山东省济宁市任城区2022-2023学年九年级上学期期中卷试卷(含答案)

这是一份山东省济宁市任城区2022-2023学年九年级上学期期中卷试卷(含答案)，共30页。

2022-2023学年度第一学期期中质量检测
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知点（2，3）在反比例函数y=kx的图象上，则该图象一定不经过的点是（　　）
A．（1，6） B．（﹣6，1） C．（32，4） D．（﹣1，﹣6）
2．（3分）tan45°的值等于（　　）
A．2 B．1 C．22 D．33
3．（3分）抛物线y=12（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
5．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+3向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣3）2+1
6．（3分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，堤高BC＝2米，则迎水坡宽度AC的长为（　　）

A．22米 B．4米 C．23米 D．6米
7．（3分）如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　）

A．31010 B．12 C．13 D．1010
8．（3分）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（3分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）

A．a+btanα B．a+bsinα C．a+btanα D．a+bsinα
10．（3分）函数y=4x和y=1x在第一象限内的图象如图，点P是y=4x的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=1x的图象于点A,PD⊥y轴于点D，交y=1x的图象于点B．给出如下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②PA与PB始终相等；
③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；
④CA=13AP．
其中所有正确结论有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二． 填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知反比例函数的图象经过点（3，4），则该函数表达式为 　 　．

12． （3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanB= .
13．（3分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
6.5
﹣4
﹣2.5
﹣2
﹣2.5
…
当x＝3时，二次函数y＝ax2+bx+c的函数值y＝　 　．
14．（3分）一座抛物线形拱桥如图所示，桥下水面宽度为4m时，拱顶距离水面是2m，当水位下降1m后，水面的宽度为 m．(结果保留根号)

15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜12时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 　 　．（填写代表正确结论的序号）

三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）计算或化简：
（1）6tan230°-3sin 60°﹣2tan45°．
(2) sin60°cos60°+sin45°cos45°-sin30°cos30°


17．（7分）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．



18．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝12，AC＝43，求∠A，∠B，AB的大小．




19．（7分）如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选了相距100m的B，C两点．现测得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m，参考数据2≈1.414，3≈1.732）．

20．（9分）小明家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20米长的院墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．如图，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．




21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=kx（x＞0）的一个交点为C，且BC=12AC．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．

22．（11分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3，0），与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线有一点D，且S△ABD=12S△ABC，求点D的坐标．


2022-2023学年度第一学期期中质量检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）已知点（2，3）在反比例函数y=kx的图象上，则该图象一定不经过的点是（　　）
A．（1，6） B．（﹣6，1） C．（32，4） D．（﹣1，﹣6）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】将A（2，3）代入y=kx，求出k的值，再根据k＝xy对各项进行逐一检验即可．
【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∵﹣6×1＝﹣6≠6，
∴该图象一定不经过的点是（﹣6，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
2．（3分）tan45°的值等于（　　）
A．2 B．1 C．22 D．33
【考点】特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
【解答】解：tan45°的值等于1，
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．（3分）抛物线y=12（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为y=12(x+2)2-3的是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-2，﹣3）．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．
4．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+3向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣3）2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴将抛物线y＝x2﹣2x+3向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是：y＝2（x﹣1+2）2+2﹣1，即y＝（x+1）2+1．
故选C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，堤高BC＝2米，则迎水坡宽度AC的长为（　　）

A．22米 B．4米 C．23米 D．6米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】由堤高BC＝2米，迎水坡AB的坡比1：2，根据坡度的定义，即可求得AC的长．
【解答】解：迎水坡AB的坡比是1：3，即tan∠A=12，
则BCAC=12，
又∵BC＝2米，
∴AC=2BC＝22（米）．
故选：A．
【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意理解坡度的定义是解此题的关键．
7．（3分）如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（　　）

