山东省烟台市龙口市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制）(含答案)

这是一份山东省烟台市龙口市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制）(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，AB＝10，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y＝3x2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣5）B．（0，0）C．（0，5）D．（3，﹣5）
4．对于二次函数y＝x2+2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．图象与x轴有两个交点
D．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小
5．将抛物线y＝﹣5x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣2B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣5（x﹣1）2+2D．y＝﹣5（x+1）2+2
6．如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小亮由A处径直走到B处，他在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2x2﹣4x+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y1
8．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数，且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（请把正确答案填在答题纸的相应位置上）
11．若是关于x的二次函数，则m的值是 ．
12．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，csB＝，则∠C＝ ．
13．如图所示的四个几何体中，正投影可能是四边形的几何体共有 个．
14．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式h＝﹣4（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是 米．
15．如图，抛物线y＝ax2与双曲线y＝交于点（1，2），则不等式ax2＞的解集是 ．
16．如图是一种机器零件的示意图，其中CE＝1米，BF＝米，则四边形ABEC的面积为 米2．
三、解答题（请把解答过程写在答题纸的相应位置上）
17．计算：sin45°+cs60°﹣2cs45°﹣tan45°．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．
（1）求BC的长；
（2）求tanA的值．
19．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示．
（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
20．小尧用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象，列表如下：
（1）由于粗心，小尧算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝ ；
（2）在图中画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象；
（3）当y≥5时，x的取值范围是 ．
21．某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件．为了增加销量，每降价1元，日销售量可增加2件．在确保盈利的前提下，当降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
22．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
23．为响应“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，我市拟修建一矩形绿地，绿地一边靠墙，可利用的墙长不超过18米，另外三边由40米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边AB为x米，面积为y平方米（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）求矩形ABCD的最大面积．
24．市政府为实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站三千个．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1：2.4．小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
25．已知抛物线y＝ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A，C的坐标分别为（1，0），（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标；
②连接AC，求△ACM的面积．
（3）如图2，P是x轴上方抛物线上的一动点，连接BC，BP，当∠PBA＝∠PBC时，请直接写出直线BP的解析式．
参考答案
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题纸上）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，AB＝10，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，AB＝10，
∴csA＝＝，
∴AC＝AB＝×10＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
2．如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是解决此题关键．
3．抛物线y＝3x2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣5）B．（0，0）C．（0，5）D．（3，﹣5）
【分析】由二次函数解析式求解．
解：∵抛物线解析式为y＝3x2﹣5，
∴顶点坐标为（0，﹣5），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标．
4．对于二次函数y＝x2+2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．图象与x轴有两个交点
D．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小
【分析】根据二次函数顶点式的特点进行判断即可．
解：∵二次函数y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，2），
∴图象与x轴没有交点，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
故A、C、D选项错误；B选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
5．将抛物线y＝﹣5x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣2B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣5（x﹣1）2+2D．y＝﹣5（x+1）2+2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣5x2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝﹣5（x+1）2．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣5（x+1）2向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣5（x+1）2+2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小亮由A处径直走到B处，他在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心投影的性质得出小亮在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．
解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小亮由A处径直走到B处，他在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小亮走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小亮走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，
∴用图象刻画出来应为B．
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随S的变化规律是解决问题的关键．
7．已知点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝2x2﹣4x+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y1
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
