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2023-2024学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省济宁市曲阜市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，1，3B．1，﹣1，3C．﹣1，1，3D．﹣1，1，﹣3
2．许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣2）
4．已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．5B．3C．﹣3D．﹣4
5．将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2B．y＝x2+2C．y＝（x﹣2）2D．y＝x2﹣2
6．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
7．已知A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线y＝2（x﹣2）2+1上的三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
8．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A．27cm2B．54cm2C．27πcm2D．54πcm2
9．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝3，则AE的长为（ ）
A．4B．C．5D．
10．如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
11．2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+2x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③b+2c＞0；④a+b＞am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；（6）当△BCD为直角三角形时，a的值有2个．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分.
13．若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
14．如图，平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为 ．
15．如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转x°到△ADE的位置，使点E首次落在BC上．已知∠ABC＝30°，∠BAE＝35°，则x＝ ．
16．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为 ．
17．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；…；按此规律，则S2023的值为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共52分.
19．解下列方程：
（1）x2−8x+1＝0；
（2）x（x﹣2）﹣x+2＝0．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程2x2+5x+3＝0是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
21．△ABC在平面直角坐标系中如图所示．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1，B1的坐标；
（2）将△A1B1C1向右平移6个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）△ABC与△A2B2C2关于点P成中心对称，请直接写出点P的坐标．
22．“阳光玫瑰”葡萄近几年来广受各地消费者青睐，在云南省广泛种植．某水果经销商以每公斤15元的价格购进一批“阳光玫瑰”葡萄，若按每公斤30元的价格销售，平均每天可售出60公斤结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若一次降价2元，则每天的销售利润为 元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售阳光玫瑰获得的利润w最大？最大利润是多少元？
23．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°（sin37°＝0.6）．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝3，CD＝5，求AD的长．
24．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，CD＝4，求⊙O的半径．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求出A、B、C三点的坐标；
（2）将抛物线y＝﹣x2+4x+5图象x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图象，得到的新图象记作M，图象M与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图象N．
①在图象M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图象N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，1，3B．1，﹣1，3C．﹣1，1，3D．﹣1，1，﹣3
【分析】根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．
解：一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
2．许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
3．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣2）
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点A关于原点对称的点的坐标．
解：∵点A（﹣1，2），
∴A点关于原点对称的点为（1，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
4．已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．5B．3C．﹣3D．﹣4
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣1，然后利用整体代入的方法求m+n﹣mn的值．
解：根据题意得m+n＝4，mn＝﹣1，
所以m+n﹣mn＝4﹣（﹣1）＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
5．将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2B．y＝x2+2C．y＝（x﹣2）2D．y＝x2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
解：根据题意y＝x2的图象向右平移2个单位得y＝（x﹣2）2．
故选：C．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5，于是得到△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
7．已知A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线y＝2（x﹣2）2+1上的三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
【分析】把各点坐标代入抛物线y＝2（x﹣2）2+1，求出y1，y2，y3的值，再比较大小即可．
解：∵A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线y＝2（x﹣2）2+1上的三点，
∴y1＝y＝2（﹣3﹣2）2+1＝51，y2＝2（3﹣2）2+1＝3，y3＝2（4﹣2）2+1＝9，
∵3＜9＜51，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A．27cm2B．54cm2C．27πcm2D．54πcm2
【分析】由于锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可计算出蛋筒圆锥部分包装纸的面积
解：根据题意，圆锥的侧面积＝×2π×3×9＝27（cm2），
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积为27cm2．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝3，则AE的长为（ ）
A．4B．C．5D．
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD＝DC＝5，
∵DE＝3，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
10．如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【分析】连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，可得∠OBC＝20°，再证EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，由三角形内角和定理求∠OEB即可．
解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∵E是的中点，
∴，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE＝55°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
11．2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+2x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③b+2c＞0；④a+b＞am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；（6）当△BCD为直角三角形时，a的值有2个．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据二次此函数图象与系数的关系即可判断①；根据抛物线的对称轴x＝，，即可判断②；根据得a＝，则抛物线解析式可写为，将x＝1代入解析式中，再结合图象即可判断③；根据二次函数图象的性质可得当x＝1时，有最大值a+b+c，以此即可判断④；根据抛物线与y＝﹣2的交点个数即可判断⑤；当△BCD为直角三角形时，有两种情况：∠CDB＝90°，∠DCB＝90°，以此可判断⑥．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴＞0，
∴b＞0，
∵抛物线y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线对称轴为＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；
由可得，
则抛物线解析式可写为，
由图象可知，当x＝1时，y＞0，
即，
∴b+2c＞0，故③正确；
∵抛物线开口向下，x＝1为该抛物线对称轴，
∴当x＝1时，该函数有最大值，最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故④错误；
由图可知，抛物线与直线y＝﹣2有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根，故⑤正确；
当△BCD为直角三角形时，有两种情况，
一是∠CDB＝90°，二是∠DCB＝90°，
∴a值有两个，故⑥正确；
综上，正确的结论有①②③⑤⑥，共5个．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点进行计算．
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分.