A．31010 B．12 C．13 D．1010
【考点】解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】过点B作BC⊥AO于点C，根据勾股定理可求出AO＝25，BO＝22，设CO＝x，再由勾股定理可求出x的值，从而可∠AOB的正弦值．
【解答】解：过点B作BC⊥AO于点C，
∵AB＝2，
∴由勾股定理可知：AO＝25，BO＝22，
设CO＝x，
∴（22）2﹣x2＝22﹣（25-x）2，
∴8﹣x2＝4﹣（20﹣45x+x2），
解得：x=655，
∴cos∠AOB=COBO=31010，
∴sin∠AOB=1010，
故选：D．

【点评】本题考查解三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
8．（3分）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】二次函数的最值；代数式求值．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．
【解答】解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故选：A．
【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
9．（3分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（　　）

A．a+btanα B．a+bsinα C．a+btanα D．a+bsinα
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα=AFCF=AFb，
∴AF＝b•tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，
故选：A．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
10．（3分）函数y=4x和y=1x在第一象限内的图象如图，点P是y=4x的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=1x的图象于点A,PD⊥y轴于点D，交y=1x的图象于点B．给出如下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②PA与PB始终相等；
③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；
④CA=13AP．
其中所有正确结论有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【分析】由于A、B是反比函数y=1x上的点，可得出S△OBD＝S△OAC=12故①正确；当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【解答】解：∵A、B是反比函数y=1x上的点，
∴S△OBD＝S△OAC=12，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，PB在逐渐增大，而PA在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；
∵P是反比例函数y=4x上的点，
∴S矩形PDOC＝4，
∴S四边形PAOB＝S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC＝4-12-12=3，故③正确；
连接OP，
S△POCS△OAC=PCAC=212=4，
∴AC=14PC，PA=34PC，
∴PAAC=3，
∴AC=13AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知反比例函数的图象经过点（3，4），则该函数表达式为 　y=12x　．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有
【专题】函数思想；应用意识．
【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可．
【解答】解：令反比例函数为y=kx（k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（3，4），
∴4=k3，
k＝12，
∴反比例函数的解析式为y=12x
故答案为：y=12x．
【点评】考查反比例函数的解析式，关键要掌握利用待定系数法求解函数的解析式．

12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanB= 43 .
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据勾股定理求得AC的值，再根据正切等于角的对边比邻边进行计算即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝4，
∴tanB=ACBC=43．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义；在直角三角形中，一个角的正切等于这个角的对边比邻边．
13.（3分）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
6.5
﹣4
﹣2.5
﹣2
﹣2.5
…
根据表格中的信息回答问题，该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，函数值y＝　﹣4．　．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】由表格得出抛物线的对称轴，根据二次函数的对称性解答可得．
【解答】解：由表格可知当x＝0和x＝2时，y＝﹣2.5，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∴x＝3和x＝﹣1时的函数值相等，为﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据表格得出抛物线的对称轴是解题的关键．

14．（3分）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m，那么水位下降1m时，水面的宽度为 m．

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2，
把（2，﹣2）代入得：﹣2＝4a，
解得：a=-12，
∴抛物线解析式为y=-12x2，
把y＝﹣3代入得：x＝±6，
则水面的宽度是26米，
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．


15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜12时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 　①②③　．（填写代表正确结论的序号）

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与y轴交点位置确定①③，根据x＝﹣2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴x=-b2a=-1+22=12，故a+b＝0，故③正确；
④当x＜12时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）计算或化简：
（1）6tan230°-3sin 60°﹣2tan 45°．
（2）sin60°cos60°+sin45°cos45°-sin30°cos30°

【考点】特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：
（1）原式＝6×（33）2-3×32-2×1=2-32-2=-32．

（2）原式=32×12+22×22-12×32=12；


【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°=12，cos30°=32，tan30°=33，sin45°=22，cos45°=22，tan45°＝1，sin60°=32，cos60°=12，tan60°=3，
17．（7分）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．
（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
18．（7分）（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝12，AC＝43，求∠A，∠B，AB的大小．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据勾股定理计算和直角三角形的边角关系计算即可．
【解答】解：∵tanA=BCAC=1243=3
∴∠A=60°
∴∠B=90°-60°=30°
由勾股定理得，AB=BC2+AC2=122+432=83；
【点评】本题考查的是勾股定理和之间三角形的边角关系，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
19．（7分）如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选了相距100m的B，C两点．现测得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．

