2022-2023学年山东省滨州市滨城区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省滨州市滨城区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 将二次函数向左平移个单位，再向上平移个单位，所得新抛物线表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 一元二次方程的求根公式是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 二次函数的图象与轴交点的情况是(    )

A. 没有交点 B. 有一个交点 C. 有两个交点 D. 与的值有关

7. 平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是元，现在生产一吨药的成本是元．下面所列方程正确的是(    )

A. 设生产成本的年平均下降率为，
B. 设生产成本的年下降率为，
C. 设生产成本的年下降率为，
D. 设生产成本的年平均下降率为，

9. 已知实数，满足，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 根据表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断一元二次方程的一个根的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知点，在二次函数的图象上，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

12. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：；；若为任意实数，则有；当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 若关于的方程的一个根是，则的值是______．
14. 二次函数的对称轴为，则的值是______．
15. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成．为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，则所围矩形猪舍的长为______时面积为．

16. 如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，，则等于______．

17. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面米时，水面宽米，水面下降______米，水面宽米．
     
18. 如图，点是正内一点．，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结．，，下列结论中正确的是______填序号，可以由绕点逆时针旋转得到；线段；四边形的面积为；．

三、解答题（本大题共6小题，共60分）

19. ；
    
    ；
    ．
20. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为的正方形的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题
    的面积为______；
    将向上平移个单位长度，画出平移后的；
    以坐标原点为对称中心，画出与成中心对称的图形．

21. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
    求的取值范围；
    若方程有一个根为，求的值和另一根．
22. 某饮料批发商店平均每天可售出某款饮料瓶，售出瓶该款饮料的利润是元．经调查发现，若该款饮料的批发价每降低元，则每天可多售出瓶．为了使每天获得的利润更多，该饮料批发商店决定降价元．
    当为多少时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元？
    当饮料批发商店决定降价为多少元时，每天卖出该款饮料的利润元最大，最大利润是多少？
23. 某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为．
    建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线第一象限部分的解析式；
    不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？
    实际施工时，经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．

24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于，直线经过点且与抛物线交于另一点．
    求抛物线的解析式；
    若是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，，求的面积的最大值；
    在第问的条件下，求点到直线的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B.是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.整理，得，故本选项不合题意；
D.是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：由表中数据得当时，；
当时，；
所以方程的解为，．
故选：．
根据表中的对应值得到当时，；当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将二次函数向左平移个单位，再向上平移个单位，所得新抛物线表达式为，
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

5.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的求根公式是，
故选：．
根据求根公式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用求根公式，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：令，则，
，
函数图象与轴有两个交点，
故选：．
令得到关于的一元二次方程，然后判断方程根的个数解题．
本题考查了二次函数与轴的交点个数，解题的关键是能够将二次函数图象与轴的交点个数转化为对应一元二次方程的解个数．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
题目考查平面直角坐标系中坐标图形的变化--旋转，通过点的旋转及全等三角形的构造，考察学生观察能力，是不错的题目在平面直角坐标系中，画出图形，通过“双垂线”法构造全等三角形，利用全等三角形性质求出对应线段长度，进而求出点的坐标．
【解答】
解：如图，过做轴，轴，

，
，
，
，
在和中，
，
≌中，
，，
点坐标为
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：设生产成本的年平均下降率为，
依题意得：．
故选：．
设生产成本的年平均下降率为，利用现在生产一吨药的成本两年前生产一吨药的成本生产成本的年平均下降率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
当时，有最大值，
故选：．
根据已知等式，可用表示出再利用二次函数的性质可求得其最大值．
本题主要考查二次函数的最值，用表示出是解题的关键，注意函数性质的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：由表格中的数据看出和更接近于，故应取对应的范围．
故答案为：．
故选C．
观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数，
开口向上，对称轴为直线，
点，在二次函数的图象上，
A.若，则到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，故A不正确；
B.若，则到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，故B正确；
C.若，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，故C不正确；
D.若，则到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，故D不正确；
故选：．
由抛物线的解析式得到开口向上，对称轴为直线，然后判断、两点到对称轴的距离即可判定结论正误．
本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，错误．
由图象可得时，，
正确．
由图象可得时，取最小值，
，即，正确．
抛物线对称轴为直线，
抛物线与直线的两个交点关于直线对称，
图象经过，
图象经过，
方程的两根为，，
，，
，不正确．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，由时即与的数量关系可判断，由时取最小值可判断，由抛物线经过及抛物线的对称性可得，值，从而判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，将代入方程，
得，
解得，
经检验，符合题意，
故答案为：．
将代入方程，得，进一步求解即可．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：的对称轴为，
对称轴为，
，
，
故答案为：．
由抛物线的对称轴列出方程，求出的值即可．
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，准确解一元一次方程是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的边长为，
由题意得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，符合题意．
即当所围矩形猪舍的长为或时面积为．
故答案为：或．
设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的边长为根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
由旋转的性质可知，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质得到，根据旋转变换的性质计算即可．
本题考查的是旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：以水平面所在的直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，为原点，