13．若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m≥﹣1 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1．
故答案为m≥﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
14．如图，平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为 （2，） ．
【分析】过点C分别作CD⊥AB于点D，CE⊥y轴于点E，先根据二次函数y＝x2﹣4x+3求出A、B两点的坐标，再进一步求出线段AB的长，利用垂径定理与勾股定理求出CD的长，即点C的纵坐标，再求出OD的长，即点C的横坐标．
解：过点C作CD⊥AB于点D，CE⊥y轴于点E，连接CA，如图所示，
∵二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，
∴解x2﹣4x+3＝0得，
x1＝1，x2＝3，
∴A、B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），
∴AB＝2，OA＝1，
∵CD⊥AB，
∴AD＝AB＝1，
∴OD＝OA+AD＝2，
在Rt△ACD中，
CD＝，
∴点C的纵坐标为，
∵CE⊥y轴，CD⊥AB，
∴∠CEO＝∠CDA＝∠EOD＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∴CE＝OD＝2，
∴点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为（2，）
故答案为：（2，）．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点及垂径定理的应用，掌握点到x轴，y轴的距离就是点的横纵坐标的绝对值是解题的关键．
15．如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转x°到△ADE的位置，使点E首次落在BC上．已知∠ABC＝30°，∠BAE＝35°，则x＝ 25 ．
【分析】过点A作AF⊥EC于F，先根据旋转的性质得∠CAE＝x°，由三角形的外角定理得∠AEC＝65°，进而可求出∠EAF＝25°，然后根据等腰三角形的性质得∠EAF＝∠CAF＝25°，据此可求出旋转角的度数．
解：过点A作AF⊥EC于F，
根据旋转的性质得：旋转角为∠CAE，AE＝AC，
∴∠CAE＝x°，
∵∠ABC＝30°，∠BAE＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝65°，
∴∠EAF＝90°﹣∠AEC＝25°，
∵AE＝AC，AF⊥EC，
∴∠EAF＝∠CAF＝25°，
∴∠CAE＝∠EAF+∠CAF＝50°．
∴x°＝25°．
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形旋转变换的性质，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合（三线合一）．
16．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】根据函数的图象，得到函数的对称轴和一个抛物线与x轴交点坐标，计算出另一个抛物线与x轴的交点坐标，得出函数值大于0的x的取值范围，即可得到答案．
解：由图象可知：
抛物线的对称轴为：x＝1，
抛物线与x轴的一个交点为：（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为：1×2﹣3＝﹣1，
由图象可知：函数值大于0的x的取值范围为：﹣1＜x＜3，
即关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），正确掌握二次函数与不等式（组）的关系是解题的关键．
17．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间
解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单
18．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；…；按此规律，则S2023的值为 22019π ．
【分析】根据旋转的性质，得到△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出 ，OA4＝2，，利用扇形面积求出S1，S2，S3，S4，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可．
解：将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2
∴∠AOA1＝45°，OA＝OA1＝1，∠OA1A2＝90°，
∴∠A1OA2＝90°﹣∠AOA1＝45°，
∴∠OA2A1＝90°﹣∠A1OA2＝45°，
∴△A1OA2是等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1＝1，
∴；
同理可得：△A3OA4、△A5OA6、⋯、都是等腰直角三角形，OA4＝2，…，
∴，，，，⋯；
∴，
∴，
故答案为：22019π．
【点评】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积．熟练掌握旋转的性质，扇形的面积公式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共52分.