解：y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线开口向上，点A（﹣3，y1）到对称轴的距离最远，点B（2，y2）到对称轴的距离最近，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】sin∠BAC的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点C作CD垂直于AB的延长线于点D．在Rt△ADC中根据三角函数的定义求解．
解：设小正方形的边长为1，作CD⊥AB的延长线于点D．
∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，CD＝3，AC＝＝5
∴sin∠BAC＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．也考查了勾股定理．
9．已知抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数，且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据抛物线对称轴位置和a，b的关系以及利用图象开口方向与a的关系，得出图象开口向下，对称轴经过x轴正半轴，利用图象与y轴交点和c的符号，进而得出答案．
解：∵抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a﹣2＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝2，
∴抛物线对称轴在y轴右侧．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握图象对称轴位置与a，b的关系是解题关键．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x＝1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，所以②不正确；
当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b），所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＜0，抛物线的开口向下，当x＝﹣时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
二、填空题（请把正确答案填在答题纸的相应位置上）
11．若是关于x的二次函数，则m的值是 2 ．
【分析】根据二次函数的定义求解．
解：∵函数是关于x的二次函数，
∴m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，
解得m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为0．
12．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，csB＝，则∠C＝ 60° ．
【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．
解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA＝，csB＝，
∴∠A＝∠B＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．
13．如图所示的四个几何体中，正投影可能是四边形的几何体共有 2 个．
【分析】四个几何体的正投影：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．
解：因为圆柱的正投影是矩形，圆锥的正投影是等腰三角形，球的正投影是圆，正方体的正投影是正方形，所以，正投影是四边形的几何体是圆柱和正方体，共2个，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
14．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式h＝﹣4（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是 6 米．
【分析】根据二次函数的性质可得．
解：由h＝﹣4（t﹣1）2+6知，当t＝1时，h最大＝6，
即小球距离地面的最大高度是6米，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．如图，抛物线y＝ax2与双曲线y＝交于点（1，2），则不等式ax2＞的解集是 x＜0或x＞1 ．
【分析】结合函数图象即可得出解集．
解：由图可知，当x＜0或x＞1时抛物线y＝ax2在反比例函数图象的上方，
当0＜x＜1时，抛物线y＝ax2在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集是x＜0或x＞1．
故答案为：x＜0或x＞1．
【点评】本题考查了二次函数与反比例函数的图象，解题的关键是熟知函数图象与不等式的关系．
16．如图是一种机器零件的示意图，其中CE＝1米，BF＝米，则四边形ABEC的面积为 米2．
【分析】作AG⊥CF于点G，由题意得AB∥CE，CD∥EH∥AG∥BF，所以四边形ABEC是梯形，∠EBF＝∠BEH＝30°，再证明四边形ABFG是矩形，则AG＝BF＝米，由＝tan30°＝，可求得EF＝1米，再证明∠BAC＝∠BCA＝45°，则CG＝AG＝米，即可求得AB＝GF＝CE+EF﹣CG＝（2﹣）米，则S四边形ABEC＝BF（AB+CE）＝米2，于是得到问题的答案．
解：作AG⊥CF于点G，
由题意得AB⊥BF，CF⊥BF，CD⊥CF，EH⊥CF，
∴AB∥CE，CD∥EH∥AG∥BF，
∴四边形ABEC是梯形，
∵∠AGF＝∠F＝∠B＝90°，
∴四边形ABFG是矩形，
∴AG＝BF＝米，AB＝GF，
∵∠EBF＝∠BEH＝30°，
∴＝tan∠EBF＝tan30°＝，
∴EF＝×＝1（米），
∵∠AGC＝90°，∠GAC＝∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴CG＝AG＝米，
∵CE＝1米，
∴AB＝GF＝CE+EF﹣CG＝1+1﹣＝（2﹣）米，
∴S四边形ABEC＝BF（AB+CE）＝××（2﹣+1）＝（米2），
故答案为：．
【点评】此题重点考查锐角三角函数与解直角三角形、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（请把解答过程写在答题纸的相应位置上）
17．计算：sin45°+cs60°﹣2cs45°﹣tan45°．
【分析】代入特殊角三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
解：原式＝+﹣2×﹣1
＝
＝﹣．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，特殊角三角函数值，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．
（1）求BC的长；
（2）求tanA的值．
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）根据正切函数的定义即可求解．
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝，
∴BC＝；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝，
∴tanA＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理与锐角三角函数定义是解题的关键．
19．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示．
（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
【分析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求；
（2）根据＝，构建方程，可得结论．
【解答】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小明在灯光下形成的影子；
（2）解：由已知可得，＝，
∴＝，
∴OD＝4m．
∴灯泡的高为4m．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
20．小尧用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象，列表如下：
（1）由于粗心，小尧算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝ 2 ；
（2）在图中画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象；
（3）当y≥5时，x的取值范围是 x≤﹣4或x≥2 ．
【分析】（1）认真观察表格中的数据，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点，是抛物线上的两个对称点，从而寻找对称轴和顶点坐标，设抛物线的顶点式，求解析式，再逐一检验；
（2）利用描点、连线，画出函数图象即可；
（3）根据图象即可求得．
解：（1）从表格可以看出，当x＝﹣2或x＝0时，y＝﹣3，
可以判断（﹣2，﹣3），（0，﹣3）是抛物线上的两个对称点，
（﹣1，﹣4）就是顶点，设抛物线顶点式y＝a（x+1）2﹣4，
把（0，﹣3）代入解析式，﹣3＝a﹣4，解得a＝1，
所以，抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，
当x＝2时，y＝（2+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
所以这个错算的y值所对应的x＝2，
故答案为2；
（2）画出这个二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图：
