2023-2024学年山东省滨州市滨城区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省滨州市滨城区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝48°，CD平分∠ACB交AB于点D，则∠BDC的大小为（ ）
A．72°B．90°C．96°D．108°
3．已知三角形的两边长分别为3、7，则第三边a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜10B．4≤a≤10C．a＞4D．a＜10
4．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C
5．如图，长方形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处．如果∠BAF＝60°，AB＝3，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．12B．16C．18D．20
6．在下列条件：①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A+∠B＝∠C；④；中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．下列说法中，正确的有（ ）个．
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点；
⑤△ABC的三边为a，b，c，且满足关系（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则△ABC为等边三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图所示，C，D是直线l上任意两点，AC＝BC，AD＝BD，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ACD＝∠BCDB．CD平分AB但不垂直AB
C．CD垂直平分ABD．S△ACD＝S△BCD
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限，△ABO是等边三角形，点E在线段OA上，且AE＝2，点F是线段AB上的动点，点P是y轴负半轴上的动点，当EP+FP的值最小时，AF＝7，则点A的坐标是（ ）
A．（﹣7，0）B．（﹣8，0）C．（﹣9，0）D．（﹣10，0）
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠B＝∠ADF，④GD＝GH．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③④B．②③④C．①②③D．①②④
二、填空题。（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 性．
12．点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P'的坐标是 ．
13．在△ABC中，若∠B＝∠A+20°，∠C＝50°，则∠B＝ ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ．
15．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝2，AD是△ABC的角平分线，则BD：DC＝ ．
16．如图，已知点B是AC边上的动点（不与A，C重合），在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，下列结论正确的是 ．（填序号）
①△ABE≌△DBC；
②∠CBE＝60°；
③GF∥AC；
④△BFG是等边三角形；
⑤HB平分∠AHC；
⑥AH＝DH+BH；
⑦CH＝BH+EH；
⑧∠HGF＝∠HBF；
⑨∠HFG＝∠GBH；
⑩图中共有2对全等三角形．
三、解答题。（本大题共11个小题，满分65分。解答时请写出必要的演推过程）
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）△ABC的面积为 ．
（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B′C′．
（3）在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短，在图中作出P点的位置．
18．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：
（1）△ABC≌△AED；
（2）∠1＝∠DEC．
19．下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明．
20．如图，在△ABC中，AD与CE是△ABC的高．
（1）若AB＝7cm，BC＝10cm，CE＝8cm，求AD；
（2）若AB＝2，BC＝3，△ABC的高AD与CE的比是多少？
21．如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，交换命题的条件和结论，会得到一个新命题：在直角三角形中， ．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明：若为假命题，请说明理由．
22．如图，已知直角△ABC，∠B＝90°，AB＜BC，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使BP⊥AC．（保留作图痕迹，不写作法）
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求：
（1）图中有哪些等腰三角形？
（2）△ABC各角的度数．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证：
（1）△ADC是等边三角形；
（2）点E在线段CD的垂直平分线上．
25．在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，0），a、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，点P在第一象限，PA＝PB，且PA⊥PB．
（1）如图1，点P的坐标为 ；
（2）如图2，若A点运动到A1位置，B点运动到B1位置，保持PA1⊥PB1，求OB1﹣OA1的值；
（3）如图3，若Q是线段AB上一点，C为AQ中点，作PR＝PQ，PR⊥PQ，连BR，判定线段BR与PC的关系，并加以证明．
参考答案
一、选择题。本大题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B验笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题涂对得3分，满分30分。
1．2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝48°，CD平分∠ACB交AB于点D，则∠BDC的大小为（ ）
A．72°B．90°C．96°D．108°
【分析】由三角形的内角和可求得∠ACB＝72°，再由角平分线的定义可求得∠ACD＝36°，利用三角形的外角性质即可求∠BDC的度数．
解：∵∠A＝60°，∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝36°，