19．解下列方程：
（1）x2−8x+1＝0；
（2）x（x﹣2）﹣x+2＝0．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
解：（1）∵a＝1，b＝﹣8，c＝1，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4×1×1＝60＞0，
则x＝＝4±，
∴x1＝4+，x2＝4﹣；
（2）∵x（x﹣2）﹣x+2＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝2，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程2x2+5x+3＝0是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
【分析】（1）根据黄金方程的定义进行求解即可；
（2）根据黄金方程的定义得到b＝﹣a﹣3，则原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，再由a是此黄金方程的一个根，得到2a2﹣a﹣3＝0，解方程即可．
解：（1）一元二次方程2x2+5x+3＝0是黄金方程，理由如下：
由题意得，a＝2，b＝5，c＝3，
∴a﹣b+c＝2+3﹣5＝0，
∴一元二次方程2x2+5x+3＝0是黄金方程；
（2）∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，
∴3+b﹣（﹣a）＝0，
∴b＝﹣a﹣3，
∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，
∵a是此黄金方程的一个根，
∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0，
∴（a+1）（2a﹣3）＝0，
解得a＝﹣1或．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
21．△ABC在平面直角坐标系中如图所示．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1，B1的坐标；
（2）将△A1B1C1向右平移6个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）△ABC与△A2B2C2关于点P成中心对称，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的特征，先找出A1、B1、C1的位置，再依次连接即可；
（2）根据平移前后点的特征，先找出A2、B2、C2的位置，再依次连接即可；
（3）根据连接任意两对对称点，两条线段的交点为对称中心，连接AA2、BB2，它们的交点即为点P，根据图形得出点P的坐标即可．
解：（1）如图，△A1B1C1的图形如图所示，A1（﹣1，﹣1），B1（﹣4，﹣2）．
（2）如图，△A2B2C2的图形如图所示．
（3）连接AA2、BB2，它们的交点即为点P，
∵△ABC与△A2B2C2关于点P成中心对称，
∴由图可知，点P的坐标为（3，0）．
【点评】本题考查了画中心对称图形、作图﹣平移，掌握画两个图形的对称中心的方法是解答本题的关键．确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法：（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心．（2）任意连接两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．
22．“阳光玫瑰”葡萄近几年来广受各地消费者青睐，在云南省广泛种植．某水果经销商以每公斤15元的价格购进一批“阳光玫瑰”葡萄，若按每公斤30元的价格销售，平均每天可售出60公斤结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若一次降价2元，则每天的销售利润为 1040 元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售阳光玫瑰获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以求出一次降价2元时，每天的销售利润；
（2）根据题意，可以写出w与销售单价之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质，即可得到w的最大值．
解：（1）由题意可得，
若一次降价2元，则每天的销售利润为：（30﹣2﹣15）×（60+2×10）＝1040（元），
故答案为：1040；
（2）设销售单价定为每公斤x元，
由题意可得，
w＝（x﹣15）[60+（30﹣x）×10]＝﹣10（x﹣）2+1102.5，
∴当x＝时，w取得最大值，此时w＝1102.5，
答：销售单价定为每公斤元时，每天销售阳光玫瑰获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．
23．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°（sin37°＝0.6）．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝3，CD＝5，求AD的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求出答案；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求出答案．
解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∵∠BFD＝97°＝∠AFE，
∴∠E＝180°﹣97°﹣60°＝23°，
∴∠ADC＝∠E＝23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AD＝DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD＝BE＝5，
∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝＝＝4，
∴AD＝DE＝4．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
