数学九年级上册3 反比例函数的应用同步测试题

3　反比例函数的应用

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．一个交点可以确定反比例函数表达式，两个交点可以确定一次函数表达式．(　√　)

2．如果两个量的积是一个定值，那么它们成反比例函数关系．(　√　)

3．如果正比例函数与反比例函数图象有交点，交点坐标关于y轴对称．(　×　)

4．反比例函数的实际问题中，两个变量有的能取正值，有的能取0，有的能取负值．(　×　)

知识点1　反比例函数的实际应用

1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系为(　A　)

A．v＝      B．v＋t＝480

C．v＝      D．v＝

【解析】由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480(千米)，

∴汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系为v＝.

2．(2021·南通期中)调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数(调查获得的部分数据如表).

已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2 400元，则其售价应定为__300__元.

【解析】由表中数据得：xy＝6 000，

∴y＝，

则所求函数关系式为y＝；

由题意得：(x－180)y＝2 400，

把y＝代入得：(x－180)·＝2 400，

解得：x＝300，

经检验，x＝300是原方程的根．

答：若计划每天的销售利润为2 400元，则其售价应定为300元．

知识点2　反比例函数跨学科的应用

3．(2021·淮安质检)当压力F(N)一定时，物体所受的压强P(Pa)与受力面积S(m2)的函数关系式为P＝(S≠0)，这个反比例函数的图象大致是(　A　)

【解析】当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．

4．(2021·重庆模拟)已知某用电器的输出功率为P、电阻为R，通过的电流为I，当P为定值时，下面说法正确的是(　D　)

A．I是R的正比例函数

B．I2是R的正比例函数

C．I是R的反比例函数

D．I2是R的反比例函数

【解析】根据题意得P＝I2R，

∵当P为定值时，

∴I2与R的乘积是定值，所以I2与R成反比例．

5．(2021·台州质检)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1 200 N和0.5 m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数表达式为__F＝__．

【解析】由题意可得：1 200×0.5＝Fl，故F＝.

6．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．

(1)求函数的表达式；

(2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？

【解析】(1)设p＝，

由题意知120＝，所以k＝96，

故p＝；

(2)当V＝1 m3时，p＝＝96(kPa).

知识点3　反比例函数与一次函数综合应用

7．(2021·西安期中)如图，函数y1＝x＋1与函数y2＝的图象相交于点M(m，2)，N(n，－1).若y1＞y2，则x的取值范围是(　D　)

A．x＜－2或0＜x＜1        B．x＜－2或x＞1

C．－2＜x＜0或0＜x＜1       D．－2＜x＜0或x＞1

【解析】∵点M(m，2)，N(n，－1)分别代入y1＝x＋1，求得m＝1，n＝－2，∴M(1，2)，N(－2，－1)，

根据图象得到y1＞y2时，x的取值范围是－2＜x＜0或x＞1.

8．(2021·北京期中)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于

A，B两点，如果点A，B的纵坐标是y1，y2，那么y1＋y2的值是__0__．

【解析】∵一次函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，

∴点A与点B关于原点对称，

∴点A，B的纵坐标互为相反数，∴y1＋y2＝0.

9．(2021·贺州期中)若反比例函数y＝与一次函数y＝kx＋b的图象都经过点

(－2，－1)，且当x＝1时，这两个函数值相等．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求一次函数的表达式．

【解析】(1)∵反比例函数y＝的图象经过点(－2，－1)，

∴－1＝，解得：m＝2，

∴反比例函数的表达式：y＝；

实际问题中的反比例函数(2)当x＝1时，y＝＝2，

∴一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，2)(－2，－1)，

∴，解得，

∴一次函数的表达式为y＝x＋1.

关键能力·综合练

1．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是(　C　)

A．小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系

B．菱形的面积为48 cm2，它的两条对角线的长y(cm)与x(cm)之间的关系

C．一个玻璃容器的体积为30 L时，所盛液体的质量m与所盛液体的密度ρ之间的关系

D．压力为600 N时，压强p与受力面积S之间的关系

【解析】A.根据速度和时间的关系式得：v＝，是反比例函数；

B．因为菱形的对角线互相垂直平分，所以xy＝48，即y＝，是反比例函数；

C．根据体积，质量m与所盛液体的密度ρ之间的关系得：m＝30p，不是反比例函数；

D．根据压力，压强p与受力面积S之间的关系得：p＝，是反比例函数．

2．(2020·孝感中考)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式为(　C　)

A．I＝    B．I＝    C．I＝    D．I＝

【解析】设I＝，把(8，6)代入得：K＝8×6＝48，故这个反比例函数的表达式为：I＝.

