）综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为射线BC上一动点，连接AE．
（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．
基础探究：
①如图1，若，则∠AFB的度数为 ．
深入探究：
②如图2，当，且EF＝EC时，求AB的长．
拓展探究：
（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，请直接写出BE的长．
2022-2023学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）a是的整数部分，则a为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解答】解：∵3＜＜4，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴的整数部分为：﹣1．
故选：B．
2．（3分）如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（ ）
A．k＞lB．k＝﹣1C．k≥﹣1D．k＜﹣1
【解答】解：由题意知Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）≥0，
解得：k≥﹣1，
故选：C．
3．（3分）在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则∠A的正切值（ ）
A．扩大3倍B．缩小为原来的
C．不变D．不能确定
【解答】解：Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则由锐角的正切定义得到∠A的正切值不变．
故选：C．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．1B．C．D．
【解答】解：连接AA′，如图，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC＝BC＝，∠B＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵CB＝CB′，∠B＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
过点A作AD⊥A'C于点D，
∴CD＝AC＝，
∴AD＝CD＝＝，
∴点A到直线A'C的距离为，
故选：C．
5．（3分）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（ ）
A．2023B．﹣2021C．2021D．﹣2023
【解答】解：根据题意，得a+b＝﹣1，ab＝﹣2022，
∴a+b﹣ab＝﹣1+2022＝2021，
故选：C．
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有一正实数根和一负实数根的条件是（ ）
A．m＞5B．m≥0C．m≥﹣4D．m≥6
【解答】解：抛物线的顶点坐标为（6，﹣4）
即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4，
当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，
方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4．
故选：C．
7．（3分）如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣3，1）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）
【解答】解：如图点P为位似中心，
∴＝，即＝，
解得，PB＝3，
∴点P的坐标为（﹣3，2），
故选：A．
8．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，
故选：D．
9．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且k≠2B．k≥0且k≠2C．D．k≥0
【解答】解：∵于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2，
故选：A．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列4个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：由图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
﹣＝1，得b＝﹣2a，2a+b＝0，故②正确，符合题意；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，故④错误，不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）最简二次根式与是同类二次根式，则m＝ 7 ．
【解答】解：由题意可知：2m﹣1＝34﹣3m，
解得：m＝7，
故答案为：7．
12．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是 14 个．
【解答】解：设袋子中黄球的个数可能有x个，根据题意得：
＝0.3，
解得：x＝14，
经检验x＝14是原方程的解，
答：袋子中黄球的个数可能是14个．
故答案为：14．
13．（3分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．若在抛物线上存在一点P（与点C不重合），使S△ABP：S△ABC＝5：3，则点P的坐标为 （﹣4，﹣5）或（2，﹣5） ．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴点C（0，3），
∴S△ABC＝＝＝6，
∵S△ABP：S△ABC＝5：3，
∴S△ABP＝10，
∴＝10，
∴|yP|＝＝5，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点为（﹣1，4），
∴yP＝﹣5，
把y＝﹣5代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣5，
解得x＝﹣4或x＝2，
∴点P的坐标为（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．
故答案为：（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．
14．（3分）如图，将扇形纸片AOB折叠，使点A与点O重合，折痕为CD．若∠AOB＝120°，OA＝6，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为 ．
【解答】解：连接OD，AD，过O作OE⊥AD于E，
∵扇形纸片AOB折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，OA＝6，
∴AD＝OD＝OA＝6，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵OE⊥AD，
∴AE＝DE＝3，∠AEO＝90°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（3分）已知：如图，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，点P在以A点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，Q点是BP的中点，连接OQ，则OQ的最小值为 ．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+4＝4，
∴A（0，4），
当y＝0时，﹣x2+4＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3，
∴B（3，0），
∴AB＝＝5，
连接AB，点C为AB的中点，连接OC、CQ，如图，则OC＝AB＝，
∵Q点为BP的中点，
∴CQ为△ABP的中位线，
∴CQ＝AP＝1，
∵OQ≥OC﹣CQ（当且仅当O、C、Q共线时取等号），
∴OC的最小值为OC﹣CQ＝﹣1＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣4sin30°++（）﹣1；
（2）计算：2tan60°+|﹣2|+（）﹣1﹣．