24．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，CD＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，由F，C，B三等分半圆，根据圆周角定理得∠FAC＝∠BAC，而∠OAC＝∠OCA，则∠FAC＝∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，由AB为直径得∠ACB＝90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°，所以∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC＝2CD＝8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴∠FAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∠BOC＝×180°＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ADC中，CD＝4，
∴AC＝2CD＝8，
在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2，
即82+（AB）2＝AB2，
∴AB＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求出A、B、C三点的坐标；
（2）将抛物线y＝﹣x2+4x+5图象x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图象，得到的新图象记作M，图象M与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图象N．
①在图象M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图象N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）分别令x＝0，y＝0即可求A、B、C点坐标；
（2）①设P点的纵坐标为m，由题意可得6（﹣m）＝3，求出m＝﹣1，当﹣x2+4x+5＝﹣1时，P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；当﹣x2+4x+5＝1时，P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
②画出函数图象，由题意可知﹣9＜t≤0，当﹣x2+4x+5＝﹣t时，求出E（2﹣，t），F（2+，t），则EF＝2，当＝﹣t时，解得t＝，此时图象N与x轴相切，即可求﹣9＜t＜时，图象N与x轴相离．
解：（1）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0）；
（2）①设P点的纵坐标为m，
∵△PAB的面积为3，
∴6（﹣m）＝3，
解得m＝﹣1，
当﹣x2+4x+5＝﹣1时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
当﹣x2+4x+5＝1时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
综上所述：P点坐标为（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
②∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的顶点为（2，9），
∵图象M与直线y＝t恒有四个交点，
∴﹣9＜t≤0，
当﹣x2+4x+5＝﹣t时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴E（2﹣，t），F（2+，t），
∴EF＝2，
当＝﹣t时，解得t＝，
∵t＜0，
∴t＝，此时图象N与x轴相切，
∴﹣9＜t＜时，图象N与x轴相离．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象翻折的性质，圆与直线的位置关系，数形结合解题是关键．
1．一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，1，3B．1，﹣1，3C．﹣1，1，3D．﹣1，1，﹣3
2．许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣2）
4．已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．5B．3C．﹣3D．﹣4
5．将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2B．y＝x2+2C．y＝（x﹣2）2D．y＝x2﹣2
6．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
7．已知A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线y＝2（x﹣2）2+1上的三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
8．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A．27cm2B．54cm2C．27πcm2D．54πcm2
9．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝3，则AE的长为（ ）
A．4B．C．5D．
10．如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
11．2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+2x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③b+2c＞0；④a+b＞am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；（6）当△BCD为直角三角形时，a的值有2个．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分.
13．若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
14．如图，平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为 ．
15．如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转x°到△ADE的位置，使点E首次落在BC上．已知∠ABC＝30°，∠BAE＝35°，则x＝ ．
16．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为 ．
17．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；…；按此规律，则S2023的值为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共52分.
