专题06 二次函数的综合问题（学生版+教师版）

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专题06 二次函数的综合问题
一、考情分析
二次函数是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，千变万化，但又是基础的基础，万变不离宗。所以二次函数也是高中学习的重要基础．与其他知识交汇的最值问题以及恒成立问题是目前高考中最基础的两个考试方向。复合函数也越来越重要。所以二次函数的学习，都显示的特别重要。
二、 考点梳理
1.二次函数解析式的三种形式：
①一般式方程：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
②顶点式方程：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
③零点式方程：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.[来源:Z.xx.k.Com]
2.二次函数的图象和性质
解析式
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象


对称性[来源:Zxxk.Com]
函数的图象关于x＝－对称
最值
当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；函数取最小值y＝．

当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；函数取最大值y＝．


3.恒成立问题
①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；
②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
三、题型突破
重难点题型（一）与二次函数型有关的复合函数问题
例1．（1）（2022·全国高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可得真数部分取到所有的正数，即是函数的值域的子集，由即可求解.
【详解】
因为函数的值域为，
可得真数部分取到所有的正数，
即函数取到所有的正数，
所以是函数的值域的子集，
所以解得：或，
所以实数的取值范围是：.
故选：A.
（2）．（2021·平罗中学（文））函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用复合函数“同增异减”的法则，结合对数函数和二次函数的单调性，进行求解．
【详解】
函数，
则或，
故函数的定义域为或，
由是单调递增函数，
可知函数的单调减区间即的单调减区间，
二次函数对称轴为，开口向上
故当时，函数单调递减，结合的定义域，
可得函数的单调减区间为．
故选：A
【变式训练1-1】．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求函数的定义域，令在是单调递增，根据复合函数单调性，只需求出在定义域内的递增区间，即可求解.
【详解】
有意义，需，
即，定义域为.
在是单调递增，
二次函数，对称轴为，开口向下
，单调递增，
故函数的单调递增区间为
故选：D
【变式训练1-2】．（2020·浙江杭州·）若函数的值域为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，则取遍上的所有实数，就结合对应函数的图象可得实数的取值范围.
【详解】
由值域为，可知取遍上的所有实数，
当时，能取遍上的所有实数，只需定义域满足.
当时，要保证能取遍上的所有实数，需，
解得，所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的值域，要注意定义域是、与值域是为的两个题型的区别，值域为，可知取遍上的所有实数，而定义域是，是恒成立．
重难点题型（二）与二次函数有关的“嵌套型复合函数”的问题
例2．（1）（2021·山东）已知，，则方程的解的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将方程因式分解，求得或，结合的图象判断出正确选项.
【详解】
因为，所以，
所以或，画出的大致图象，如图，
因为，所以，
因为直线与函数的图象有1个交点，
直线与函数的图象有2个交点，
故方程的解的个数是3.
故选：B.

【点睛】
含参数研究方程的解，可结合图象，利用数形结合的数学思想方法来进行求解.
（2）．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若关于的函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先利用导数求出函数的单调区间，再函数的奇偶性画出函数图像，函数的零点即方程的根，由图可得有3个根，所以只要有2个根，从而可求出实数的取值范围
【详解】
当时，，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，结合是定义在上的奇函数，则函数的图像如图，，
函数的零点即方程的根，
又因为有3个根，所以有2个根，
即满足条件或，解得，
故选：C.

【变式训练2-1】．（2021·河北区·天津二中高三月考）已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作出图象，令，数形结合，可得时有1个根，时有2个根，将所求转化为，结合题意，可得两根的范围，解不等式，即可得答案.
【详解】
作出图象，如图所示，令，
当时，与图象有1个交点，即有1个根，
当时，与图象有2个交点，即有2个根，

则关于的方程转化为，
由题意得，解得，
方程的两根为，
因为关于的方程有三个不同的实数，
则，解得，满足题意.
故选：A
【变式训练2-2】．（2022·全国高三专题练习（理））若函数有极值点，且，则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．2 B．3 C．3或4 D．3或4或5
【答案】B
【分析】
设，可得或，根据函数的单调性画出大致图象，根据图象交点个数可得出.
【详解】
函数有极值点，
则，且是方程的两个根，
不妨设，由可得或，
易得当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，则可画出的大致图象如下：