∵∠BDC是△ACD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝96°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解答的关键是熟记相应的知识并灵活运用．
3．已知三角形的两边长分别为3、7，则第三边a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜10B．4≤a≤10C．a＞4D．a＜10
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
解：∵三角形的两边长分别为3、7，
∴第三边a的取值范围是则4＜a＜10．
故选：A．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
4．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝∠C
【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5．如图，长方形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处．如果∠BAF＝60°，AB＝3，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．12B．16C．18D．20
【分析】根据直角三角形的性质可得AF＝2AB＝6，再由折叠的性质可得AD＝AF＝6，即可求解．
解：在长方形ABCD中，∠B＝90°，
∵∠BAF＝60°，AB＝3，
∴AF＝2AB＝6，
∵长方形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，
∴AD＝AF＝6，
∴长方形ABCD的面积是AB×AD＝3×6＝18．
故选：C．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
6．在下列条件：①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A+∠B＝∠C；④；中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①②④根据各小题给出的比先设出三角形各角的度数，再利用三角形的内角和定理得方程，求解后判断得结论；
③可利用直角三角形的性质得结论．
解：①∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．
由于∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180°，
∴x＝30．
∴3x＝90°．
∴∠C＝90°．
故条件①能判断△ABC为直角三角形．
②∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴设∠C＝x°，则∠A＝∠B＝2x°．
由于∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36．
∴2x＝72°．
∴∠A＝∠B＝72°．
故条件②不能判断△ABC为直角三角形．
③∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°．
故条件③能判断△ABC为直角三角形．
④∵，
∴设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．
由于∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180°，
∴x＝30．
∴3x＝90°．
∴∠C＝90°．
故条件④能判断△ABC为直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形，掌握直角三角形的性质和三角形的内角和定理是解决本题的关键．
7．下列说法中，正确的有（ ）个．
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点；
⑤△ABC的三边为a，b，c，且满足关系（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则△ABC为等边三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：①两个全等三角形不一定关于某条直线对称，故①错误；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故②正确；
③等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故③错误；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，故④正确；
⑤△ABC的三边为a，b，c，且满足关系（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则△ABC为等腰三角形，故⑤错误；
∴正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
8．如图所示，C，D是直线l上任意两点，AC＝BC，AD＝BD，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ACD＝∠BCDB．CD平分AB但不垂直AB
C．CD垂直平分ABD．S△ACD＝S△BCD
【分析】证明△ACD≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠BCD，再根据线段垂直平分线的判定定理判断即可．
解：A、在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠ACD＝∠BCD，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD是线段AB的垂直平分线，故本选项结论错误，符合题意；
C、∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD是线段AB的垂直平分线，本选项结论正确，不符合题意；
D、由（A）可知：S△ACD＝S△BCD，本选项结论正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限，△ABO是等边三角形，点E在线段OA上，且AE＝2，点F是线段AB上的动点，点P是y轴负半轴上的动点，当EP+FP的值最小时，AF＝7，则点A的坐标是（ ）
A．（﹣7，0）B．（﹣8，0）C．（﹣9，0）D．（﹣10，0）
【分析】作点E关于y轴的对称点E′，过点E′作E′F⊥AB交y轴于点P，进而得出EP+FP的值最小的情况，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案．
解：作点E关于y轴的对称点E′，过点E′作E′F⊥AB交y轴于点P，如图：
则此时EP+FP的值最小，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠AFE′＝90°，
∴∠E′＝30°，
∴AE′＝2AF＝2×7＝14，
∵AE＝2，
∴，
∴OA＝8，
∴点A的坐标为（﹣8，0），