19．解下列方程：
（1）x2−8x+1＝0；
（2）x（x﹣2）﹣x+2＝0．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程2x2+5x+3＝0是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
21．△ABC在平面直角坐标系中如图所示．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1，B1的坐标；
（2）将△A1B1C1向右平移6个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）△ABC与△A2B2C2关于点P成中心对称，请直接写出点P的坐标．
22．“阳光玫瑰”葡萄近几年来广受各地消费者青睐，在云南省广泛种植．某水果经销商以每公斤15元的价格购进一批“阳光玫瑰”葡萄，若按每公斤30元的价格销售，平均每天可售出60公斤结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若一次降价2元，则每天的销售利润为 元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售阳光玫瑰获得的利润w最大？最大利润是多少元？
23．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°（sin37°＝0.6）．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝3，CD＝5，求AD的长．
24．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，CD＝4，求⊙O的半径．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求出A、B、C三点的坐标；
（2）将抛物线y＝﹣x2+4x+5图象x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图象，得到的新图象记作M，图象M与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图象N．
①在图象M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图象N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，1，3B．1，﹣1，3C．﹣1，1，3D．﹣1，1，﹣3
【分析】根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．
解：一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
2．许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
3．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣2）
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点A关于原点对称的点的坐标．
解：∵点A（﹣1，2），
∴A点关于原点对称的点为（1，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
4．已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n﹣mn的值是（ ）
A．5B．3C．﹣3D．﹣4
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣1，然后利用整体代入的方法求m+n﹣mn的值．
解：根据题意得m+n＝4，mn＝﹣1，
所以m+n﹣mn＝4﹣（﹣1）＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
5．将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2B．y＝x2+2C．y＝（x﹣2）2D．y＝x2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
解：根据题意y＝x2的图象向右平移2个单位得y＝（x﹣2）2．
故选：C．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5，于是得到△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
7．已知A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线y＝2（x﹣2）2+1上的三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
【分析】把各点坐标代入抛物线y＝2（x﹣2）2+1，求出y1，y2，y3的值，再比较大小即可．
解：∵A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线y＝2（x﹣2）2+1上的三点，
∴y1＝y＝2（﹣3﹣2）2+1＝51，y2＝2（3﹣2）2+1＝3，y3＝2（4﹣2）2+1＝9，
∵3＜9＜51，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A．27cm2B．54cm2C．27πcm2D．54πcm2
【分析】由于锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可计算出蛋筒圆锥部分包装纸的面积
解：根据题意，圆锥的侧面积＝×2π×3×9＝27（cm2），
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积为27cm2．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝3，则AE的长为（ ）
A．4B．C．5D．
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD＝DC＝5，
∵DE＝3，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
10．如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【分析】连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，可得∠OBC＝20°，再证EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，由三角形内角和定理求∠OEB即可．
解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∵E是的中点，
∴，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE＝55°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
11．2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+2x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③b+2c＞0；④a+b＞am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；（6）当△BCD为直角三角形时，a的值有2个．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据二次此函数图象与系数的关系即可判断①；根据抛物线的对称轴x＝，，即可判断②；根据得a＝，则抛物线解析式可写为，将x＝1代入解析式中，再结合图象即可判断③；根据二次函数图象的性质可得当x＝1时，有最大值a+b+c，以此即可判断④；根据抛物线与y＝﹣2的交点个数即可判断⑤；当△BCD为直角三角形时，有两种情况：∠CDB＝90°，∠DCB＝90°，以此可判断⑥．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴＞0，
∴b＞0，
∵抛物线y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线对称轴为＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；
由可得，
则抛物线解析式可写为，
由图象可知，当x＝1时，y＞0，
即，
∴b+2c＞0，故③正确；
∵抛物线开口向下，x＝1为该抛物线对称轴，
∴当x＝1时，该函数有最大值，最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故④错误；
由图可知，抛物线与直线y＝﹣2有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根，故⑤正确；
当△BCD为直角三角形时，有两种情况，
一是∠CDB＝90°，二是∠DCB＝90°，
∴a值有两个，故⑥正确；
综上，正确的结论有①②③⑤⑥，共5个．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点进行计算．
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分.
