山东省烟台市南部地区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年山东省烟台市南部地区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在中，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 开口向下
B. 对称轴是直线
C. 图象与轴有两个交点
D. 当时，的值随值的增大而减小

5. 将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得到的抛物线为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小亮由处径直走到处，他在灯光照射下的影长与行走的路程之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知点，，在抛物线上，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知抛物线，是常数且，下列选项中可能是它大致图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知二次函数的图象如图所示有下列个结论：；；；的实数，其中正确结论的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

11. 若是关于的二次函数，则的值是______．
12. 中，、都是锐角，若，，则______．
13. 如图所示的四个几何体中，正投影可能是四边形的几何体共有______个．

14. 一小球被抛出后，距离地面的高度米和飞行时间秒满足下面函数关系式，则小球距离地面的最大高度是______米．
15. 如图，抛物线与双曲线交于点，则不等式的解集是______．

16. 如图是一种机器零件的示意图，其中米，米，则四边形的面积为______米．

三、选择题（本题共9小题，共68分）

17. 计算：．
18. 在中，，，．
    求的长；
    求的值．
19. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示．
    请你通过画图确定灯泡所在的位置．
    如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高．
     
20. 小尧用“描点法”画二次函数的图象，列表如下：

由于粗心，小尧算错了其中的一个值，请你指出这个算错的值所对应的 ______ ；
在图中画出这个二次函数的图象；
当时，的取值范围是______ ．

21. 某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为元，经市场调研表明，按定价元出售，每日可销售件．为了增加销量，每降价元，日销售量可增加件．在确保盈利的前提下，当降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
22. 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．
    
    求该二次函数的解析式；
    将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．
23. 为响应“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，我市拟修建一矩形绿地，绿地一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边为米，面积为平方米如图．
    求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
    求矩形的最大面积．

24. 市政府为实现网络全覆盖，年拟建设基站三千个．如图，在斜坡上有一建成的基站塔，斜坡的坡比为：小芳在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走了米到达处，在处测得塔顶的仰角为点、、、均在同一平面内，为地平线参考数据：，，
    求处的竖直高度；
    求基站塔的高．

25. 已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点，的坐标分别为，．
    求抛物线的解析式；
    如图，直线为抛物线的对称轴，请在直线上找一点，使得最小，求出点的坐标；
    连接，求的面积．
    如图，是轴上方抛物线上的一动点，连接，，当时，请直接写出直线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
故选：．
根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是解决此题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线解析式为，
顶点坐标为，
故选：．
由二次函数解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标．
 

4.【答案】 

【解析】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
图象与轴没有交点，
当时，随的增大而增大，
故A、、选项错误；选项正确．
故选：．
根据二次函数顶点式的特点进行判断即可．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
 

5.【答案】 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位长度所得抛物线的解析式为：．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位所得抛物线的解析式为：．
故选：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：小路的正中间有一路灯，晚上小亮由处径直走到处，他在灯光照射下的影长与行走的路程之间的变化关系应为：当小亮走到灯下以前：随的增大而减小；当小亮走到灯下以后再往前走时：随的增大而增大，
用图象刻画出来应为．
故选：．
根据中心投影的性质得出小亮在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．
此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出随的变化规律是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向上，点到对称轴的距离比点远，点到对称轴的距离比点远，
．
故选B．
先配方得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：设小正方形的边长为，作的延长线于点．
在中，，，
，
故选A．
的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点作垂直于的延长线于点在中根据三角函数的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．也考查了勾股定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线，是常数且，
图象开口向下，，
图象与轴交于负半轴，排除、，
，，
抛物线对称轴在轴右侧，排除．
故选：．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握图象对称轴位置与，的关系是解题关键．
根据抛物线对称轴位置和，的关系以及利用图象开口方向与的关系，得出图象开口向下，对称轴经过轴正半轴，利用图象与轴交点和的符号，进而得出答案．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与轴的交点在轴的上方得到，则；观察图象得到当时，，即；当时，，即；根据二次函数的最值问题得到时，有最大值，则，变形得到．
【解答】
解：抛物线开口向下，
；
抛物线的对称轴为直线，
；
抛物线与轴的交点在轴的上方，
，
，所以错误；
当时，，即，
，所以不正确；
当时，，即，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
时，有最大值，
，
，所以正确．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：函数是关于的二次函数，
且，
解得，
故答案为：．
根据二次函数的定义求解．
本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为．
 