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径以及含30°的直角三角形的性质，根据题意得出EP+FP的值最小时的情况是解本题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠B＝∠ADF，④GD＝GH．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③④B．②③④C．①②③D．①②④
【分析】①四边形AGDH中，由四边形的内角和求∠EDF即可；
②由题意可知DE是AB的垂直平分线，DF是AC的垂直平分线，连接BD，CD，推导出∠BDH＝∠DAH，∠DAG＝∠DCG，再由∠DBC＝∠DCB，即可证明AD是∠HAG的角平分线；
③先求出∠HAD＝∠DAG＝30°，再推导出∠DAF＝90°﹣∠B，在直角△DAF中，∠ADF＝90°﹣∠DAF＝∠B；
④由题意可知∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，又由当AB≠AC时，∠B≠∠C，可知△DHG不是等边三角形，则GD≠GH．
解：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
故①符合题意；
连接BD，CD，
∵E是AB的中点，ED⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∵F是AC的中点，DF⊥AC，
∴DF是AC的垂直平分线，
∴AD＝BD＝CD，BH＝AH，AG＝CG，
∴∠DBA＝∠DAB，∠HBA＝∠HAB，∠DAC＝∠DCA，∠GAC＝∠GCA，
∴∠DBH＝∠DAH，∠DAG＝∠DCG，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DAH＝∠DAG，
∴AD平分∠HAG，
故②符合题意；
∵BH＝HA，
∴∠HBA＝∠HAB，
∵∠GAC＝∠GCA，
∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC＝60°，
∵AD平分∠HAG，
∴∠HAD＝∠DAG＝30°，
∴∠DAF＝30°+60°﹣∠B＝90°﹣∠B，
∵∠DFA＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠DAF＝∠B，
故③符合题意；
∵ED⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，
当AB≠AC时，∠B≠∠C，
∠DHG≠∠DGH，
∴DH≠DG，
∵∠HDG＝60°，
∴△DHG不是等边三角形，
∴GD≠GH，
故④不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
二、填空题。（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 稳定 性．
【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．
解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是能够了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大．
12．点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P'的坐标是 （3，4） ．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，“横坐标不变，纵坐标变为相反数”，求解即可．
解：点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P'的坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
【点评】本题主要考查直角坐标系里的轴对称问题，关键是利用关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．在△ABC中，若∠B＝∠A+20°，∠C＝50°，则∠B＝ 75° ．
【分析】由：∠B＝∠A+20°，∠C＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，可得出∠A+∠A+20°+50°＝180°，求得∠A＝55°，最后求得∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣55°﹣50°＝75°．
解：∵∠B＝∠A+20°，∠C＝50°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+20°+50°＝180°，
∴∠A＝55°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣55°﹣50°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 7个 ．
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
解：如图：可以画出7个等腰三角形；
故答案为7．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
15．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝2，AD是△ABC的角平分线，则BD：DC＝ 3：2 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AM⊥BC于点M，根据角平分线的性质定理得出DE＝DF，再利用△ABD和△ACD的面积即可得出结论．
解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AM⊥BC于点M，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝3，AC＝2，
∴＝，
∵，
∴．
故答案为：3：2．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．如图，已知点B是AC边上的动点（不与A，C重合），在AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE，CD，下列结论正确的是 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ ．（填序号）
①△ABE≌△DBC；
②∠CBE＝60°；
③GF∥AC；
④△BFG是等边三角形；
⑤HB平分∠AHC；
⑥AH＝DH+BH；
⑦CH＝BH+EH；
⑧∠HGF＝∠HBF；
⑨∠HFG＝∠GBH；
⑩图中共有2对全等三角形．
【分析】根据等边三角形的性质得到BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，则可根据“SAS”判定△ABE≌△DBC，可对①②进行判断；证明△BGF为等边三角形得到∠BGF＝60°，则∠ABG＝∠BGF，所以GF∥AC，从而可对③、④进行判断．利用△ABE≌△DBC得到AE和DC边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对⑤进行判断，在AE上截取AN＝DH，连接BN，由“SAS”可证△ABN≌△DBH，可得BN＝BH，∠ABN＝∠DBH，可得AH＝DH+BH，可判断⑥，同⑥可判断⑦；根据三角形外角的性质可判断⑧⑨；证明△ABG≌△DBF（SAS），△BCF≌△BEG（ASA），可判断⑩；即可求解．