13．若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m≥﹣1 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1．
故答案为m≥﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
14．如图，平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为 （2，） ．
【分析】过点C分别作CD⊥AB于点D，CE⊥y轴于点E，先根据二次函数y＝x2﹣4x+3求出A、B两点的坐标，再进一步求出线段AB的长，利用垂径定理与勾股定理求出CD的长，即点C的纵坐标，再求出OD的长，即点C的横坐标．
解：过点C作CD⊥AB于点D，CE⊥y轴于点E，连接CA，如图所示，
∵二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，
∴解x2﹣4x+3＝0得，
x1＝1，x2＝3，
∴A、B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），
∴AB＝2，OA＝1，
∵CD⊥AB，
∴AD＝AB＝1，
∴OD＝OA+AD＝2，
在Rt△ACD中，
CD＝，
∴点C的纵坐标为，
∵CE⊥y轴，CD⊥AB，
∴∠CEO＝∠CDA＝∠EOD＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∴CE＝OD＝2，
∴点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为（2，）
故答案为：（2，）．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点及垂径定理的应用，掌握点到x轴，y轴的距离就是点的横纵坐标的绝对值是解题的关键．
15．如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转x°到△ADE的位置，使点E首次落在BC上．已知∠ABC＝30°，∠BAE＝35°，则x＝ 25 ．
【分析】过点A作AF⊥EC于F，先根据旋转的性质得∠CAE＝x°，由三角形的外角定理得∠AEC＝65°，进而可求出∠EAF＝25°，然后根据等腰三角形的性质得∠EAF＝∠CAF＝25°，据此可求出旋转角的度数．
解：过点A作AF⊥EC于F，
根据旋转的性质得：旋转角为∠CAE，AE＝AC，
∴∠CAE＝x°，
∵∠ABC＝30°，∠BAE＝35°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝65°，
∴∠EAF＝90°﹣∠AEC＝25°，
∵AE＝AC，AF⊥EC，
∴∠EAF＝∠CAF＝25°，
∴∠CAE＝∠EAF+∠CAF＝50°．
∴x°＝25°．
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形旋转变换的性质，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合（三线合一）．
16．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】根据函数的图象，得到函数的对称轴和一个抛物线与x轴交点坐标，计算出另一个抛物线与x轴的交点坐标，得出函数值大于0的x的取值范围，即可得到答案．
解：由图象可知：
抛物线的对称轴为：x＝1，
抛物线与x轴的一个交点为：（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为：1×2﹣3＝﹣1，
由图象可知：函数值大于0的x的取值范围为：﹣1＜x＜3，
即关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），正确掌握二次函数与不等式（组）的关系是解题的关键．
17．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间
解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单
18．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；…；按此规律，则S2023的值为 22019π ．
【分析】根据旋转的性质，得到△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出 ，OA4＝2，，利用扇形面积求出S1，S2，S3，S4，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可．
解：将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2
∴∠AOA1＝45°，OA＝OA1＝1，∠OA1A2＝90°，
∴∠A1OA2＝90°﹣∠AOA1＝45°，
∴∠OA2A1＝90°﹣∠A1OA2＝45°，
∴△A1OA2是等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1＝1，
∴；
同理可得：△A3OA4、△A5OA6、⋯、都是等腰直角三角形，OA4＝2，…，
∴，，，，⋯；
∴，
∴，
故答案为：22019π．
【点评】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积．熟练掌握旋转的性质，扇形的面积公式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共52分.
19．解下列方程：
（1）x2−8x+1＝0；
（2）x（x﹣2）﹣x+2＝0．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
解：（1）∵a＝1，b＝﹣8，c＝1，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4×1×1＝60＞0，
则x＝＝4±，
∴x1＝4+，x2＝4﹣；
（2）∵x（x﹣2）﹣x+2＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝2，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程2x2+5x+3＝0是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
【分析】（1）根据黄金方程的定义进行求解即可；
（2）根据黄金方程的定义得到b＝﹣a﹣3，则原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，再由a是此黄金方程的一个根，得到2a2﹣a﹣3＝0，解方程即可．
解：（1）一元二次方程2x2+5x+3＝0是黄金方程，理由如下：
由题意得，a＝2，b＝5，c＝3，
∴a﹣b+c＝2+3﹣5＝0，
∴一元二次方程2x2+5x+3＝0是黄金方程；
（2）∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，
∴3+b﹣（﹣a）＝0，
∴b＝﹣a﹣3，
∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，
∵a是此黄金方程的一个根，
∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0，
∴（a+1）（2a﹣3）＝0，
解得a＝﹣1或．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
21．△ABC在平面直角坐标系中如图所示．
（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1，B1的坐标；
（2）将△A1B1C1向右平移6个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）△ABC与△A2B2C2关于点P成中心对称，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的特征，先找出A1、B1、C1的位置，再依次连接即可；
