高中数学高考专题07 导数的应用 （原卷版）

专题07导数的应用 

命题规律一 利用导数研究函数的单调性

【解决之道】用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.

【三年高考】

1.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数的图像大致为

2.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数的图像大致为

3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数．

（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

命题规律二 含参数的函数的单调性问题

【解决之道】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：

(1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式Δ≤0和Δ＞0分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需知晓”．

(2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根x1，x2的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”．

(3)注意：讨论两个根x1，x2的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”．

【三年高考】

1.【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）设，讨论函数的单调性．

命题规律三 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值

【解决之道】解决此类问题的一般步骤为：(1)确定函数定义域；(2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根；

(3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干个区间，列出表格，检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号，并得出结论．

【三年高考】

1.【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

2.【2019年高考天津文数】设函数，其中.

（Ⅰ）若a≤0，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

（i）证明恰有两个零点；

（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.

3.【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

命题规律四  已知函数在某点取极值求参数范围或值

【解决之道】解决此类问题常利用f′(x0)＝0列方程求参数，求出参数后还要检验所求参数值是否满足x0的极值点特征

【三年高考】

1.【2018年高考北京文数】设函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；

（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.

命题规律五 利用导数求函数的最值

【解决之道】求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路：(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

(2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．

【三年高考】

1.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．

2.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．

3.【2020年高考江苏卷17】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上）．经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式．己知点到的距离为米．

（1）求桥的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）．桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元）（），

问为多少米时，桥墩与的总造价最低？

4.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当0<a<3时，记在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．

5.【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．

（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．