如图所示，满足或有3个交点，
即关于x的方程的不同实根有3个.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是画出函数图象，判断出方程的根的个数是满足或的图象交点个数.
重难点题型（三）与二次函数有关的零点问题或恒成立问题
例3．（1）（2020·全国高三专题练习）函数有四个零点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】
有四个零点则,即有四个根,故画出的图像,与有四个交点即可.
【详解】
由题即有四个根,画出的图像有

当时,故a的取值范围是
故答案为
【点睛】
本题主要考查了绝对值函数的画法以及数形结合的思想,属于基础题型.
（2）．（2021·福建省连城县第一中学高三月考）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】
注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.


【点晴】
本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
【变式训练3-1】．（2022·江苏高三专题练习）若函数有4个零点，实数m的取值范围为________.
【答案】
【分析】
由，得到，作出函数的图像，利用数形结合解求出m的取值范围.
【详解】
解：有4个零点，方程有4个根，
得到，则函数与直线 有4个交点，
作出函数的图像如下：

由图像可知，当，即时，函数与直线 有4个交点.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，属于中档题.含参数的函数零点问题，要先分离参数，将函数零点问题转化成曲线的交点问题，利用数形结合思想解决零点问题.
【变式训练3-2】．（2021·湖南宁乡一中高二月考）已知，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，将题干条件转化为函数与的图象有4个交点，同一坐标系下作出函数与的图象，分别讨论和时交点个数，再求当时，函数与的图象相切，求得临界的斜率k，结合图象分析，即可得答案.
【详解】
由题意有4个零点，即有4个零点.
设，则恒过点，所以函数与的图象有4个交点，
在同一直角坐标系下作出函数与的图象，如图.

由图象可知，当函数过点和时，即时，此时函数与的图象恰有3个交点；
当时，函数与的图象至多有2个交点
当时，若函数与的图象相切时，设切点为，则，
所以，所以，解得，
所以，此时函数与的图象恰有3个交点；
当时，两函数图象至多有两个交点.
所以若要使函数有4个零点，则.
故选：C.
【点睛】
解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点的问题，数形结合，即可得答案，难点在于当时，需利用导数求的切线的斜率，即为临界值，方可得答案，考查分析推理，数形结合的能力，属中档题.
【变式训练3-3．（2020·江苏扬州市·仪征市第二中学高三月考）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____.
【答案】
【详解】
作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．

【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．
重难点题型（四）与其他知识结合有关的二次函数问题
例4 、已知函数
（1） 若不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围;
（2） 记且求实数m的最大值。
【分析】二次函数
【解析】（1）由题可知，在R上恒成立，即恒成立
解得.
所以实数m的取值范围
（2）且
在上成立.
①当时，此时m<0,
②当时，解得

③当时，此时m无解.
综上所述，m的取值范围为，
故满足条件的m的最大值为1.
【变式训练4-1】、设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
【解析】由条件可知
，从而恒成立．当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意，不等式在上恒成立，当且仅当，
即，即在上恒成立．即，
所以，因此满足条件的的取值范围是．
【变式训练4-2】、 已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ )
图3
1
o
x
y


图1

1

x
y
0

1

x
y
0
图2
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
【分析】定轴动区间，定区间动轴
【解析】：①当时，在上恒成立，
而在上恒成立，显然不满足题意；(如图1)
②当时，在上递减且只在上
恒成立，而是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，
显然不满足题意。
③当时，在上递增且在上恒成立，
而是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数，
与的值至少有一个为正数则只需在上恒成立。
(如图3)
则有或解得或，
综上可得即。
故选B。


四、迁移应用
一、选填题
1．（2021·江西高三月考（理））函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
设，则为减函数，根据复合函数的单调性可知为减函数，且满足对于恒成立，由对数函数的单调性以及列不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】
设，可得，
则是减函数，
要使得函数为上的增函数，
只需为减函数，且满足对于恒成立，
所以，解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：C.
2．（2021·四川省南充市白塔中学高三月考（理））函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合对数函数定义域、复合函数单调性求得正确结果.
【详解】
由解得，
二次函数的开口向下，对称轴为，
在上递减.
根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间为.
故选：D
3．（2021·全国高三）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.
【详解】
由题可得，即，
所以集合.
由知集合，
所以，
故选：A.
4．（2021·湖南宁乡一中高二月考）已知，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，将题干条件转化为函数与的图象有4个交点，同一坐标系下作出函数与的图象，分别讨论和时交点个数，再求当时，函数与的图象相切，求得临界的斜率k，结合图象分析，即可得答案.
【详解】
由题意有4个零点，即有4个零点.
设，则恒过点，所以函数与的图象有4个交点，
在同一直角坐标系下作出函数与的图象，如图.