（3）由图象可知：当y≥5时，x的取值范围是x≤﹣4或x≥2．
故答案为x≤﹣4或x≥2．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，找对称点，顶点坐标及对称轴，与x轴（y轴）的交点，确定二次函数的解析式是解题的关键
21．某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件．为了增加销量，每降价1元，日销售量可增加2件．在确保盈利的前提下，当降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【分析】首先根据题意得出单价＝40﹣18﹣x，销售量＝20+2x，根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式，再利用配方法求出函数的极值，并求出此时的销售单价．
解：设每件降价x元，每天售出商品的利润为y元，
y＝（40﹣18﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+24x+440
＝﹣2（x2﹣12x﹣220）
＝﹣2（x﹣6）2+512，
当x＝6时，y有最大值 512，
∴当降价6元时，每天的利润最大，最大利润是512元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用．
22．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
【分析】（1）有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；
（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．
解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），
∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0＝4a﹣4，解得a＝1，
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解方程，得x1＝3，x2＝﹣1．
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），
∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点或向右平移﹣3个单位，
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）或（﹣4，0）．
【点评】考查用待定系数法来求函数解析式、坐标系里点的平移的特点．
23．为响应“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，我市拟修建一矩形绿地，绿地一边靠墙，可利用的墙长不超过18米，另外三边由40米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边AB为x米，面积为y平方米（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）求矩形ABCD的最大面积．
【分析】（1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由0＜40﹣2x≤18求出自变量x的取值范围即可；
（2）将（1）中所得的二次函数解析式写出顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
解：（1）y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
∵0＜40﹣2x≤18，
∴11≤x＜20．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x，
自变量x的取值范围为11≤x＜20．
（2）由抛物线y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200可知，
其顶点坐标为（10，200），对称轴为直线x＝10，
∵a＝﹣2＜0，抛物线y＝﹣2x2+40x开口向下，在对称轴的右侧，y的值随x的值的增大而减小，
∴当x＝11时，y有最大值，y最大值＝198，
∴矩形ABCD的面积最大为198平方米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，解题关键是理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质．
24．市政府为实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站三千个．如图，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比为1：2.4．小芳在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走了13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
【分析】（1）通过作辅助线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；
（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
解：（1）如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
∵斜坡CB的坡比为1：2.4，
∴＝，
即＝，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，∵CD＝13米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝132，
∴解得k＝1（负值舍去），
∴DM＝5（米），CM＝12（米）．
∴D处的竖直高度为5米；
（2）设DF＝12a米，则ME＝12a米，BF＝5a米，
∵∠ACE＝45°，
∴∠CAE＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝（12+12a）米，
∴AF＝AE﹣EF＝AE﹣DM＝12+12a﹣5＝（7+12a）米．
在Rt△ADE中，
∵DF＝12a米，AF＝（7+12a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝＝＝，
∴解得a＝
∴AF＝7+12a＝7+12×＝28（米），
BF＝5a＝5×＝（米），
∴AB＝AF﹣BF＝28﹣＝（米）．
答：基站塔AB的高为米．
【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
25．已知抛物线y＝ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A，C的坐标分别为（1，0），（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标；
②连接AC，求△ACM的面积．
（3）如图2，P是x轴上方抛物线上的一动点，连接BC，BP，当∠PBA＝∠PBC时，请直接写出直线BP的解析式．
【分析】（1）将（1，0），（0，﹣4）代入y＝ax2+5x+c，由待定系数法即得抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x﹣4；
（2）①连接BC交l于M，由y＝﹣x2+5x﹣4得B（4，0），直线BC为y＝x﹣4，在y＝x﹣4中令x＝即得M（，﹣）；
②根据A（1，0），B（4，0）得AB＝3，可得S△ABC＝AB•|yC|＝6，S△ABM＝AB•|yM|＝，即得S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝；
（3）过P作PH⊥AB于H，由∠PBA＝∠PBC，得∠PBA＝∠ABC＝45°，设PH＝BH＝t，则P（4﹣t，t），即有t＝﹣（4﹣t）2+5（4﹣t）﹣4，解得P（2，2），得到直线BP为y＝﹣x+4．
解：（1）将（1，0），（0，﹣4）代入y＝ax2+5x+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x﹣4；
（2）①连接BC交l于M，如图：
∵直线l为抛物线y＝﹣x2+5x﹣4的对称轴，
∴AM＝BM，直线l为x＝，
∴AM+CM＝BM+CM，
而此时B、M、C共线，故此时AM+CM最小，
在y＝﹣x2+5x﹣4中，令y＝0得x＝1或x＝4，
∴B（4，0），
由B（4，0），C（0，﹣4）得直线BC为y＝x﹣4，
在y＝x﹣4中令x＝得y＝﹣，
∴M（，﹣）；
②∵A（1，0），B（4，0），
∴AB＝3，
∵C（0，﹣4），
∴S△ABC＝AB•|yC|＝×3×4＝6，
∵M（，﹣），
∴S△ABM＝AB•|yM|＝×3×＝，
∴S△ACM＝S△ABC﹣S△ABM＝6﹣＝；
（3）过P作PH⊥AB于H，如图：
∵∠PBA＝∠PBC，
∴∠PBA＝∠ABC，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴OB＝OC，
∴∠PBA＝∠ABC＝45°，
∴PH＝BH，
设PH＝BH＝t，则OH＝4﹣t，
∴P（4﹣t，t），
把P（4﹣t，t）代入y＝﹣x2+5x﹣4得：
t＝﹣（4﹣t）2+5（4﹣t）﹣4，
解得t＝0（此时与B重合，舍去）或t＝2，
∴P（2，2），
设直线BP为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BP解析式为y＝﹣x+4．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含t的代数式表示P的坐标及列方程解决问题．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
﹣5
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
﹣5
…