解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠DBE＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），故①②正确；
∴∠BAE＝∠BDC，∠BCD＝∠BEA，
在△AGB和△DFB中，
，
∴△AGB≌△DFB（ASA），
∴BG＝BF，
又∵∠DBF＝60°，
∴△BFG是等边三角形，故④正确，
∴∠BGF＝60°＝∠ABD，
∴GF∥AC，故③正确，
∵△ABE≌△DBC，
∴AE和DC边上的高相等，
即B点到AE和DC的距离相等，
∴BH平分∠AHC，所以⑤正确；
如图，在AE上截取AN＝DH，连接BN，
如图，在AE上截取AN＝DH，连接BN，
在△ABN和△DBH中，
，
∴△ABN≌△DBH（SAS），
∴BN＝BH，∠ABN＝∠DBH，
∴∠ABN+∠DBN＝∠DBH+∠DBN＝∠NBH＝∠ABD＝60°，
∴△BNH是等边三角形，
∴BH＝NH，
∴AH＝AN+NH＝DH+BH，故⑥正确，
在△ABN和△DBH中，
，
∴△ABN≌△DBH（SAS），
∴BN＝BH，∠ABN＝∠DBH，
∴∠ABN+∠DBN＝∠DBH+∠DBN＝∠NBH＝∠ABD＝60°，
∴△BNH是等边三角形，
∴BH＝NH，
∴AH＝AN+NH＝DH+BH，故⑥正确，
如图，在CD上截取CM＝BH，连接EM，
∵∠BAE＝∠BDC，
∵∠CHE＝∠BAE+∠BCD，
∴∠CHE＝∠BDC+∠BCD＝∠ABD＝60°，
∵BH平分∠AHC，
∴∠BHG＝∠BHF＝60°，
∴∠BEH+∠EBH＝∠BCH+∠ECM＝60°，
∵∠BCD＝∠BEA，
∴∠EBH＝∠ECM，
同理得△EBH≌△ECM（SAS），
∴EM＝MH，∠CEM＝∠BEH，
∴∠BEH+∠BEM＝∠CEM+∠BEM＝∠BEC＝60°，
∴△EMH是等边三角形，
∴EH＝MH，
∴CH＝CM+MH＝BH+EH，故⑦正确，
∵∠BHG＝∠BFG＝60°，
∴∠BEH+∠HBF＝∠BEH+∠HGF＝60°，
∴∠HGF＝∠HBF，故⑧正确；
∴∠EHC＝∠HFG+∠HGF＝∠GBH+∠HBF＝60°，
∴∠HFG＝∠GBH，故⑨正确；
⑩在△ABG和△DBF中，
，
∴△ABG≌△DBF（SAS），
在△BCF和△BEG中，
，
∴△BCF≌△BEG（ASA），
∵△ABE≌△DBC，
∴图中不只有2对全等三角形，故⑩错误．
故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
三、解答题。（本大题共11个小题，满分65分。解答时请写出必要的演推过程）
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）△ABC的面积为 5.5 ．
（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B′C′．
（3）在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短，在图中作出P点的位置．
【分析】（1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（2）分别作出各点关于直线MN的对称点，再顺次连接即可；
（3）连接BC′交直线MN于点P，则点P即为所求点．
解：（1）S△ABC＝3×4﹣×3×2﹣×1×4﹣×1×3＝12﹣3﹣2﹣1.5＝5.5．
故答案为：5.5；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：
（1）△ABC≌△AED；
（2）∠1＝∠DEC．
【分析】（1）先求出∠BAC＝∠EAD，再利用AAS证明即可；
（2）利用全等三角形的性质得到∠ABC＝∠AED，再利用三角形外角性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）；
（2）∵△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠AED，
∵∠1+∠B＝∠AEC＝∠DEC+∠AED，
∴∠1＝∠DEC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明．
【分析】分别利用三角形内角和定理与平行线的性质即可证明．
【解答】证明：
方法一：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）．
又∵∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD．
∴180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣∠ACD，
∴∠ACD＝∠A+∠B．
方法二：
过点C作CE∥AB．
∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，
∴∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B．
【点评】本题考查三角形内角和定理与平行线的性质，比较简单，要牢牢掌握该知识点，并能灵活运用．
20．如图，在△ABC中，AD与CE是△ABC的高．
（1）若AB＝7cm，BC＝10cm，CE＝8cm，求AD；
（2）若AB＝2，BC＝3，△ABC的高AD与CE的比是多少？
【分析】（1）利用三角形面积公式，即可求解；
（2）利用三角形面积公式求解即可．
解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列方程是解题的关键．
21．如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，交换命题的条件和结论，会得到一个新命题：在直角三角形中， 一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°， ．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明：若为假命题，请说明理由．
【分析】延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，证明△ABD是等边三角形，得到∠BAD＝60°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
解：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°，
故答案为：一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°；
此命题是真命题，理由如下：
已知：在△ABC中，，
求证：∠A＝30°．
证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，
∵∠ACB＝90°，CD＝BC，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
∴AB＝AD
∵，
∴BD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∵AC⊥BD，
∴．
故答案为：一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°．