由图象可知，当函数过点和时，即时，此时函数与的图象恰有3个交点；
当时，函数与的图象至多有2个交点
当时，若函数与的图象相切时，设切点为，则，
所以，所以，解得，
所以，此时函数与的图象恰有3个交点；
当时，两函数图象至多有两个交点.
所以若要使函数有4个零点，则.
故选：C.
【点睛】
解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点的问题，数形结合，即可得答案，难点在于当时，需利用导数求的切线的斜率，即为临界值，方可得答案，考查分析推理，数形结合的能力，属中档题.
5．（2020·天水市第一中学（文））若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把在区间上有解，转化为存在一个使得，解出的最大值．
【详解】
在区间上有解，转化为存在一个使得，设，即是的最大值，的最大值，当时取得，故选D
【点睛】
1、二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．
2、对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：
1、恒成立，等价于
2、使得成立，等价于
6．（2020·河北承德第一中学高二月考）若函数有两个不同的零点，且，,则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用换元法把问题转化为二次函数零点分布的问题，得到不等式组，解之即可.
【详解】
设t＝2x，函数f（t）＝t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，，,
∴，即，解得：
故选C
【点睛】
对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：
一是，开口；
二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
三是，判别式，决定于x轴的交点个数；
四是，区间端点值.
7．（2021·全国高一专题练习）函数则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
通过对式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．
【详解】
函数的零点
即方程和的根，
函数的图象如图所示：

由图可得方程和共有个根，
即函数有个零点,
故选A.
【点睛】
本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．
8．（2021·安徽师范大学附属中学高二期中（理））已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用导数求得函数的单调性与最值，求解，转化为
或，作出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.
【详解】
设，可得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，
由方程可化为，
解得或，
画出函数的图象，如图所示，
要使得关于的方程有5个不同的实数根，
则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A

【点睛】
对于方程根的存在性与根的个数的判定及应用，此类问题的解答中通常转化为函数的图象的交点个数，结合函数点图象列出相应的不等式是解答的关键，着重考查数形结合，以及转化思想的应用，属于中档试题.
9．（2019·全国高一专题练习）若关于x的方程的一个根在区间内，另一个根在区间内，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程和函数之间的关系设f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2，根据一元二次方程根的分布，建立不等式关系进行求解即可．
【详解】
设函数f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2，
∵方程7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2），

∴，∴，解得：﹣4＜m＜﹣2，
即实数m的取值范围是（﹣4，﹣2）；
故选：A．
10．（2021·安徽马鞍山二中高二期末（文））已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先画出函数的图象，令，由题意中的恰有个不同的实数解，确定方程的根的取值情况，继而求出的范围
【详解】
，则
当时，，单调递增
当时，，单调递减
如图所示：

令，则有
即
解得
故
即
故选
【点睛】
本题考查了复合函数根的情况，在解答此类题目时需要运用换元法，根据原函数图像，结合实数点的个数，确定方程根的取值范围，从而进行转化为方程根的情况，然后求解，本题需要进行转化，有一定难度．
11．（2020·全国高二课时练习）若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
方程转化为由且只有两个不同的实数根，看成与有且只有两个不同的交点，即过的直线与以为圆心，为半径的半圆有且只有两个交点，从而得到斜率的范围.
【详解】
方程有且只有两个不同的实数根，
得有且只有两个不同的实数根，
即与有且只有两个不同的交点，
即过的直线与以为圆心，为半径的半圆有且只有两个交点，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为
即，解得，
当直线过时，斜率为，
所以的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据直线与圆相切求斜率的值，函数与方程，属于中档题.
12．（2022·江苏高三专题练习）设函数，若互不相等的实数、、，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，作出函数的图象，结合图象可得出的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出，进而可求得的取值范围.
【详解】
设，作出函数的图象如下图所示：