3．(2021·常州质检)1888年，海因里希·鲁道夫·赫兹证实了电磁波的存在，这成了后来大部分无线科技的基础．电磁波波长λ(单位：米)、频率f(单位：赫兹)满足函数关系λf＝3×108，下列说法正确的是(　D　)

A．电磁波波长是频率的正比例函数

B．电磁波波长20 000米时，对应的频率1 500赫兹

C．电磁波波长小于30 000米时，频率小于10 000赫兹

D．电磁波波长大于50 000米时，频率小于6 000赫兹

【解析】A.∵函数关系λf＝3×108，

∴电磁波波长是频率的反比例函数，故错误，不符合题意；

B．当λ＝20 000米时，f＝＝15 000(赫兹)，故错误，不符合题意；

C．∵f＝，

∴f随着λ的增大而减小，

∴电磁波波长小于30 000米时，频率大于10 000赫兹，故错误，不符合题意；

D．电磁波波长大于50 000米时，频率小于6 000赫兹，故正确，符合题意．

4．如图，点A，B是反比例函数y＝(x＞0)图象上的两个点，在△AOB中，OA＝OB，BD垂直于x轴，垂足为D，且AB＝2BD，则△AOB的面积为__3__．

【解析】作OC⊥AB于C点，

∵OA＝OB，

∴AC＝CB，

∵AB＝2BD，

∴BC＝BD，

又∵∠BDO＝∠BCO＝90°，OB＝OB，

∴△OCB≌△ODB，

∵S△OBD＝，

∴S△OAB＝2S△OBC＝2S△OBD＝2×＝3.

5．(2020·株洲中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1＝(x＞0，k为常数且k＞2)的图象上，边AB与函数y2＝(x＞0)的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为__k－1__．(结果用含k的式子表示)

【解析】∵D是反比例函数y2＝(x>0)图象上一点，∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为×2＝1.

∵点B在函数y1＝(x＞0，k为常数且k＞2)的图象上，四边形OABC为矩形，

∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形OABC的面积为k.

∴阴影部分ODBC的面积＝矩形OABC的面积－△AOD的面积＝k－1.

6．如图，在平面直角坐标系中，在x轴上代表初始值x0的那个点沿着竖线走，直到和曲线y＝(x＞0)交于点P后，在交点P处沿着东南方向(南偏东45°)走，一直和x轴相交，这个交点称投影点T.当x0＝1时，有P(1，4)，相应的投影点T的坐标是(5，0)；当x0＝2时，有P(2，2)，相应的投影点T的坐标是(4，0)；若投影点T的坐标是时，初始值x0＝__19或__.

【解析】∵当x0＝1时，有P(1，4)，相应的投影点T的坐标是(5，0)；当x0＝2时，有P(2，2)，相应的投影点T的坐标是(4，0)；

∴1＋4＝5，2＋2＝4，

∴若投影点T的坐标是时，即x0＋＝19，解得x0＝19或.

7．(素养提升)(2021·焦作期中)如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，6)，点B的坐标为(n，1).

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)结合图象，直接写出不等式＜kx＋b的解集；

(3)点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，直接写出点E的坐标．

【解析】(1)把A(2，6)代入y＝，得m＝2×6＝12，

∴反比例函数表达式为y＝，

把B(n，1)代入y＝得n＝12，则B(12，1)，

把A(2，6)，B(12，1)代入y＝kx＋b，得，解得，

∴一次函数表达式为y＝－x＋7；

(2)由题中图象可知，不等式＜kx＋b的解集为x＜0或2＜x＜12；

(3)设直线AB与y轴的交点为P，

设点E的坐标为(0，m)，连接AE，BE，

则点P的坐标为(0，7)，

∴PE＝|m－7|，

∵S△AEB＝S△PEB－S△PEA＝5，

∴×|m－7|×12－×|m－7|×2＝5.

∴×|m－7|×(12－2)＝5，

∴|m－7|＝1.

∴m1＝6，m2＝8，

∴点E的坐标为(0，6)或(0，8).

易错点　忽略反比例函数中自变量的取值范围致错．

【案例】(2021·芜湖质检)某学校要种植一块面积为200 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于10 m，则草坪的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是(　C　)

【解析】∵草坪面积为200 m2，

∴x，y存在关系y＝，

∵两边长均不小于10 m，

∴x≥10，y≥10，则10≤x≤20.

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