12.【答案】 

【解析】解：中，、都是锐角，，
．
．
故答案为：．
先根据特殊角的三角函数值求出、的度数，再根据三角形内角和定理求出即可作出判断．
本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为圆柱的正投影是矩形，圆锥的正投影是等腰三角形，球的正投影是圆，正方体的正投影是正方形，所以，正投影是四边形的几何体是圆柱和正方体，共个，
故答案为：．
四个几何体的正投影：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．
本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由知，当时，，
即小球距离地面的最大高度是米，
故答案为：．
根据二次函数的性质可得．
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：由图可知，当或时抛物线在反比例函数图象的上方，
当时，抛物线在反比例函数图象的下方，
不等式的解集是或．
故答案为：或．
结合函数图象即可得出解集．
本题考查了二次函数与反比例函数的图象，解题的关键是熟知函数图象与不等式的关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：作于点，
由题意得，，，，
，，
四边形是梯形，
，
四边形是矩形，
米，，
，
，
米，
，，
，
米，
米，
米，
米，
故答案为：．
作于点，由题意得，，所以四边形是梯形，，再证明四边形是矩形，则米，由，可求得米，再证明，则米，即可求得米，则米，于是得到问题的答案．
此题重点考查锐角三角函数与解直角三角形、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】代入特殊角三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，特殊角三角函数值，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

18.【答案】解：在中，，，，
；

在中，，，，
． 

【解析】利用勾股定理即可求解；
根据正切函数的定义即可求解．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理与锐角三角函数定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，点为灯泡所在的位置，
线段为小亮在灯光下形成的影子；


解：由已知可得，，
，
．
灯泡的高为． 

【解析】连接延长交于，点即为所求．连接，延长交于线段即为所求；
根据，构建方程，可得结论．
本题考查了作图应用与设计作图，中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
 

20.【答案】解：；
画出这个二次函数的图象如图：

或． 

【解析】解：从表格可以看出，当或时，，
可以判断，是抛物线上的两个对称点，
就是顶点，设抛物线顶点式，
把代入解析式，，解得，
所以，抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
所以这个错算的值所对应的，
故答案为：；
见答案；
由图象可知：当时，的取值范围是或．
故答案为：或．

认真观察表格中的数据，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点，是抛物线上的两个对称点，从而寻找对称轴和顶点坐标，设抛物线的顶点式，求解析式，再逐一检验；
利用描点、连线，画出函数图象即可；
根据图象即可求得．
本题考查了二次函数的图象和性质，找对称点，顶点坐标及对称轴，与轴轴的交点，确定二次函数的解析式是解题的关键
 

21.【答案】解：设每件降价元，每天售出商品的利润为元，
，
当时，有最大值 ，
当降价元时，每天的利润最大，最大利润是元． 

【解析】首先根据题意得出单价，销售量，根据利润销售量单价成本，列出函数关系式，再利用配方法求出函数的极值，并求出此时的销售单价．
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用．
 

22.【答案】解：二次函数图象的顶点为，
设二次函数解析式为，
把点代入二次函数解析式，得：
，解得，
二次函数解析式为，即；

令，得，解方程，得，．
二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和，
二次函数图象上的点向右平移个单位后经过坐标原点．
故平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为． 

【解析】有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；
由于是向右平移，可让二次函数的的值为，得到相应的两个值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．
考查用待定系数法来求函数解析式、坐标系里点的平移的特点．
 

23.【答案】解：，
，
．
与之间的函数关系式为，
自变量的取值范围为．
由抛物线可知，
其顶点坐标为，对称轴为直线，
，抛物线开口向下，在对称轴的右侧，的值随的值的增大而减小，
当时，有最大值，，
矩形的面积最大为平方米． 

【解析】根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式，并由求出自变量的取值范围即可；
将中所得的二次函数解析式写出顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
此题主要考查了二次函数的应用，解题关键是理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质．
 

24.【答案】解：如图，过点、分别作的垂线，交的延长线于点、，过点作，垂足为．

斜坡的坡比为：，
，
即，
设米，则米，
在中，米，由勾股定理得，
，
即，
解得负值舍去，
米，米．
处的竖直高度为米；

设米，则米，米，
，
，
米，
米．
在中，
米，米，，
，
解得
米，
米，
米．
答：基站塔的高为米． 

【解析】通过作辅助线，利用斜坡的坡度为：，，由勾股定理可求出答案；
设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．
本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
 

25.【答案】解：将，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
连接交于，如图：

直线为抛物线的对称轴，
，直线为，
，
而此时、、共线，故此时最小，
在中，令得或，
，
由，得直线为，
在中令得，
；
，，
，
，
，
，
，
；
过作于，如图：

，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
把代入得：
，
解得此时与重合，舍去或，
． 

【解析】将，代入，由待定系数法即得抛物线的解析式为；
连接交于，由得，直线为，在中令即得；
根据，得，可得，，即得；
过作于，由，得，设，则，即有，解得．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含的代数式表示的坐标及列方程解决问题．