高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆教案

第三章  圆锥曲线的

3.1  椭圆

3.1.2  椭圆的简单的几何性质

一、教学目标

1、熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）

2、理解离心率的大小对椭圆形状的影响.

3、通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想.

二、教学重点、难点

重点：熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率）

难点：通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【回顾】

【问题】如何有效的描述椭圆？椭圆作为一个几何图形有什么样的几何性质呢？

（二）阅读精要，研讨新知

【研究对象】焦点在轴上，

【总结提升】焦点在轴上的椭圆的几何性质又如何呢？（与焦点在轴上的椭圆的几何性质类比认知）

【例题研讨】阅读领悟课本例4（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.）

例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

解：椭圆的标准方程为，所以

所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率，，

两个焦点为，四个顶点坐标为，

【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

【例题研讨】阅读领悟课本例5、例6、例7（用时约为3分钟，教师作出准确的评析.）

例5如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上 .由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知，cm，cm，试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程(精确到0.1 cm).

解： 建立如图3.1-11所示的平面直角坐标系，

设所求椭圆方程为

在中，

由椭圆的性质知，，

所以，

所以，所求的椭圆方程为

例6动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.

解：如图3.1-12, 设是点到直线的距离，根据题意，

动点的轨迹就是集合，

由此得，化简得，即

所以，点的轨迹是长轴，短轴长分别为10，6的椭圆.

例7 如图3.1-13,已知直线和椭圆，

为何值时，直线与椭圆：

（1）有两个公共点? 

（2）有且只有一一个公共点? 

（3）没有公共点?

解：由方程组     ①

方程①的根的判别式

（1）由，此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点.

（2）由，此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点.

（3）由，或，此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点.

【小组互动】完成课本练习1、2，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

1.（多选）下列结论中正确的是（   ）

A. 椭圆的焦点坐标为

B. 椭圆的短半轴长为1，离心率,则长轴长的取值范围为

C. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则

D. 椭圆上的点到它的左焦点的最远距离等于9，最近的距离等于1

解：由已知，得，焦点在轴上，，故焦点为，A正确；

对于B，因为,所以,又，所以，，即，又,所以,从而,故长轴长满足，故B错误；

对于C，，，所以，正确；

对于D，椭圆为，所以，椭圆上的点到它的左焦点的最远距离为，

最近的距离为，正确，故选ACD

2. 离心率，焦距为16的椭圆的标准方程为             . 

解：由已知解得

所以椭圆的标准方程为或

3. 已知分别为椭圆的左、右焦点, 为椭圆上一点, 为坐标原点,

且 , ,则该椭圆的离心率为(　　)

A.         B.        C.        D.

解：如图,取的中点为,连接,所以

因为，即，所以，即

令,则,又

所以，即，即,故选C.

4. 已知为椭圆上一点, 为椭圆焦点,且,则椭圆离心率的范围是 (　　)

A.       B.        C.      D.

解：由已知，，又，

所以

    又，所以椭圆离心率的范围是，故选D.

5. 已知点是椭圆上的一点, 是椭圆上的两个焦点.

（1）当时,求的面积.

（2）当为钝角时,求点横坐标的取值范围.

解：（1）令，由椭圆的定义,得      ①

在中, 由余弦定理得，即    ②

       所以

所以

（2）设点,由已知为钝角,得，又

     所以，即，又

联立解得

所以点横坐标的取值范围是

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1.完成课本习题3.1   3、4、7、8、11、12、13、14

2.阅读课本《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》

3.预习3.2  双曲线

五、教学反思：（课后补充，教学相长）