【解答】解：（1）|﹣3|﹣4sin30°++（）﹣1
＝3﹣4×+2+3
＝3﹣2+5
＝6；
（2）2tan60°+|﹣2|+（）﹣1﹣
＝2×+2﹣+﹣1﹣
＝．
17．（8分）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．
（1）在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据．
【解答】解：（1）如图，△A2B2C2即为所求；
（2）相似的理由是三边成比例两三角形相似．
18．（8分）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2＝GF•EF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴＝，＝，
∴＝，
即CF2＝GF•EF．
19．（8分）哈美佳外校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋供兴趣小组活动使用，若购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元．
（1）求每副围棋和每副象棋各多少元？
（2）学校决定购买围棋和象棋共40副，总费用不超过550元，那么哈美佳外校最多可以购买多少副围棋？
【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副象棋y元，根据题意得，，
解得：，
答：每副围棋16元，每副象棋10元；
（2）设哈美佳外校购买z副围棋，则购买（40﹣z）副象棋，
依题意得，16z+10（40﹣z）≤550，
解得：z≤25，
∵z为正整数，
∴z＝25，
答：哈美佳外校最多可以购买25副围棋．
20．（9分）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）如图1，求证：AE＝CF；
（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝矩形ABCD面积的．理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB，AE＝AD，
∴△ABE的面积＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，
∵△ABE≌△CDF，
∴△CDF的面积＝矩形ABCD的面积；
作EG⊥BC于G，如图所示：
∵∠CBD＝30°，
∴EG＝BE＝×AB＝AB，
∴△BCE的面积＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝矩形ABCD的面积，
同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．
21．（10分）⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，过点B作BD⊥AC，垂足为点H，交⊙O于点D，连接AD．
（1）如图1，求证：∠CAB＝2∠CAD；
（2）如图2，若弧AD＝弧AE，连接CE交BD于点F，交AB于点G，求证：点G为线段EF的中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，过圆心O作OM⊥AB于点M，若OM：DH＝5：6，AH＝15，求线段AD的长．
【解答】（1）证明：作AP⊥BC于点P，如图1，
∴∠APC＝90°，
∴∠PAC+∠C＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAP，
∵BH⊥AC，
∴∠BHC＝90°，
∴∠CBH+∠C＝90°，
∴∠PAC＝∠CBH，
∵，
∴∠CAD＝∠CBH，
∴∠PAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
（2）证明：连接BE，如图2，
∵，
∴∠ACE＝∠DBA＝∠ABE，
又∵BD⊥AC，
∴∠HAB+∠HBA＝90°，
∴∠ACG+∠CAG＝90°，
∴∠CGA＝90°，
即AB⊥CE，
∴∠BGE＝∠BGF＝90°，
在Rt△BGF和Rt△BGE中，
，
∴△BGF≌△BGE（ASA），
∴GF＝GE，
∴点G为线段EF的中点；
（3）解：作AP⊥BC于点P，如图3，
又∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠PAB，
∵∠BAC＝2∠CAD，
∠PAB＝∠CAD，
又∵BD⊥AC，OM⊥AB，
∴∠AHD＝∠OMA＝90°，
∴△AHD∽△AMO，
∴，
又∵AH＝15，
∴，
∴AB＝2AM＝25，
∵，
∴，
∴∠FCP＝∠FBP，
∴FC＝FB，
∴点F在线段AP上，
即点A、O、F、P四点共线，
∵OM⊥AB，
∴∠OMA＝90°，
∵∠BAC＝∠BAC，∠AHB＝∠AGC＝90°，AB＝AC＝25，
∴△AHB≌△AGC（AAS），
∴AH＝AG＝15，
∴BG＝10，
在Rt△ABH中，，
在 Rt△AGC中，，
在 Rt△CGB中，，
在△AHD和△BHC中，∠AHD＝∠BHC＝90°，
∵，
∴∠DAH＝∠CBH，
∴△DHA∽△CHB，
∴，
即，
∴．
22．（11分）阅读与思考
如图1所示的是一座钢铁桥梁，为了计算其中一个三角形钢架的面积，小明想办法测量出三边的长度AB＝c＝24米，BC＝a＝26米，AC＝b＝28米，如何求三角形ABC钢架的面积？下面是甲，乙两位同学的解题思路，分别根据甲、乙两位同学的解题思路求△ABC的面积．
（1）甲同学：我们知道，已知△ABC的三边长a，b，c，设，即p为△ABC周长的一半，那么利用海伦公式就可求出△ABC的面积．
（2）乙同学：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x米，然后用含x的代数式表示出CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵AB＝c＝24米，BC＝a＝26米，AC＝b＝28米，
∴（米），
∴＝＝（平方米）；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x米，则CD＝（26﹣x）米，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
根据勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即242﹣x2＝282﹣（26﹣x）2，
解得：x＝9，
∴（米），
∴（平方米）．
23．（13分）综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为射线BC上一动点，连接AE．
（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．
基础探究：
①如图1，若，则∠AFB的度数为 60° ．
深入探究：
②如图2，当，且EF＝EC时，求AB的长．
拓展探究：
（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，请直接写出BE的长．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵，
∴，
在Rt△ABD中，，
∴∠ABD＝60°，
由折叠的性质知AB＝AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠AFB＝60°，
故答案为：60°；
②由折叠的性质知BF⊥AE，EF＝EB，
∴∠BGE＝90°，
∵EF＝EC，
∴EF＝EB＝EC，
∴BC＝2BE，即，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CBD＝90°，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴△BAE∽△CBD，
∴，即，
解得（负值已舍）；
（2）如图3，由题意得，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AD∥BC，
∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，
由折叠的性质知，
∴，
∴△CDE≌△B'AD（AAS），
∴，
∴，
∴；
如图4，由折叠的性质知，∠AEC＝∠AEC'，
∵∠BEC'＝∠DEC，
∴∠AEB＝∠AED，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DE＝AD＝BC，
在Rt△CDE中，，
∴，
综上，BE的长为或．