【考点】解直角三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】通过作高构造直角三角形，在两个直角三角形中，由直角三角形的边角关系列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
设AD的长为xm，
在Rt△ADC中，
∵∠ACB＝45°，
∴CD＝AD＝xm，
在Rt△ABD中，
∵∠ABC＝60°，
∴BD=33x，
∵B，C两点相距100m，即BC＝100m，
∴33x+x=100，
解得x=150-503≈63.4（m），
∴河流宽约为63.4m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
20．（9分）阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20米长的院墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．如图，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．

【考点】二次函数的应用；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【分析】（1）根据题意可以写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）根据（1）中的函数关系式，可以化为顶点式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，
∵0＜32-2x≤20x＞0，
解得，6≤x＜16，
即S与x之间的函数关系式是S＝﹣2x2+32x（6≤x＜16）；
（2）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，
∴当x＝8时，S有最大值，最大值是128平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=kx（x＞0）的一个交点为C，且BC=12AC．
（1）求点A的坐标；
（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；模型思想；应用意识；创新意识．
【分析】（1）令y＝ax﹣3a（a≠0）中y＝0即可求出点A的坐标；
（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，证明△BCM∽△BAO，利用BC=12AC和OA＝3进而求出CM的长，再由S△AOC＝3求出CN的长，进而求出点C坐标即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：令y＝ax﹣3a（a≠0）中y＝0，
即ax﹣3a＝0，解得x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），
故答案为（3，0）．
（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：

显然，CM∥OA，
∴∠BCM＝∠BAO，且∠ABO＝∠CBO，
∴△BCM∽△BAO，
∴BCBA=CMAO，即：13=CM3，
∴CM＝1，
又S△AOC=12OA⋅CN=3
即：12×3×CN=3，
∴CN＝2，
∴C点的坐标为（1，2），
故反比例函数的k＝1×2＝2，
再将点C（1，2）代入一次函数y＝ax﹣3a（a≠0）中，
即2＝a﹣3a，解得a＝﹣1，
∴当S△AOC＝3时，a＝﹣1，k＝2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象及性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握其图象性质是解决此题的关键．
22．（11分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B，与x轴的另一个交点为C．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线有一点D，且S△ABD=12S△ABC，求点D的坐标．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，令x＝0，求得y的值，即可求得B的坐标，求得对称轴，根据抛物线的对称性即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法即可求得直线AB的解析式，把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；
（3）过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，表示出DE，然后根据三角形面积公式得到关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得D的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），
∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵对称轴为直线x=-22×(-1)=1，
∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），
∴C（﹣1，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入得3k+b=0b=3，
解得k=-1b=3，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，
∴P的坐标为（1，2）；
（3）∵抛物线有一点D（x．y），
∴D（x，﹣x2+2x+3），
过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，
∴E（x，﹣x+3），
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴S△ABC=12×（3+1）×3＝6，
∴S△ABD=12S△ABC＝3，
∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，
∴12（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝3，
解得x1＝1，x2＝2，
∴D（1，4）或（2，3）．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，三角形的面积，表示交点的坐标是解题的关键．

考点卡片
1．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
2．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
4．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
5．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
6．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
7．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
8．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x=-b2a时，y取得最小值4ac-b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x=-b2a时，y取得最大值4ac-b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac-b24a|个单位得到的．
9．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=-b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
11．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-b2a时，y=4ac-b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-b2a时，y=4ac-b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
13．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
14．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
15．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
16．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
17．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
18．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边=ac．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边=bc．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边=ab．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
19．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cos30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cos45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cos60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
20．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
21．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
22．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
23．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
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