设，
当时，，
由图象可知，，则，可得，
由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以，，
因此，.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
13．（2022·全国高三专题练习）已知函数的值域为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
通过讨论m的范围，结合二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可．
【详解】
m＝0时，f（x）＝1，不合题意；
m≠0时，令g（x）＝mx2+mx+1，
只需，
解得：m≥4，
故选D．
【点睛】
本题考查了幂函数的性质，考查二次函数的性质，考查了分类整合的思想，是一道中档题．
二、填空题
14．（2021·全国高三（理））方程的解为___________.
【答案】3
【分析】
利用对数运算法则变形方程，再借助对数函数单调性转化成指数方程求解即可.
【详解】
方程化为：，即，
因函数在上单调递增，于是得：，且，
解得：，即，解得或，即或，
而当时，，即不成立，当时，，则，
所以原方程的解为.
故答案为：3
15．（2021·林芝市第二高级中学高三月考（理））不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】
由指数函数的单调性可得，求解即可.
【详解】
，，即，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：.
16．（2020·衡水中学实验学校高一期中）函数的值域为______.
【答案】
【分析】
令，由二次函数知识求解的范围，结合对数函数单调性可得值域.
【详解】
令，则，
因为，且为增函数，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查复合函数的值域问题，换元法是常用的方法，把复合函数拆分为简单函数进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.
17．（2020·全国高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】
由题意，函数的定义域为，转化为不等式在R上恒成立，利用一元二次函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
即不等式在R上恒成立，
当时，不等式等价与，不符合题意；
则满足 ，解得，即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的定义域为R，转化为不等式在R上恒成立，利用一元二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力.
18．（2021·河北巨鹿中学高二月考）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
，使是假命题，则，使是真命题，对是否等于进行讨论，当时不符合题意，当时，由二次函数的图像与性质解答即可．
【详解】
，使是假命题，
则，使是真命题，
当，即，转化为，不是对任意的恒成立；
当，，使即恒成立，即
，第二个式子化简得，解得或
所以
【点睛】
本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出，使是真命题这一条件，属于一般题．
19．（2021·河北石家庄二中高一月考）已知函数，若函数恰有3个零点，分别为，则的值为________.
【答案】
【分析】
令，则，通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为和，结合图像可知，，从而求得，，进而求得的值．
【详解】
令，则
函数恰有3零点，等价于的图像与直线恰有3个交点，即与直线恰有3个交点，设为，如图

函数，的图像取得最值有2个t值，分别为和，由正弦函数图像的对称性可得，即
，即，
故 ，
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
20．（2019·全国高三专题练习（理））若关于的方程有两个不等正实根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
令，即方程有两个大于1的不等正实根.
【详解】
令，即方程有两个大于1的不等正实根，
∴,
∴
【点睛】
本题利用换元法转化为二次方程根的分布问题，属于中档题.
21．（2022·全国高三专题练习（文））函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致.
【详解】
在上单调递增，
在单调递减，
则，即，
同时 需满足，即，
解得，
综上可知
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题.
22．（2022·全国高三专题练习）已知函数，若任意、且，都有，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】
本题首先可令，将转化为，然后令，通过函数单调性的定义得出函数在上是增函数，最后分为、两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】
因为任意、且，都有，
所以令，即，，
令，则函数在上是增函数，
若，则，显然不成立；
若，则，解得，
综合所述，实数a的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据函数的性质求参数，主要考查函数单调性的定义以及二次函数性质，要注意这种情况，考查推理能力，是中档题.
23．（2019·四川棠湖中学高二开学考试（文））若函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】
结合二次函数的性质,判定单调区间和对称轴的关系,．建立不等式,计算a的范围，即可
【详解】
结合单调性满足的条件可知,故
【点睛】
考查了二次函数单调性的性质，关键得出当区间位于对称轴的两边时才能保证单调性，即可，难度中等．
24．（2020·全国高一课时练习）已知函数，则该函数的单调递增区间是__________.
【答案】
【分析】
设，求出的单调性，再根据复合函数的单调性原理即得解.
【详解】
由题得函数的定义域为.
设，
函数在单调递减，在单调递增，
函数在其定义域内单调递减，
所以在单调递增，在单调递减.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查二次函数和指数函数的单调性，考查复合函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.