专题04 导数之二阶导数的应用（原卷版+解析版）

专题03 函数基本性质的灵活应用

一、考情分析

函数的性质是整个高中数学的核心内容,所有高中数学内容，都可以围绕这一主线考查学生。单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,简单的题目也有出现，但是压轴题目是肯定会对函数的性质进行考查的。

二、考点梳理

1．周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x： 

(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．(4)若,则T＝6a(a>0)．

(5)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,则T＝4a(a>0)．

2．函数对称性与函数周期性的关系（类比三角函数）

(1)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.

(2)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.

(3)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.

3. 复合函数

设是定义在M上的函数,若与的单调性相反,则在M上是减函数；若与的单调性相同,则在M上是增函数,简称同增异减.

4. 对称性的一般结论

①若,则图像关于直线对称；

②，函数关于点 对称.

三、题型突破

(一) 函数单调性的灵活应用

例1.（1）．（2020·山西大附中（文））已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

（2）．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

（3）．（2021·广东汕头·）已知是定义在R上的函数，满足.都有，且在上单调递增.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练1-1】若函数是R是的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ）

A.              B.            C.            D.

【变式训练1-2】．（2020·全国高一课时练习）若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．

【变式训练1-3】．（2021·云南民族中学高三月考（文））已知函数，若，则的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

(二) 函数奇偶性的灵活应用

例2．（1）（2021·内蒙古包头·高三（文））设函数，则（    ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

（2）．（2014·湖南高考真题（理））已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则

A.        B.        C.1        D.3

（3）、已知函数,则使得的的范围是（   ）

A．                        B．          

C．              D．

【变式训练2-1】．（2008·重庆高考真题（理））若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是

A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数

【变式训练2-2】．（2015·全国高考真题（文））设函数,则使成立的的取值范围是

A． B．

C． D．

【变式训练2-3】．已知函数是奇函数，则方程的根为（　　）                    

A．                 B．                 C. ，              D．，

(三)  函数对称性的灵活应用

例3．（1）（2022·全国高三专题练习）已知函数，则

A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减

C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称

（2）．（2019·甘肃兰州市·兰州一中高三月考（文））函数f（x）=的大数图象为（　　）

A． B．

C． D．

（3）．（2019·陕西西安市·高考模拟（文））若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是

A． B．

C． D．

【变式训练3-1】、【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（   ）

A．                   B．               C.                   D．

【变式训练3-2】、（2021·临澧县第一中学高一期末）设函数则使得f()>f(3x-1)成立的x的取值范围是___________.

【变式训练3-3】、（2019·广东中山纪念中学高三月考（文））函数的图像大致为

A． B．

C． D．

【变式训练3-4】已知定义在R上的函数满足为奇函数,函数关于直线对称,则下列式子一定成立的是（     ）

1.                       B.    

C.                 D.

(四)  函数周期性的灵活应用

例4．（1）（2021·宜宾市翠屏区天立学校（文））已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则

A． B． C． D．

（2）．（2018·新疆乌鲁木齐市·高三（文））奇函数满足，当时，，则

A．-2 B． C． D．2

（3）．（2021·全国高一专题练习）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是

A． B．

C． D．

【变式训练4-1】．（2018·德州跃华学校高中部高考模拟（理））已知定义在R上的函数满足：（1）；（2）；（3）时，.则大小关系

A． B．

C． D．

【变式训练4-2】．（2020·四川阆中中学）已知函数，则（    ）

A．在单调递增 B．在单调递减

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【变式训练4-3】．（2021·六盘山高级中学高三（理））已知函数是上的满足，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ）

A． B． C．0 D．1

(五) 函数性质的综合应用

例5．（1）（2022·全国高三专题练习）已知函数，则（    ）

A．4040 B．4038 C．2 D．9

（2）．（2021·全国高二课时练习）已知是上的奇函数，，，则数列的一个通项公式为（    ）．

A． B． C． D．

【变式训练5-1】．（2022·浙江高三专题练习）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是

A． B．

C． D．

【变式训练5-2】．（2020·全国高三（理））已知函数，若，则实数的取值范围为__________．

【变式训练5-3】．（2019·安徽屯溪一中高一月考）已知，且方程无实数根，下列命题：

①方程也一定没有实数根；

②若，则不等式对一切实数都成立；

③若，则必存在实数，使

④若，则不等式对一切实数都成立．

其中正确命题的序号是          ．

【变式训练5-4】．（2021·全国高三专题练习（文））定义在上的函数满足，当时，.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.