（2）根据平移前后点的特征，先找出A2、B2、C2的位置，再依次连接即可；
（3）根据连接任意两对对称点，两条线段的交点为对称中心，连接AA2、BB2，它们的交点即为点P，根据图形得出点P的坐标即可．
解：（1）如图，△A1B1C1的图形如图所示，A1（﹣1，﹣1），B1（﹣4，﹣2）．
（2）如图，△A2B2C2的图形如图所示．
（3）连接AA2、BB2，它们的交点即为点P，
∵△ABC与△A2B2C2关于点P成中心对称，
∴由图可知，点P的坐标为（3，0）．
【点评】本题考查了画中心对称图形、作图﹣平移，掌握画两个图形的对称中心的方法是解答本题的关键．确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法：（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心．（2）任意连接两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．
22．“阳光玫瑰”葡萄近几年来广受各地消费者青睐，在云南省广泛种植．某水果经销商以每公斤15元的价格购进一批“阳光玫瑰”葡萄，若按每公斤30元的价格销售，平均每天可售出60公斤结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若一次降价2元，则每天的销售利润为 1040 元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售阳光玫瑰获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以求出一次降价2元时，每天的销售利润；
（2）根据题意，可以写出w与销售单价之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质，即可得到w的最大值．
解：（1）由题意可得，
若一次降价2元，则每天的销售利润为：（30﹣2﹣15）×（60+2×10）＝1040（元），
故答案为：1040；
（2）设销售单价定为每公斤x元，
由题意可得，
w＝（x﹣15）[60+（30﹣x）×10]＝﹣10（x﹣）2+1102.5，
∴当x＝时，w取得最大值，此时w＝1102.5，
答：销售单价定为每公斤元时，每天销售阳光玫瑰获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．
23．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°（sin37°＝0.6）．
（1）求∠ADC的大小；
（2）若∠BDC＝7°，BD＝3，CD＝5，求AD的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求出答案；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求出答案．
解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∵∠BFD＝97°＝∠AFE，
∴∠E＝180°﹣97°﹣60°＝23°，
∴∠ADC＝∠E＝23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AD＝DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD＝BE＝5，
∵∠BDC＝7°，∠ADC＝23°，∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝＝＝4，
∴AD＝DE＝4．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
24．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，CD＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，由F，C，B三等分半圆，根据圆周角定理得∠FAC＝∠BAC，而∠OAC＝∠OCA，则∠FAC＝∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，由AB为直径得∠ACB＝90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°，所以∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC＝2CD＝8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴∠FAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∠BOC＝×180°＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ADC中，CD＝4，
∴AC＝2CD＝8，
在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2，
即82+（AB）2＝AB2，
∴AB＝，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求出A、B、C三点的坐标；
（2）将抛物线y＝﹣x2+4x+5图象x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图象，得到的新图象记作M，图象M与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图象N．
①在图象M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图象N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）分别令x＝0，y＝0即可求A、B、C点坐标；
（2）①设P点的纵坐标为m，由题意可得6（﹣m）＝3，求出m＝﹣1，当﹣x2+4x+5＝﹣1时，P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；当﹣x2+4x+5＝1时，P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
②画出函数图象，由题意可知﹣9＜t≤0，当﹣x2+4x+5＝﹣t时，求出E（2﹣，t），F（2+，t），则EF＝2，当＝﹣t时，解得t＝，此时图象N与x轴相切，即可求﹣9＜t＜时，图象N与x轴相离．
解：（1）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0）；
（2）①设P点的纵坐标为m，
∵△PAB的面积为3，
∴6（﹣m）＝3，
解得m＝﹣1，
当﹣x2+4x+5＝﹣1时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
当﹣x2+4x+5＝1时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
综上所述：P点坐标为（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
②∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的顶点为（2，9），
∵图象M与直线y＝t恒有四个交点，
∴﹣9＜t≤0，
当﹣x2+4x+5＝﹣t时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴E（2﹣，t），F（2+，t），
∴EF＝2，
当＝﹣t时，解得t＝，
∵t＜0，
∴t＝，此时图象N与x轴相切，
∴﹣9＜t＜时，图象N与x轴相离．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象翻折的性质，圆与直线的位置关系，数形结合解题是关键．
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