【点评】此题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22．如图，已知直角△ABC，∠B＝90°，AB＜BC，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使BP⊥AC．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】：以B为圆心，大于B到AC的距离为半径作圆交AC于D，E，作DE的垂直平分线交AC于P，点P即为所求．
解：以B为圆心，大于B到AC的距离为半径作圆交AC于D，E，作DE的垂直平分线交AC于P，如图：
点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作线段的垂直平分线的尺规作图方法．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求：
（1）图中有哪些等腰三角形？
（2）△ABC各角的度数．
【分析】（1）根据已知和等腰三角形的定义，即可解答；
（2）设∠A＝x°，利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABD＝x°，从而利用三角形的外角性质可得∠BDC＝2x°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
解：（1）图中的等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BCD，
∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴△ABC，△ABD，△BCD都是等腰三角形；
（2）设∠A＝x°，
∵AD＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°，
∴△ABC各角的度数分别为36°，72°，72°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证：
（1）△ADC是等边三角形；
（2）点E在线段CD的垂直平分线上．
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝60°，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据DE是AB的垂直平分线，可得，即可证明△ADC是等边三角形；
（2）根据垂直平分线的性质可得AE＝BE，进而可得AE平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DE＝DC，根据等边三角形的性质可得AD＝AC，即可得证．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形；
（2）证明：DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，DE⊥AB，
∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC，
∵DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE＝EC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC，
∴点E在线段CD的垂直平分线上．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，0），a、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，点P在第一象限，PA＝PB，且PA⊥PB．
（1）如图1，点P的坐标为 （3，3） ；
（2）如图2，若A点运动到A1位置，B点运动到B1位置，保持PA1⊥PB1，求OB1﹣OA1的值；
（3）如图3，若Q是线段AB上一点，C为AQ中点，作PR＝PQ，PR⊥PQ，连BR，判定线段BR与PC的关系，并加以证明．
【分析】（1）求出OA＝2，OB＝4，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥y轴于N，如图1所示：则四边形PMON是矩形，证明△PAN≌△PBM（AAS），由全等三角形的性质得出PN＝PM，BM＝AN，则可得出结论；
（2）由ASA证得△PAA1≌△PBB1，得AA1＝BB1，证出OB1﹣OA1＝OB+OA，即可得出结果；
（3）延长PC到S，使PC＝CS，连接AS，由SAS证得△ACS≌△QCP，得AS＝PQ＝PR，∠S＝∠QPC，由SAS证得△ASP≌△PRB，得BR＝PS＝2PC，∠APS＝∠PBR，由∠APS+∠BPS＝90°，推出∠BPS+∠PBR＝90°，则BR⊥PC．
解：（1）∵（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，，
∴a﹣2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝4，
∴A（0，2），B（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
过点P作PM⊥OB于M，PN⊥y轴于N，如图1所示：
则四边形PMON是矩形，
∴∠ANP＝∠BMP＝∠MPN＝90°，
∴∠APN+∠APM＝∠BPM+∠APM，
∴∠APN＝∠BPM，
在△PAN和△PBM中，
，
∴△PAN≌△PBM（AAS），
∴PN＝PM，BM＝AN，
∴2+AN＝4﹣BM＝4﹣AN，
∴AN＝1，
∴ON＝OM＝3，
∴P（3，3）；
（2）由（1）得PA＝PB，
又∵∠APB＝∠A1PB1＝90°，
∴∠APA1＝∠BPB1，
∵∠PAO+∠PBO＝360°﹣∠AOB﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠PBB1+∠PBO＝180°，
∴∠PAO＝∠PBB1，
在△PAA1和△PBB1中，
，
∴△PAA1≌△PBB1（ASA），
∴AA1＝BB1，
∴OB1﹣OA1＝OB+BB1﹣（AA1﹣OA）＝OB+OA＝4+2＝6；
（3）BR＝2PC，BR⊥PC，理由如下：
延长PC到S，使PC＝CS，连接AS，如图3所示：
在△ACS和△QCP中，
，
∴△ACS≌△QCP（SAS），
∴AS＝PQ＝PR，∠S＝∠QPC，
∴AS∥PQ，
∴∠SAP+∠APQ＝180°，
又∵∠RPB+∠APQ＝∠APB+∠APR+∠APQ＝180°，
∴∠SAP＝∠RPB，
在△ASP和△PRB中，
，
∴△ASP≌△PRB（SAS），
∴BR＝PS＝2PC，∠APS＝∠PBR，
又∵∠APS+∠BPS＝90°，
∴∠BPS+∠PBR＝90°，
∴BR⊥PC．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了一元二次方程的解、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、坐标与图形、四边形内角和、三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关
三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，△ABC，点D是BC延长线上一点．
求证：∠ACD＝∠A+∠B．
方法一：利用三角形的内角和定理进行证明
证明：
方法二：构造平行线进行证明
证明：
三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，△ABC，点D是BC延长线上一点．
求证：∠ACD＝∠A+∠B．
方法一：利用三角形的内角和定理进行证明
证明：
方法二：构造平行线进行证明
证明：