四、迁移应用

A组 基础巩固

1．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·河南郑州·高三（理））已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·云南昆明一中高三（理））已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·嘉峪关市第一中学高三（文））函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

5．（2019·贵州高考模拟（理））已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为

A． B． C． D．

6．（2019·武邑宏达学校高一期中）已知函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是（   ）

A． B． C． D．

7．（2019·贵州贵阳·高考模拟（理））关于函数的下列结论，错误的是

A．图像关于对称

B．最小值为

C．图像关于点对称

D．在上单调递减

8．（2022·全国（文））奇函数满足，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·内江市市中区天立学校）已知函数，若，则（    ）

A．2 B．0 C． D．

10．（2020·广东金山中学高三月考）已知函数的定义域为是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

11．（2021·全国）若函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

12．（2019·黑龙江哈尔滨市·高考模拟（文））已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是

A． B． C． D．或

13．（2021·全国高三（理））函数的部分图象大致为（    ）

A．

B．

C．

D．

14．（2014·全国高考真题（文））设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是奇函数

15．（2017·天津高考真题（理））已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为

A． B． C． D．

16．（2008·全国高考真题（理））设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

17．（2015·天津高考真题（理））已知函数为偶函数，记 ， ，，则的大小关系为 (　　 )

A． B． C． D．

18．（2021·西藏拉萨中学高三月考（理））已知函数满足和,且当时,则

A．0 B．2 C．4 D．5

19．（2019·甘肃省甘谷第一中学高三月考（文））已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为

A． B． C． D．

20．（2020·陕西高三（理））函数，若满足恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

21．（2019·四川成都市树德协进中学高二期中（理））已知函数，设，，，则

A． B． C． D．

22．（2020·四川省泸县第四中学高三开学考试（理））已知函数，则关于的不等式的解集为_______．

23．（2020·全国）已知函数对任意、，都有，则实数的取值范围为______．

B组 能力提升

24．（2021·广东广州·高二期中）已知函数，则其图像可能是（    ）

A．B．C． D．

25．（2020·贵州毕节·高三（理））若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有

A． B．

C． D．

26．（2021·全国高三专题练习（理））已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列结论正确的是（    ）

A．图象关于直线对称 B．图象关于点中心对称

C．在上为减函数 D．在上为增函数

27．（2018·河南信阳市·信阳高中高三（文））已知是定义在上的偶函数，且时，均有，，则满足条件的可以是

A． B．

C． D．

28．（2021·全国高三专题练习（文））定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

29．（2020·六安市城南中学高三月考（理））设定义在上的偶函数满足：，且当时，，若，，，则，，的大小关系为

A． B．

C． D．

30．（2021·云南红河·高三（理））函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

31．（2020·银川唐徕回民中学高三（理））已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

32．（2020·福建省长乐第一中学高三月考）已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________．

33．（2021·全国高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为___________.

34．（2020·合肥市第十中学高三月考（理））已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：

①；

②函数图象的一条对称轴为；

③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程在[﹣9，9]上有4个根；

其中正确的命题序号是___________.

35．（2018·安徽淮南市·高三（文））已知定义在上的函数满足，当时，则__________．

36．（2019·甘肃高三（理））已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，

①函数的一个周期为4；

②直线是函数图象的一条对称轴；

③函数在上单调递增，在上单调递减；

④函数在内有25个零点；

其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）

37．（2019·山东省郓城第一中学高考模拟（文））如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y＝f（x），则f（2019）＝________．

38．（2019·哈尔滨德强学校高三期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则____．

39．（2020·辽宁辽阳·（理））已知函数，给出以下四个命题：

①的图象关于轴对称；

②在上是减函数；

③是周期函数；

④在上恰有两个零点.

其中真命题的序号是______.（请写出所有真命题的序号）

40．（2020·全国高三专题练习）已知函数，满足（，均为正实数），则的最小值为_____________

41．（2017·江苏高考模拟）已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，恒成立，则不等式的解集是_________.

42．（2019·四川石室中学）在研究函数的性质时，某同学受两点间距离公式启发将变形为，，并给出关于函数以下五个描述：

①函数的图像是中心对称图形；②函数的图像是轴对称图形；

③函数在[0,6]上是增函数；④函数没有最大值也没有最小值；

⑤无论m为何实数，关于x的方程都有实数根.

其中描述正确的是__________.

43．（2018·上海市大同中学高三开学考试）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．

44．（2022·全国高三专题练习）设函数 ，则使得 成立的的取值范围是__________.