由题意可得：米，坐标为，
通过以上条件可设顶点式，
把点坐标代入抛物线解析式得，
，
解得：，
所以抛物线解析式为，
当时，，
水面下降米，
故答案为：．
根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把代入抛物线解析式得出，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，，所以正确；
，
即，
在和中，
，
≌，
可以由绕点逆时针旋转得到，所以正确；
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，，
四边形的面积，所以正确；
把绕点顺时针旋转得到，连接，如图，
，，，，
为等边三角形，
，
，，，
，
为直角三角形，，
，所以错误．
故答案为：．
先根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，，于是可对进行判断；再证明，根据旋转的定义，把绕点逆时针旋转得到，则可对进行判断，接着利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，所以四边形的面积，于是可对进行判断；把绕点顺时针旋转得到，连接，如图，证明为等边三角形和为直角三角形，然后利用进行计算，则可对进行判断．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．
 

19.【答案】解：，，，
，
则，
即，；
，
，
则或，
解得，；
，
，
则，
或，
解得，；
，
，
则，
，即，
，
，． 

【解析】利用公式法求解即可；
利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

20.【答案】 

【解析】解：的面积为．
故答案为：．
如图，即为所求．
如图，即为所求．

利用割补法求三角形的面积即可．
利用平移的性质作图即可．
利用中心对称的性质作图即可．
本题考查作图平移变换、中心对称，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得，；
方程有一个根为，
，
解得，，
则，
解得，，，
答：的值是，另一根是． 

【解析】根据一元二次方程根的判别式列出方程，解方程即可；
根据一元二次方程的解的定义代入求出，解方程即可．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．
 

22.【答案】解：该饮料批发商店决定降价元，
售出瓶该款饮料的利润是元，平均每天可售出瓶．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当为或时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为；
设每天卖出该款饮料的利润为元，
依题意得，
当时，取最大值为，
即当饮料批发商店决定降价为元时，每天卖出该款饮料的利润最大，最大利润是元． 

【解析】利用降价后每瓶的销售利润原来每瓶的销售利润降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，利用平均每天的销售量原销售量，即可得出降价后平均每天的销售量，利用总利润降价后每瓶的销售利润降价后平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
利用总利润降价后每瓶的销售利润降价后平均每天的销售量，列出函数解析式，再根据函数的性质求得降价的价格与利润的最大值．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是正确列函数解析式与一元二次方程．
 

23.【答案】解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
将代入得，，
解得，
抛物线的解析式为：．
令，得，，
解得舍或，
米，
水池的直径至少要米才能使喷出的水流不落到池外．
将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点，
设平移后的抛物线的解析式为：，
将代入得，，
解得，
当时，．
调整后水管的最大长度米． 

【解析】由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为：，将代入得，求出的值即可；
令，得，，解得舍或，可得直径至少为米；
将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点，设平移后的抛物线的解析式为：，将代入得求出的值，得出平移后的抛物线的解析式，再令求出即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
 

24.【答案】解：直线经过点，
令，则，
，
将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
联立方程组，
解得舍或，
，
过点作轴，交于，
设，则，
，
，
当时，的面积最大值是；
，，
，
设点到的距离为，
，
，
，
，
点到直线距离的最大值为． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
过点作轴，交于，设，则，则，当时，的面积最大值是；
当的面积最大时，点到直线的距离最大，利用等积法求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用铅锤法求三角形的面积是解题的关键．